瞬時(shí)變化率—導(dǎo)數(shù)

1、3.1.2瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解導(dǎo)數(shù)的概念和定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(重點(diǎn))2.理解運(yùn)動(dòng)在某時(shí)刻的瞬時(shí)變化率(瞬時(shí)速度)(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)P，Q是曲線(xiàn)C上的另一點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ稱(chēng)為曲線(xiàn)C的割線(xiàn)；隨著點(diǎn)Q沿曲線(xiàn)C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線(xiàn)PQ在點(diǎn)P附近越來(lái)越逼近曲線(xiàn)C.當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線(xiàn)PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l，這條直線(xiàn)l稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)2瞬時(shí)速度運(yùn)動(dòng)物體的位移S(t)對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)S(t)3瞬時(shí)加速度運(yùn)動(dòng)物體的速度v(t)對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即a(t)v(t)4導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)

2、上有定義，x0(a，b)，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)xx0處可導(dǎo)，并稱(chēng)常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)5導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)yf(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)稱(chēng)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)6函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線(xiàn)的斜率基礎(chǔ)自測(cè)1判斷正誤：(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與x值的正、負(fù)無(wú)關(guān)()(2)在導(dǎo)數(shù)的定義中，x，y都不可能為零()(3)在導(dǎo)數(shù)的定義中，0.()【解析】(

3、1).x是自變量的增量，可正可負(fù)，函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)與它的正負(fù)無(wú)關(guān)(2)×.y可以為0，如常數(shù)函數(shù)(3)×.也可能是負(fù)數(shù)或0.【答案】(1)(2)×(3)×2函數(shù)f(x)x2在點(diǎn)(1,1)處切線(xiàn)的斜率是_【解析】k2x，當(dāng)x0時(shí)，k2，故所求的切線(xiàn)的斜率是2.【答案】23一輛汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)t22，則汽車(chē)在t3秒時(shí)加速度為_(kāi)【解析】6t，當(dāng)t0時(shí)，6，故汽車(chē)的加速度為6.【答案】6合 作 探 究·攻 重 難求瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度(1)一輛汽車(chē)按規(guī)律s2t23做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求這輛車(chē)在t2時(shí)的瞬時(shí)速度(時(shí)間單位：s，位移單位：m)(

4、2)設(shè)一輛汽車(chē)在公路上做加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其在t s時(shí)的速度為v(t)t21，求汽車(chē)在t1 s時(shí)的加速度. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902184】思路探究(1).(2)【自主解答】(1)設(shè)這輛車(chē)在t2附近的時(shí)間變化量為t，則位移的增量s2(2t)23(2×223)8t2(t)2，82t，當(dāng)t0時(shí)，8，所以這輛車(chē)在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s.(2)設(shè)這輛車(chē)在t1附近的時(shí)間變化量為t，則速度的增量v(1t)21(121)(t)22t，t2，當(dāng)t0時(shí)，2，所以汽車(chē)在t1 s時(shí)的加速度為2.規(guī)律方法(1)求瞬時(shí)速度的步驟：求位移增量sS(t0t)S(t0)；求平均速率；求瞬時(shí)速度：當(dāng)t趨近于0時(shí)，趨近于

5、v.(2)求瞬時(shí)加速度的步驟：求平均加速度；令t0，求瞬時(shí)加速度.跟蹤訓(xùn)練1若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為S7t28，則其在t_時(shí)的瞬時(shí)速度為1.【解析】因?yàn)?t14t0，所以當(dāng)t0時(shí)，趨近于14t0，即14t01，t0.【答案】求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902185】思路探究方法一：先求y，再求出，令x0，可求f(1)，先求出f(x)，再求出f(x)在x1處的值方法二：先求出，當(dāng)x無(wú)限趨于0時(shí)，即可求出f(x)在x1處的值【自主解答】方法一：y(1x)x1，當(dāng)x0時(shí)，0，f(1)0.方法二：1，當(dāng)x無(wú)限趨于0時(shí)，1無(wú)限趨近于1，即f(x)1，故f(1)0.函數(shù)yx

6、在x1處的導(dǎo)數(shù)為10.規(guī)律方法由導(dǎo)數(shù)的定義知，求一個(gè)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的改變量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)求當(dāng)x0時(shí)，的值，即f(x0).跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)求yx2在x1處的導(dǎo)數(shù)；(2)求yx25在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)【解】(1)y(1x)2122x(x)2，2x，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，2x無(wú)限趨近于2，所以f(1)2.(2)y(2x)254x(x)2，4x，當(dāng)x0時(shí)，4，故f(2).導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用探究問(wèn)題1平均變化率的幾何意義是什么？【提示】平均變化率的幾何意義是過(guò)點(diǎn)P(x0，f(x0)和Q(x0x，f(

7、x0x)割線(xiàn)的斜率2在探究1中，若讓x0，割線(xiàn)PQ是如何變化的？【提示】當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P，即x0時(shí)，割線(xiàn)PQ有一個(gè)極限位置PT，我們把直線(xiàn)PT稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)3根據(jù)探究2的答案，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？【提示】函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線(xiàn)斜率kf (x0)4我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)圓的切線(xiàn)，圓是一種特殊曲線(xiàn)，圓的切線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他曲線(xiàn)和它的切線(xiàn)也只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？【提示】曲線(xiàn)的切線(xiàn)，并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以有無(wú)窮多個(gè)求雙曲線(xiàn)y過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902186】思路探究由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先

8、求出斜率，再求方程. 【自主解答】，當(dāng)x0時(shí)，即kf(2).所以由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式知切線(xiàn)方程為：y(x2)，即yx1.規(guī)律方法1求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線(xiàn)方程即點(diǎn)P的坐標(biāo)既適合曲線(xiàn)方程，又適合切線(xiàn)方程，若點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為f(x0)，則點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可由切線(xiàn)定義確定切線(xiàn)方程為xx0.2若切點(diǎn)未知，此時(shí)需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義列關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，最后求出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線(xiàn)的方程，這種情況下求出的切線(xiàn)方程往往不止一條跟蹤訓(xùn)練3已知直線(xiàn)y3xa和曲線(xiàn)yx3相切，求實(shí)數(shù)a的

9、值【解】設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則3x3x0(x)(x)2，當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，3x3x0(x)(x)2無(wú)限趨近于3x.由題意得，3x3，解得x01或x01.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)或(1，1)將點(diǎn)(1,1)代入直線(xiàn)y3xa，可得a2；將點(diǎn)(1，1)代入直線(xiàn)y3xa，可得a2.綜上可知，a2或a2.構(gòu)建·體系 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2 (a，b為常數(shù))，則f(x0)_.【解析】ab·x，當(dāng)x0時(shí)，a，f(x0)a.【答案】a2已知曲線(xiàn)yx3，則以點(diǎn)P(2,4)為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902187】【解析】x2(x2)x·x，當(dāng)x0時(shí)，x2，所以f(x)x2，kf(2)4，切線(xiàn)方程為y44(x2)，即y4x4.【答案】y4x43設(shè)函數(shù)f(x)ax32，若f(1)3，則a_.【解析】3a3axa(x)2當(dāng)x0時(shí)，3a，所以f(1)3a3，即a1.【答案】14.如圖3­1­3所示，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程是yx5，則f(3)f(3)_.圖3­1­3【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(3)1，又f(3)352，f(3)f(3)2(1)3