第三章三大守恒定律

1、第三章三大守恒定律陳 麗 娟理學(xué)院Tel：: ljchen一.沖量 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理外力作用的時(shí)間累積效果vvd (mv )F =對(duì)一質(zhì)點(diǎn)而言：dtFdt = d (mv)(1)t2òFdt = mv2 - mv1(2)兩邊：t1§1沖量 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理tò=2其中令I(lǐng)Fdt稱為力的沖量.t1:牛頓秒說(shuō)明： 1)2)矢量，與力大小、方向有關(guān)；與時(shí)間間隔有關(guān)。I = mv2 - mv1òt2 Fdt = mv - mvt121令 P = mv稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，則:動(dòng)量定理：在一段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，等于該時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量。tò2F

2、dtp - ptF =平均沖力：21,1t2 - t1t2 - t1I = P2 - P1結(jié)論：物體動(dòng)量變化一定的情況用時(shí)間越長(zhǎng)，物體受到的平均沖力越小；反之則越大。海綿墊子可以延長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)員下落時(shí)與其接觸的時(shí)間，這樣就減小了地面對(duì)人的沖擊力。應(yīng)用中常用分量式：F = Fxi + Fyj + Fz k設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受沖力® t2時(shí)間 t1狀態(tài)由：v1 = v1xiv2= v2 xi+ v1y+ v2 yj + v1z kj + v2 zkt2òI =Fdt = mv2 - mv1t1t2- mv1xI1t2òI y =Fydt = mv2 y- mv1yt1t2ò

3、Iz =Fzdt = mv2 z- mv1zt1說(shuō)明：哪一方向的沖量只改變哪一方向的動(dòng)量。例：一籃球質(zhì)量0.58kg，從2.0m高度下落，到達(dá)地面后，以同樣速率反彈，接觸時(shí)間僅0.019s，求：對(duì)地平均沖力？解：籃球到達(dá)地面的速率v =2gh =2 ´9.8 ´ 2 = 6.3m / sF - mg = 2mvDtF = mg + 2mvDt= 0.58 ´ 9.8 + 2 ´ 0.58 ´ 6.3 = 3.86 ´102 N0.019的壘球以v1 = 20m/s例：質(zhì)量 m=0.3kg的速度沿水平方向飛來(lái)，被棒打擊后，又以v2 =3

4、0m/s的速度沿q = 30°仰角飛出，若球與棒的接觸時(shí)間約為0.01s，求棒擊打壘球的平均沖力。y解：以壘球?yàn)檠芯繉?duì)象受到棒對(duì)球的沖力 F和重力W（可忽略）vv2qxvOv1rFDtrmv2v1 = 20i (m/s)ajqxrmv1v = 30(-cos300i + sin 300 j )(m/s)2F = mv2 - mv1= -1380i + 450 j (N)Dttana = Fya » 1620Fx質(zhì)量m = 1kg的質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)開(kāi)始沿半徑R = 2m的例圓周運(yùn)動(dòng)。以O(shè)點(diǎn)為自然坐標(biāo)原點(diǎn)。已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)= 2 s這段方程為s = 0.5p t2 。試求從t2t =2

5、 s到1時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量。vmv112= s = 2q解：s = 1211R= s22s= 1 22 = 2Oq= 222Rv = ds = tmvv1dt2 m×s-1v = 2 m×s-1v =12mvv1kg ×m×s-1kg ×m×s-1mv =2q1vmv2mv2 = 2D(mv)I = mvvv2 - mvv1 = D(m )vDmv =(v )+ (mv)22+ 42 =6 kg ×m×s-1=22vm126 = 7.69 kg ×m ×s-1=Itanq = mv22q

6、 = 54°44¢=mv12二.F1F質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理m1F13F31m3F12F23受外力：FFF12321m2受內(nèi)力：F12F23對(duì)質(zhì)點(diǎn)“1”F21F32F31FF13F232Fvvvdv3(m v ) = F + F dt11112+ F13vvvdv(m v ) = F dt222+ F21 + F23對(duì)質(zhì)點(diǎn)“2”vvvdv對(duì)質(zhì)點(diǎn)“3”(m v ) = F dt333+ F32 + F31vvvdvF1Fm(m v ) = F dt111+ F 2+ F131FF1312vvvdv(m v ) = F dt222+ F21+ F32+ F23+ F3121FFmvv

7、v2331dv2F32(m3v3 ) = F3Fmdt23F以上三式相加：3vvvdvvv(m v + m v + m v ) = F + F + F dt112233123設(shè)有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則：d (m v + m v +m v ) = F + F + F1 122nn12ndtvvvP = m1v1 + m2v2+Lmnvn令:vvvdP =F1 + F2+LFndt(F1 + F2t2+Fn )dt = dPP2òò兩邊：(F + F +F )dt =dP12ntP11即:nå Ii = P2 - P1i=1質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的

8、增量。注意：只有質(zhì)點(diǎn)系的外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量。nå Ii = P2 - P1i=1注意Ø 區(qū)分外力和內(nèi)力Ø 內(nèi)力僅能改變系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)物體的動(dòng)量，但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量.例一裝沙車以速率v= 3m/s從沙斗下通過(guò)，每秒鐘落入車廂的沙為Dm = 500kg，如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力？(設(shè)車與軌道的摩擦不計(jì))解設(shè)t時(shí)刻已落入車廂沙子的質(zhì)量與沙車的質(zhì)量之和為m，dt時(shí)間內(nèi)即將落入的沙子質(zhì)量為dm。以m和dm為研究系統(tǒng)mv + dm × 0 = mvmv + dm ×v = (m + dm)vdp = (m + dm)v - mv

9、= dm ×vt時(shí)刻水平總動(dòng)量為t + dt時(shí)刻的動(dòng)量為動(dòng)量的增量為根據(jù)動(dòng)量定理Fdt = dp= dm ×vF = dm v= 500´ 3 N= 1.5´103 NdtdmvmFx一.動(dòng)量守恒定律å F外故有= 0證明： dvvv(m v + m v +L+ m v ) = 0dt1122nnnåmivi = c(å F外 = 0)i=1表述：若質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，則質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量保持不變。§2動(dòng)量守恒定律思考1. 合外力為零，或外力與內(nèi)力相比小很多；2. 合外力沿某一方向?yàn)榱悖?. 只適用于慣性系；4. 比

10、牛頓定律更普遍的最基本的定律。å pia= const .i例：水平光滑的鐵軌上有一小車，車長(zhǎng)L，質(zhì)量為M，車端站有一量為m。人和車原來(lái)都靜止不動(dòng)，現(xiàn)設(shè)該人從一端走到另一端，問(wèn)人和車各移動(dòng)的距離為多少？已知：L, M , m, m = 0求：X、xvm人地Mv車地LXO解：1）人、車為研究對(duì)象2） 分析力：水平方向受力為零3） 以地球?yàn)閰⒄障到⒆鴺?biāo)OXxXv人地v車地Lm4）依動(dòng)量守恒列方程MXO+ Mv= 0mv(1)人地車地= v人地 - v車地v人車(2)x= m + M vXv人地人車M整個(gè)過(guò)程中，人在車上行走了距離L。故要找到L與人的速度的關(guān)系。= m + M vv人地人

11、車M設(shè)人從一端走到另一端需用時(shí)間t，兩邊。dt = M + mtvtvòòdt人車人地M00 L = M + m xML = x + Xm X = L - x =LM + m x =MLM + m二.火箭飛行原理我國(guó)長(zhǎng)征系列火箭升空例 火箭是一種自帶空飛行器，它依靠和助燃劑的太燃燒噴出的氣體所產(chǎn)生的反沖推力向前推進(jìn)。設(shè)不計(jì)地球引力和空氣阻力。求火箭所能達(dá)到的最大速度。解設(shè)各量如圖。圖中dm > 0，且v、v + dv兩個(gè)速度均為相對(duì)于地面參考系的速度。u稱為火箭的噴氣速度，氣體相對(duì)于火箭的速度。(M - dm)(v + dv) + dm(v + dv - u) = M

12、v,dM = -dmMdv = -udM ,v = v + u ln Mi ,燃燒完畢后火箭的質(zhì)量為 M若全部iMfv = v + uln mi則火箭最后能夠達(dá)到的速度為fimfv + dvvM - dmM(dm)umimv = v ln為質(zhì)量比ifrmmff多級(jí)火箭：設(shè)各級(jí)火箭的質(zhì)量比分別為N1，N2，N3 ，v1 = vr ln N1v2 = v1 + vr ln N2v3 = v2 + vr ln N3+ ln N3 ) = vr ln(N1 × N2 × N3 )一級(jí)火箭速率：火箭速率： 三級(jí)火箭速率：v3 = vr (ln N1 + ln N2v = 2.5

13、80;103m ×s-1設(shè)，N = N = N = 3r1233-13-1v3 = 2.5´10 m×s´ 3´ ln3 = 8.2 ´10 m× s得& 應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律解題步驟(1) 選取研究對(duì)象。(2) 分析受力。是否滿足合外力為零，或是否沿某一方向合外力投影的代數(shù)和為零，或是否合外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力？若滿足這類條件，就應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求解，否則就應(yīng)用動(dòng)量定理求解。(3) 確定過(guò)程。需要考慮一定的時(shí)間間隔或一個(gè)過(guò)程。(4) 列方程求解。要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般要列出動(dòng)量定理或動(dòng)量守恒定律方程的分量式。b一.

14、 功（力的空間積累）jidriF1. 元功dAi = Fi dri cosfiia元功dAi = Fi × dri2. 有限路徑上變力對(duì)物體做功b= ò dA= ò Fi × driaAabi§4功 動(dòng)能和動(dòng)能定理直角坐標(biāo)系分量式：F = F i + F j + F kxyzdr = dxi + dyj + dzk(F dx + F dy + F dz )bòA =xyza( L)自然坐標(biāo)系分量式：F = Fnn + Fttbds = dstFt dsbòòA =F × ds =aabA = ò

15、a( L) F × dr例:已知F = F0 ( xi + yj )N ,質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),求質(zhì)點(diǎn)由O ® A(R, R)的過(guò)程中, F所作的功.y解：dA = F0xdx + F0 ydy· ARRòòA =+1FxdxF0 ydy000ox1=F R2 +F R20022= F R203. 合力的功F = F1 + F2其合力的功： A = òL F × dr+L+ Fn= òL (F1 + F2+ Fn ) × dr= òL F1 × dr +òL F

16、2 × dr+ òL Fn× dr= A1 + A2 + An4.功率1）平均功率（P ）DA在 Dt 時(shí)間內(nèi)力作功 DAP = Dt2）瞬時(shí)功率（P ）FvP = lim DA = dAqDtdtDt®0vF × drdAQdA = F × dr=Pdtdt P = F × v = Fv cosq例:設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的合力F = 6t N。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭2 s內(nèi)這力做了多少功？a = F = 6t = 3ta = dv解：Qmò2dtdv = adt = 3t dttv = 3 t

17、 2vò兩邊：v =d3tdt200dx = vdt = 3 t 2dtv = dx2= 36 Jdt39422òòA =F × dx =6t ×=24t dtt200例：質(zhì)量為m的物體從靜止開(kāi)始，在豎直平面內(nèi)沿著四分之一的圓周從A滑到B（如圖）。在B處 AO速度的大小是v，已知圓的半徑為R，用作功定義求物體從A到B摩擦力所作的功。解：以物體為研究對(duì)象在物體由A到B的過(guò)程中， 任取一位置進(jìn)行受力分析根據(jù)牛頓第二定律沿切向有RvqdqN= m dvfmg sinqmg cosq - f = matdtdsmg cosqmgf = mg cosq

18、- m dvdt摩擦力f 與元位移ds沿同一直線方向相反f是變力bbòòA =F × dr =Ft ds物體經(jīng)過(guò)位移元ds摩擦力所作元功aadA = - fds = -(mg cosq - m dv )dsdt由A到B過(guò)程摩擦力所作的功A = ò dA = ò(-mg cosq )ds + ò(m dv)dsqdtdqp2Nfmg sinqvòò-mg cosq Rdq +=mvdvdsmg cosqmg00= -mgR + 1 mv22二.動(dòng)能和動(dòng)能定理bdvA = ò m dt × drad

19、v × dr = dr × dv = v × dv = 1 dv2dtA =dtmdv2 =2b111ò 2mv2 -mv2ba22a動(dòng)能定理:A = Ekb - Eka在一段位移中，合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。bA = òa( L) F × dr對(duì)質(zhì)點(diǎn)系例：，過(guò)程內(nèi)力和為零，但內(nèi)力所做的功轉(zhuǎn)化為彈片的動(dòng)能。 迄今，最不可思議的動(dòng)能是，宇宙射線中有些質(zhì)子的動(dòng)能達(dá)到 1019 eV，是其靜止能量的1010倍。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作的總功等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量。A外 + A內(nèi) = Ekb - Eka例：已知m =1kg，在

20、F作用下沿x軸運(yùn)動(dòng)，x = 3t - 4t 2在0 4秒內(nèi)，求F沖量大小及F對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功。解：要求沖量得先求力。由于+ t3(SI ).v = 3 -8t + 3t2 m/s，a = -8 + 6tm/s2F = -8 + 6t則(N)44òòI =Fdt =(-8 + 6t)dt =16(N.S)00由于v4 = 19m/s, v0= 3m/s,則m=(v - v2 ) = 1762A也可根據(jù)定義求(J)40244A = òòòFdx =(-8 + 6t)(3 - 8t + 3t )dt=2Fvdt176(J)L00題型 已知：F = F (t

21、), r = r(t), 應(yīng)用動(dòng)能定理A = 1 mv2 - 1 mv22122求從t1到t2力F作的功。例：質(zhì)量為m = 10kg的物體沿x軸無(wú)摩擦地運(yùn)動(dòng)，t = 0時(shí)，速度為零。設(shè)物體在F = 4 + 2t 2 (N )的作用下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷了3s，求力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功。F = ma解：設(shè)物體在3s末的速度為v¢,a = dv= F= 4 + 2t2dtm104 + 2t 2dv =分離變量dtA = 1 mv¢2=´10´ 32- 1 mv22- 0 = 45(J )1024 +22t¢v3òò1dv =()dt21000得

22、：v¢ = 3(m / s)例：一個(gè)質(zhì)量15g的，以200米/秒的速度射入一固定的木板內(nèi)f = 求-如阻力與射入木板的深度成正比，即射入木板的深度。b = 5.0 ´103 N / cm解1）：以m為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)系ox設(shè)射入深度為 llA = ò Fx dx = ò -b xdxvfm0XO0lx= - 1 bl 2l2- 1 bl212=0 -由動(dòng)能定理： A = E- E20mvk 2k1212= 02Q Emv ;Emv2k10= 3.46´10-2 mk 2l =ob例一質(zhì)量為1.0kg 的小球系在長(zhǎng)為1.0m 細(xì)繩下端 , 繩的

23、上端固定在天花板上 .起初把繩子放在與豎直線成 30° 角處, 然后放手使小球沿圓弧下落 .豎直線成10° 角時(shí)小球的速率 .試求繩與d A = Ft ×d s= -mgl sinq dq解qA = -mgl òq0sinq dq = mgl(cosq - cosq0 )A = 1 mv2 -m1由動(dòng)能定理2v022v =2gl(cosq - cosq0 )= 1.53m×s-1q0qdqlFTvd sGq& 應(yīng)用動(dòng)能定理求解力學(xué)問(wèn)題的一般步驟(1) 確定研究對(duì)象；質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系。(2) 分析研究對(duì)象受力情況和各力的作功情況；質(zhì)點(diǎn)系必須區(qū)

24、分外力和內(nèi)力。選定研究過(guò)程；要確定初、末狀態(tài)，及其對(duì)應(yīng)的動(dòng)能。(4) 列方程；根據(jù)動(dòng)能定理列出方程，并列出必要的輔助性方程。(5) 解方程，求出結(jié)果。并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。四.兩 體 碰 撞（對(duì)心碰撞）兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化，這一過(guò)程稱為碰撞。+ m2 v20= m1v1 + m2 v2m1v10動(dòng)量守恒完全彈性碰撞非彈性碰撞完全非彈性碰撞v10v20v1v2m1m2m1m2mm11m2Ox碰撞前vv碰撞v碰撞v后完全彈性碰撞（五個(gè)小球質(zhì)量全同）1完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的動(dòng)能沒(méi)有損失。12111+=m v+2222m vm vm

25、 v1102201122222+ m2 v20= m1v1 + m2 v2m1v10= (m1 - m2 )v10 + 2m2 v20= (m2 - m1 )v20 + 2m1v10v;v12m + mm + m1212(1)如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時(shí)速度發(fā)生了交換。(2) 如果v20 =0 , 且 m2 >> m1, 則v1 = - v10, v2 = 0v10v20v1v2m1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后2完全非彈性碰撞：碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能有損失，且碰撞后碰撞物體結(jié)一體，以同一速度運(yùn)動(dòng)。+ m2 v20v = m1v10由

26、動(dòng)量守恒定律m1 + m2完全非彈性碰撞中動(dòng)能的損失1212m v) - 1 (mDE = (m v+ m22)v2110220122- v)2m m (v= 1210202(m1 + m2 )v10v20vm1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后+ m2 v20= m1v1+ m2 v2m1v103非彈性碰撞：牛頓的碰撞定律：在一維對(duì)心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2-v1與碰撞前兩物體的接近速度 v10-v20成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。v2 -v1e =e 為恢復(fù)系數(shù)-v20v10e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞

27、。一般非彈性碰撞：0 < e < 1v10v20v1v2m1m2m1m2m1m2碰撞前碰撞碰撞后一.作用力與反作用力的功vvdr1f12dr2 m2f21dA = f× dr + f× drm1vr21121212v= - f21f12dA =r1vr2f21 × dr21ObA = òaf21 × dr21“一對(duì)相互作用和反作用力” 所做的功之和等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑所作的功§5 勢(shì)能 功能原理 機(jī)械能守恒(2)(2)= ò f2 ×d r21 (= ò

28、f1 ×d r12 )A12對(duì)(1)(1)兩質(zhì)點(diǎn)間一對(duì)力所做的功等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑所做的功。說(shuō)明：1. A對(duì) 與參考系選取無(wú)關(guān)。2. 以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)靜止，以該質(zhì)點(diǎn)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受力所做的功即為一對(duì)力所做功之和。重力做功3.在無(wú)相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況下，一對(duì)力的功必為零。例如：Nm12v2v12Nv1M光滑r¹ 0¹ 0AN 不垂直于v1NrN ¢A不垂直于v 2N ¢Q N rv, 即 N d r12v12A對(duì) = AN + AN¢ =

29、 0二、保守力與非保守力1.重力的功與路徑無(wú)關(guān)hbò=-mgdz = -mg(hA- h ) = mgh - mghabbaabha初末zahbhab·oyx2.萬(wàn)有引力的功與路徑無(wú)關(guān)= G mMfr 2dA = f × dr = f cosa dr= f cos(180 -q ) drcosq= - fdr= - fdr =G mM drr2-G mM drrbòA =2rMra= -GmM ( 1 - 1 )= (-G mM ) - (-G mM )rarbrarb初末q drm · a draf·b·rarb3.彈簧彈

30、性力作的功與路徑無(wú)關(guān)小球由a點(diǎn)到b點(diǎn)彈性力作的功v×v- kxdx= - 1 k(12xxòò=bb-AF dx2a2kxabb22xaxa如果力作功僅與運(yùn)動(dòng)物體的始末位置有關(guān)而與所經(jīng)路徑無(wú)關(guān)，則稱之為保守力。初末重力、彈簧彈性力、萬(wàn)有引力，靜電場(chǎng)力、力是保守力abxl0o4.摩擦力的功f = mmg摩擦力所作元功dA = -mmgds與路徑有關(guān)沿路徑L1運(yùn)動(dòng)，摩擦力所作的功AL=- mmgds = -mmgS1ò1L作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力1沿路徑L2運(yùn)動(dòng)，摩擦力所作的功AL= ò- m摩擦力是非保守力及磁力、22力L2Lm1bfS1a

31、S2fmL22保守力和非保守力作功與路徑無(wú)關(guān)或沿閉合路徑作功等于零。這c類力稱為保守力。設(shè) f 為保守力，則：a ··bòacbf × ds = òadb f × dsd對(duì)于閉合路徑acbd,則有ò f × ds = òacb f × ds + òbda f × ds = òacb f × ds - òadbf × ds = 0òf × ds = 0f為保守力充要條件保守力：重力、萬(wàn)有引力、靜電力、彈性力非保守力：

32、摩擦力、磁場(chǎng)力三.勢(shì)能定義一個(gè)只依賴于位置矢量 r的函數(shù)來(lái)描述保守力的功勢(shì)能零點(diǎn)oEp = U (r )º ò f保 × dr勢(shì)能或位能EPbb= U (ra ) -U (rb )Aab保守力作功注意1)只有存在保守力，才有勢(shì)能的概念；2)勢(shì)能決定于物體間的相對(duì)位置；3)選定勢(shì)能零點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在保守力作用下，保守力所作的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。Aab = -(Epb - Epa )例：重力勢(shì)能，以地面為參考點(diǎn)a mg0參òò=F × dr =-mgdy = mghEPaahb例：彈性勢(shì)能，以彈簧的平衡位置為參考點(diǎn)參ò=F 

33、5; drEPaFa-kxdx = 1 kx20ò=Oxaa2xa例：引力勢(shì)能，選¥遠(yuǎn)為參考點(diǎn)Fv F F FFaraM地參F × dr =¥MmMm-Gdr = -Gòò=EPa2rraara四.由勢(shì)能函數(shù)求保守力dU = U (r + dr ) -U (r )dU = -dA = - f保 × dr( f保 ×g )dl = -dU= - dU×gf直角坐標(biāo)系中保dl= - ¶U ，f= - ¶U , f= - ¶U ,f保x¶x保y¶y保z¶

34、;z= -ÑU (r ) = - ¶U i - ¶Uj - ¶U k .f矢量：¶x¶y¶z保§5 功能原理 機(jī)械能守恒 一.功能原理A外 + A內(nèi) = EKb - EKa內(nèi)力：保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力+ A保內(nèi) + A非保內(nèi)= EKb- EKaA外A保EPa - EPb+ A非保內(nèi)= (EKb + EPb ) -(EKa+ EPa )A外+ A非保內(nèi)= (EKb + EPb ) -(EKa+ EPa )A外+ Ep = E 稱為系統(tǒng)的機(jī)械能令 Ek質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：外力和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功的總和等于質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的增

35、量。A外 + A非保內(nèi) = Eb - Ea初機(jī)械能末機(jī)械能例：一條均勻鏈條，質(zhì)量m，總長(zhǎng)L，桌面與鏈條間磨擦系數(shù)為mk，初下垂長(zhǎng)度為 l，開(kāi)始靜止。求: (1) 鏈條全部離開(kāi)桌面時(shí)，摩擦力、重力作功；(2) 鏈條離開(kāi)桌面時(shí)的速率。（桌子足夠高）NTL - xfrL - lYTm1 gLlxm2 gX(a)開(kāi)始(b) 任意時(shí)刻(c)剛離開(kāi)桌面f= æ L - x ö m mg解：（1）ç÷krèLø長(zhǎng)度由lL摩擦力做功：m mgLLæ L - x ö÷ dx = - k(L - l )Ar = -ò

36、; frdx = -ò mkmg ç2èøL2Lll重力的功：(l = m / L)- l 2 )= mg (L2 - l 2 )lgxdx = 1 lg(L2Lòl=AW2L2（2）解法一利用動(dòng)能定理A = - mk mg (L - l )2r2L= mg (L2 - l 2 )AW2LA+ A = 1 mv2 - 0Wr2g é(L2 - l 2 ) - m(L - l )2 ùv =L ëûk解法二利用功能原理以鏈條和地球?yàn)檠芯繉?duì)象：內(nèi)力：ì重力：保守力外力：無(wú)íî摩擦

37、力：非保守力以桌面為重力勢(shì)能零點(diǎn)E = -llg l = - mg l 2初機(jī)械能：122LE = -mg L + 1 mv2末機(jī)械能：222Ar = E2 - E1功能原理：E = -llg l = - mg l 2初機(jī)械能：122LE = -mg L + 1 mv2末機(jī)械能：222= E2 - E1Ar功能原理：g é(L2- l 2 ) - m (L - l )2 ùv =L ëûk二機(jī)械能守恒若： A外0A非保內(nèi)0機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律：如果質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力作功，外力及和非保守內(nèi)力都不作功， 則系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能可以轉(zhuǎn)化，但系統(tǒng)的總機(jī)械能保

38、持不變。Eb = EaA外 + A非保內(nèi) = Eb - Ea注意功能原理及機(jī)械能守恒三要點(diǎn)：（1）明確所研究的系統(tǒng)；（2）找出始末兩狀態(tài)；（3）注意勢(shì)能零點(diǎn)的選取。& 應(yīng)用功能原理或機(jī)械能守恒定律解題步驟(1) 選取研究對(duì)象。(2) 分析受力和守恒條件。是否滿足機(jī)械能守恒條件，如不滿足，則應(yīng)用功能原理求解。(3) 明確過(guò)程的始、末狀態(tài)。需要選定勢(shì)能的零勢(shì)能位置。(4) 列方程。(5) 解方程，求出結(jié)果。(6) 討論解的物理意義。例： 一輕彈簧，勁度系數(shù)為 k ，原長(zhǎng)至 O¢點(diǎn)，加m 后至 O點(diǎn)平衡，再給 m 一個(gè)初速v，問(wèn)從開(kāi)始最大伸長(zhǎng)量 x為多少？O解：彈簧、質(zhì)點(diǎn)和地球O&

39、#162; 為彈性和重力勢(shì)能零點(diǎn)O¢(a)x設(shè) o¢o = x ，則0OOO0mmvx(b)初機(jī)械能：(c)v = 0mE = 1 mv2 +12(d )狀態(tài)2kx - mgx2狀態(tài)11002初機(jī)械能： E = 1 mv21+kx - mgx2100212=k(x +- mg(x + x )2末機(jī)械能： Ex )2002E1 = E2kx0 = mg系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即mx = vk例計(jì)算第一、第二宇宙速度1. 第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質(zhì)量為m0，質(zhì)量為m。要使在距地面h高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求其發(fā)射速度。解：設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v。12v -

40、G m0m = 1 mv2- G m0m2m機(jī)械能守恒：1R + hR2mm0Rv2m m= m由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律：G0(R + h)2R + h2Gm0 - Gm0解方程組，得：=v1R + hRQmg » G mm0Gm0= gRR2RR代入上式，得：=gR(2 -v)1R + hh << RgR = 7.9´103 m × s-1Qv »12. 第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1） 脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能必須大于或至少等于零。（2） 脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。12v - G m0m = E+ E= 02m由機(jī)械能守恒定律：k¥p¥2R2Gm02v = 11.2´103 m × s-1=2gR =解得：v21R一.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量例如天文上行星太陽(yáng)轉(zhuǎn)，時(shí)間內(nèi)掃過(guò)r ´