人大版_賈俊平_第五版_統(tǒng)計(jì)學(xué)_第7章_參數(shù)估計(jì)

1、第7章 參數(shù)估計(jì)7.1 參數(shù)估計(jì)的基本原理7.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值參數(shù)估計(jì)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)。用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量，根據(jù)樣本計(jì)算出來(lái)的估計(jì)量的數(shù)值稱為估計(jì)值?？傮w參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示用于估計(jì)的用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體一個(gè)總體均值比例方差兩個(gè)總體兩個(gè)總體均值之差比例之差方差比被估計(jì)的總體參數(shù)被估計(jì)的總體參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限2.區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差得到。對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量。 例如: 總體均值落在5070之

2、間，置信度為95%x_XX = Zx95% 的樣本 -1.96 x +1.96x99% 的樣本 - 2.58x + 2.58x90%的樣本 -1.65 x +1.65x置信水平：1. 置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占比例2. 表示為 (1 - 為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率 3. 常用的顯著性水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10區(qū)間與置信水平區(qū)間與置信水平 均值的抽樣分布(1 - ) % 區(qū)間包含了區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含的區(qū)間未包含 1 - /2/2P( X )XCA無(wú)偏有偏2.有效性對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的

3、估計(jì)量更有效。與其他估計(jì)量相比 ，樣本均值是一個(gè)更有效的估計(jì)量中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布3.一致性隨著樣本量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估總體參數(shù)。較小的樣本容量較大的樣本容量P(X )7.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)【例】某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4 mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。解：已知N(，0.152)，x2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96 總體均值的置信區(qū)間為【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查

4、到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36小時(shí)）解：已知 x26, =6,n=100,1- = 0.95,/2=1.96【例】從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，n = 25 ，其均值x = 50 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s = 8。 建立總體均值 的95%的置信區(qū)間。解：已知N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639?！纠磕称髽I(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問(wèn)時(shí)，有140人說(shuō)他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽

5、相處。試對(duì)由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。解：已知 n=200 ， 0.7 , n =1405, n(1- )=605，= 0.95，/2=1.96pp7.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì)【例例】對(duì)某種金屬的10個(gè)樣品組成的一個(gè)隨機(jī)樣本作抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)算出的方差為4。試求2的95%的置信區(qū)間。解:已知n10，s2 4，1-95% 2置信度為95%的置信區(qū)間為7.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) 總體1 總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量 n1計(jì)算 X1抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量 n2計(jì)算X2計(jì)算每一對(duì)樣本的X1-

6、X2所有可能樣本的X1-X21- 21.兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：獨(dú)立樣本如果兩個(gè)樣本是從兩個(gè)總體中獨(dú)立抽取的，即一個(gè)樣本中的元素與另一個(gè)樣本中的元素相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立樣本某地區(qū)教育管理部門想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所學(xué)校獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：121212463386785.87.2nnxxss 建立兩所學(xué)校高考英語(yǔ)平均分之差95%的置信區(qū)間221212212220.0255.87.28678463381.96 1.52ssxxznnz-（2）小樣本的估計(jì)在兩個(gè)樣本都是小樣本的情況下，為估計(jì)兩個(gè)總體的均值之差，需要做出以下假定兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)

7、隨機(jī)樣本獨(dú)立的分別抽自兩個(gè)總體則兩個(gè)樣本均值之差必定服從正態(tài)分布1）總體方差已知使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Z兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為【例例】一個(gè)銀行負(fù)責(zé)人想知道儲(chǔ)戶存入兩家銀行的錢數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個(gè)由25個(gè)儲(chǔ)戶組成的隨機(jī)樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個(gè)總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求 A- B的區(qū)間估計(jì)（1）置信度為95%（2）置信度為99%解:已知 XAN(A,2500) XB N(B,3600) xA=4500， xB=3250， A2 =2500 B2 =3600 nA= nB =25(1

8、) A- B置信度為95%的置信區(qū)間為(2) A- B置信度為99%的置信區(qū)間為2）總體方差未知但相等使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為12121212211pxxtt nnsnn-221122212112pnsnssnn- 【例例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)

9、時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。解:已知 X1N(1,2) X2 N(2,2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 12= 121- 2置信度為95%的置信區(qū)間為3）當(dāng)兩個(gè)總體方差未知且不相等使用的統(tǒng)計(jì)量為2221212222211221112ssnnvsnsnnn-兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為221212212( )ssxxtvnn-【例例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為

10、：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，但方差不相等方差不相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。 自由度 f 為1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知 X1N(1,2) X2 N(2, 2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 12122.兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)：匹配樣本匹配樣本：一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)，可以消除樣本指定的不公平7.3.2 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)1. 假定條件兩個(gè)總體是獨(dú)立的兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分

11、布可以用正態(tài)分布來(lái)近似2.兩個(gè)總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為【例例】某飲料公司對(duì)其所做的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，它們從兩個(gè)城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個(gè)成年人，其中看過(guò)廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過(guò)廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。P1- P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知 p1=0.18， p2=0.14，1-=0.95， n1= n2=1000我們有95%的把握估計(jì)兩城市成年人中看過(guò)該廣告的比例之差在0.79% 7.21%之間7.3.3兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)【例例】用某一特定工序生產(chǎn)的一批化工產(chǎn)品中的雜質(zhì)含

12、量的變異依賴于操作過(guò)程中處理的時(shí)間長(zhǎng)度。某生產(chǎn)商擁有兩條生產(chǎn)線，為了降低產(chǎn)品中雜質(zhì)平均數(shù)量的同時(shí)降低雜質(zhì)的變異，對(duì)兩條生產(chǎn)線進(jìn)行了很小的調(diào)整，研究這種調(diào)整是否確能達(dá)到目的。為此從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的兩批產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了25個(gè)樣品，它們的均值和方差為 x1=3.2 ，S12 =1.04 x2=3.0 ， S22 =0.51試確定兩總體方差比 12/ 12的90%的置信區(qū)間。解:已知 x1=3.2，S12 =1.04x2=3.0，S22 =1.04 F1-/2 (24, 24) =F0.95 =1.98 F/2 (24, 24) =F0.05=0.5112/22置信度為90%的置信區(qū)間為7.4樣本量的確定樣本量的確定7.4.1 估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定1.根據(jù)均值區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為2.樣本容量n與總體方差2、允許誤差E、可靠性系數(shù)Z之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比其中：【例】一家廣告公想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計(jì)處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，E=500 應(yīng)抽取的樣本容量為7.4.2 估計(jì)總體比例時(shí)樣本