系統(tǒng)根軌跡校正

1、自動控制系統(tǒng)的設(shè)計-基于根軌跡的串聯(lián)校正設(shè)計 與頻域法相似，利用根軌跡法進行系統(tǒng)的設(shè)計也有兩種方法：1）常規(guī)方法；2）Matlab方法。Matlab的根軌跡方法允許進行可視化設(shè)計，具有操作簡單、界面直觀、交互性好、設(shè)計效率高等優(yōu)點。目前常用的Matlab設(shè)計方法有：1）直接編程法；2）Matlab控制工具箱提供的強大的Rltool工具；3）第三方提供的應(yīng)用程序，如CTRLLAB等。本節(jié)在給出根軌跡的設(shè)計思路的基礎(chǔ)上，將重點介紹第一、二種方法。6.4.1 超前校正關(guān)于超前校正裝置的用途，在頻率校正法中已進行了較詳細的敘述，在此不再重復(fù)。利用根軌跡法對系統(tǒng)進行超前校正的基本前提是：假設(shè)校

2、正后的控制系統(tǒng)有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，這樣系統(tǒng)的動態(tài)性能就可以近似地用這對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。因此在設(shè)計校正裝置之前，必須先把系統(tǒng)時域性能的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為一對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。通過校正裝置的引入，使校正后的系統(tǒng)工作在這對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點處，而閉環(huán)系統(tǒng)的其它極點或靠近某一個閉環(huán)零點，或遠離s平面的虛軸，使它們對校正后系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最小。是否采用超前校正可以按如下方法進行簡單判斷：若希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點位于校正前系統(tǒng)根軌跡的左方時，宜用超前校正，即利用超前校正網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的相位超前角，使校正前系統(tǒng)的根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。 （一）根軌跡超前校正原理設(shè)一個單位反饋系統(tǒng)，G0(

3、s)為系統(tǒng)的不變部分，Gc(s)為待設(shè)計的超前校正裝置，Kc為附加放大器的增益。繪制G0(s)的根軌跡于圖619上，設(shè)點Sd 為系統(tǒng)希望的閉環(huán)極點，則 若為校正后系統(tǒng)根軌跡上的一點，必須滿足根軌跡的相角條件，即Gc(Sd)G0(Sd)=Gc(Sd)+G0(Sd)=-圖6-18于是得超前校正裝置提供的超前角為：(6-21)顯然在Sd已知的情況下，這樣的Gc(s)是存在的，但它的零點和極點的組合并不唯一，這相當(dāng)于張開一定角度的剪刀，以Sd為中心在擺動。若確定了Zc和Pc的位置，即確定了校正裝置的參數(shù)。下面介紹三種用于確定超前校正網(wǎng)絡(luò)零點和極點的方法。（二）三種確定超前校正裝置參數(shù)的方法零

4、極點抵消法在控制工程實踐中，通常把Gc(s)的零點設(shè)置在正對希望閉環(huán)極點Sd下方的負實軸上，或位于緊靠坐標(biāo)原點的兩個實極點的左方，此法一般可使校正后系統(tǒng)的期望閉環(huán)極點成為主導(dǎo)極點。比值最大化法能使超前校正網(wǎng)絡(luò)零點和極點的比值為最大的設(shè)計方法。按照該法去設(shè)計Gc(s)的零點和極點，能使附加放大器的增益盡可能地小。以圖619上的點O和Sd，以Sd為頂點，線段O 為邊，向左作角，角的另一邊與負實軸的交點Zc=-1/T，點Zc就是所求 的一個零點。再以線段ZcSd為邊，向左作角PcSdZc，該角的另一邊與負實軸的交點Pc=-1/T，點 就是所求Gc(s)的一個極點。根據(jù)正弦定理，由圖618求得:(6-

5、22)(6-23)于是有:(6-24)將夾角作為自變量，式（624）對求導(dǎo)，并令其等于零，即d/d=0由上式解得對應(yīng)于最大值時的角為(6-25)不難看出，當(dāng)希望的閉環(huán)極點Sd被確定后，式（625）中的和均為已知值，因而由上式可求得角，然后由式（622）和式（623）求得相應(yīng)的零極點。幅值確定法設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):(6-26)且令超前校正裝置的傳遞函數(shù)：(6-27)若要求校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)K(Kp,Kv,Ka)，則由上式可首先確定k：(6-28)在開環(huán)增益k確定后，根據(jù)根軌跡原理，若Sd為校正后的閉環(huán)極點，則它除必須滿足相角條件外，還應(yīng)滿足幅值條件：(6-29)上式中，同樣根據(jù)平面三角形

6、原理，對于ZcOSd有：(6-30)而對于PcOSd有：(6-31)由上二式消去sin，并由式（629）可得：(6-32)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，上式可寫成如下形式：(6-33)進而有：(6-34)由于k可由穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)確定，u由未校正傳遞函數(shù)求出，因此根據(jù)上式求出角。最后可用式（622）和式（623）確定校正裝置的零極點和具體參數(shù)。通過上述分析可知，對于超前校正裝置的參數(shù)確定，可用三種方法進行設(shè)計，其中第一法是工程經(jīng)驗方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發(fā)進行設(shè)計，第三法則先在滿足靜態(tài)性能指標(biāo)的條件下設(shè)計滿足動態(tài)性能指標(biāo)的控制器。但必須指出，上述三法均用于對靜態(tài)性能要求不高而系統(tǒng)的動態(tài)性能需要改善

7、的控制系統(tǒng)，校正后的系統(tǒng)應(yīng)滿足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標(biāo)較高，可能無法設(shè)計合適的超前校正裝置，此時應(yīng)采用遲后超前校正裝置。（三）根軌跡超前校正的步驟綜上所述，用根據(jù)軌跡法進行超前校正的一般步驟為：）根據(jù)對系統(tǒng)靜態(tài)性能指標(biāo)和動態(tài)性能指標(biāo)的要求，分析確定希望的開環(huán)增益k閉環(huán)主導(dǎo)極點Sd的位置）畫出校正前系統(tǒng)的根軌跡，判斷希望的主導(dǎo)極點位于原系統(tǒng)的根軌跡左側(cè)，以確定是否應(yīng)加超前校正裝置。）根據(jù)式（21）解出超前校正網(wǎng)絡(luò)在Sd點處應(yīng)提供的相位超前角。）選擇前面介紹的三種方法之一，求，爾后用圖解法或根據(jù)式（22）和式（23）求得Gc(s)的零點和極點，進而求出校正裝置的參數(shù)。）畫出

8、校正后系統(tǒng)的根軌跡，校核閉環(huán)主導(dǎo)極點是否符合設(shè)計要求。）若采用第一法和第二法，則還須根據(jù)根軌跡的幅值條件，確定校正后系統(tǒng)工作在 處的增益和靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)與要求的值相差不大，則可通過適當(dāng)調(diào)整Gc(s)零點和極點的位置來解決；如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后超前校正。下面舉例分別介紹上述三法的使用，進而對根軌跡超前校正步驟進行說明。例65 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試設(shè)計一超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 。解：（）這是一個積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 

9、;，阻尼比  ，閉環(huán)極點為  以及靜態(tài)速度誤差系數(shù)  ，校正前系統(tǒng)的根軌跡如圖20虛線所示。圖6-20（）由 和  ，求得希望的閉環(huán)極點為:。（）計算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統(tǒng)的 在  處的相角為：為了使校正后系統(tǒng)的概軌跡能通過希望的極點，超前校正裝置必須在該點產(chǎn)生的超前角。（4）根據(jù)根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點和極點。因為 ，  ，所以  。按照最大值的設(shè)計方法，可計算或作圖求出

10、0; ，  。這一校正裝置的傳遞函數(shù)  。于是求得由校正網(wǎng)絡(luò)和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數(shù)，并得到校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)式中，。由上式作出校正后系統(tǒng)的根軌跡，如圖620中的實線所示。（5）確定系統(tǒng)工作在希望閉環(huán)極點處的增益和靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由根軌跡的幅值條件解得 。由于  ，因而  。系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由上式求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)校正后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可由Matlab中的Gfeedback(Gc*G,1)得到：由上式可見，校正后的系統(tǒng)雖上升為三階系統(tǒng)，但由于所增加

11、的一個閉環(huán)極點 與其零點  靠得很近，因而這個極點對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響就很小，從而說明了 確為系統(tǒng)一對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。由于本例題對系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)沒有提出具體的要求，故認為上述的設(shè)計是成功的。例66 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計一超前校正裝置，使校正后的系統(tǒng)能具有下列的性能指標(biāo)：超調(diào)量 %，調(diào)整時間  。解：（1）作出校正前系統(tǒng)的根軌跡，如圖621所示。圖6-21（2）根據(jù) ，解得  ，考慮到非主導(dǎo)極點和零點對超調(diào)量的影響，取  。又由 

12、0;，求得 。進而求得系統(tǒng)的一對希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點  。（3）根據(jù)求得的主導(dǎo)極點，計算超前校正網(wǎng)絡(luò)在處應(yīng)提供的超前角為（4）由于 的開環(huán)極點正好落在希望閉環(huán)極點  下方的負實軸上，因此可采用第一法進行校正。把  的零點設(shè)置在緊靠  這個開環(huán)極點的左側(cè)。如設(shè)  ，則  的極點落在以  為頂點，向左作角  的負實軸交點上，  ，即為所求  的極點。（5） 校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為由根

13、軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作于 點處的K值為30.4。這樣，上式便改寫為據(jù)此，求得校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)如果希望 值有少量地增大，則可通過適當(dāng)調(diào)整  零點和極點的位置來實現(xiàn)，但這種調(diào)整有可能會破壞  的主導(dǎo)作用。（6）它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：或直接由如下的Matlab命令得到：zpk(feedback(G0*Gc,30.4)Zero/pole/gain:(s+1.2)-(s+6.631) (s+1.347) (s2 + 1.972s + 4.085)下面檢驗希望閉環(huán)極點  是否符合主導(dǎo)極點的條件。不難看出，由于閉環(huán)系統(tǒng)的一

14、個極點與零點靠得很近，故它對系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響很小，同時由于另一極點  距s平面的虛軸較遠，因而這個瞬態(tài)分量不僅幅值小，而且衰減的速度也快。由此得出，上述設(shè)計的超前校正裝置能使  成為系統(tǒng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點。上面兩個例題均對靜態(tài)誤差系數(shù)沒有特殊要求，否則，宜采用如下方法，即第三法。例67 有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)： ，設(shè)計一超前校正裝置，滿足如下性能指標(biāo)：靜態(tài)誤差系數(shù)  ，閉環(huán)主導(dǎo)極點位于：  處。解：（1）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡，并根據(jù)靜態(tài)誤差系統(tǒng)，確定開環(huán)增益： ， 

15、60;，（2）根據(jù)幅值確定法，并代入：超前校正裝置應(yīng)提供的超前角度：圖6-22（3）根據(jù)公式（634）確定夾角 ：得到： （4）由設(shè)計要求， ，  ， ，求出校正裝置的參數(shù)。，得到： ，  。因而超前校正裝置的傳遞函數(shù)：（5）校正后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和主導(dǎo)極點分別為：G=G0*GcTransfer function:576.8 s + 1921-s4 + 34 s3 + 256 s2 + 384 sGl=feedback(G0Gc,1)zpk(Gl)Zero/pole/gain:576.8 (s+3.33)-(s+

16、25.25) (s+4.745) (s2 + 4.006s + 16.03)顯然，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為： ，主導(dǎo)極點為：  ，設(shè)計基本符合要求。6.4.2 遲后校正通過設(shè)置校正裝置的零極點，使之形成一對在S平面上靠近原點的偶極子，這樣，在基本保持原系統(tǒng)主導(dǎo)極點的前提下，可提高系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)而不致使系統(tǒng)的動態(tài)性能變壞。例如，對于一單位反饋系統(tǒng)，若其開環(huán)傳遞函數(shù)：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K/ab ，因為系統(tǒng)主導(dǎo)極點為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯(lián)遲后校正裝置后，開環(huán)傳遞函數(shù)：若要求主

17、導(dǎo)極點基本不變，則(6-35)由于設(shè)計時選取的-1/和-1/均靠近原點，因此,但此時 可見校正后靜態(tài)誤差系數(shù)增大了約倍，而主導(dǎo)極點可基本保持不變。由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：（）畫出未校正開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡；（）根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計的時域指標(biāo)，確定主導(dǎo)極點Sd，進而計算未校正系統(tǒng)的增益及靜態(tài)誤差系數(shù)Kv ；（）將要求的靜態(tài)誤差系統(tǒng)與未校正系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)進行比較；得出遲后校正裝置的值；（）確定校正裝置的零點和極點。零點的確定方法是：以主導(dǎo)極點Sd為頂點，引線為起起始邊，向左旋轉(zhuǎn)5°-10° ，此邊與負實軸的交點即為校正裝置的零點-1/ ，由（）中值進而確定校正裝置

18、極點-1/。（）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。若新的主導(dǎo)極點Sd1或靜態(tài)誤差系數(shù)與設(shè)計要求相關(guān)較大，則宜適當(dāng)調(diào)整或-1/ ，直至滿足要求。需要說明的是，上述推導(dǎo)過程中按Kv 進行說明，但對于Kp或Ka結(jié)論相似。例68 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求校正后的系統(tǒng)能滿足下列的性能指標(biāo)：阻尼比=0.5 ；調(diào)整時間ts=10s；靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv5/s。解：（）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡如圖23中的虛線所示。（）根據(jù)給定的性能指標(biāo)，確定系統(tǒng)的無阻尼自然頻率為據(jù)此，求得希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點（）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統(tǒng)在  處的增益，即根據(jù)  ，求得&#

19、160; ,相應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為（）基于校正后的系統(tǒng)要求，據(jù)此算出遲后校正裝置的參數(shù)值，即考慮到遲后校正裝置在 點處產(chǎn)生遲后角的影響，所選取的值應(yīng)大于.5，現(xiàn)取。（）由點 作一條與線段  成  角的直線，此直線與負實軸的交點就是校正裝置的零點，由圖23 可知，零點  ，極點為  。這樣，校正裝置的傳遞函數(shù)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖23中的實線所示。由該圖可見，若要使 ，則校正后系統(tǒng)主導(dǎo)極點的位置略偏離要求值，即由  點移到 

20、0;點。相應(yīng)的增益 。校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 。比較未校正系統(tǒng)和校正后系統(tǒng)的根軌跡可見，校正后系統(tǒng)的 從0.8減到.7，這意味著調(diào)整時間略有增加。如果對此不滿意，則可重新選擇希望閉環(huán)主導(dǎo)極點的位置，且使其  值略高于0.8。圖6-236.4.3 遲后超前校正由上兩節(jié)的討論可知，超前校正主要用于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，而遲后校正則可以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。由此設(shè)想，若把這兩種校正結(jié)合起來應(yīng)用，必然會同時改善系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能，這就是遲后超前校正的基本思路。當(dāng)希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點Sd位于未校正系統(tǒng)根軌跡的

21、左方時，如只用單個超前網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)進行校正，雖然也能使校正后系統(tǒng)的根軌跡通過Sd點，但無法使系統(tǒng)在該點具有較大的開環(huán)增益，以滿足靜態(tài)性能的需要。對于這種情況，一般宜采用遲后超前校正。設(shè)遲后超前校正裝置的傳遞函數(shù)為其中Gc1(s)起遲后校正作用，它使系統(tǒng)在Sd處的開環(huán)增益有較大幅度的增大，以滿足靜態(tài)性能的需要；Gc2(s)起超前校正作用，利用它所產(chǎn)生的相位超前角c2使根軌跡向左傾斜，并通過希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點Sd，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。用根軌跡法進行遲后超前校正的一般步驟為：1）根據(jù)對系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定希望閉環(huán)主導(dǎo)極點Sd的位置。2）設(shè)計校正裝置的超前部分Gc2(s)。設(shè)計時要兼顧到既使Gc

22、2(s)在Sd處產(chǎn)生的相位超前角c2滿足Sd點的相角條件，又使Gc2(s)極點與零點的比值足夠大，以滿足遲后部分使系統(tǒng)在Sd點的開環(huán)增益有較大幅度增大的需要。3）根據(jù)所確定的值，按遲后校正的設(shè)計方法去設(shè)計Gc1(s)。4）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。由根軌跡的幅值條件，計算系統(tǒng)工作在Sd處的靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的值小于給定值，則需增大值，應(yīng)從步驟2）開始重新設(shè)計。下面以實例說明這種校正的具體步驟。例69校正前該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求校正后具有下列的性能指標(biāo)：阻尼比  ；無阻尼自然頻率  ；靜態(tài)速度誤差系數(shù) 。試設(shè)計一遲后超前校正裝置。解（1）根

23、據(jù)給定的性能指標(biāo)，求出希望的閉環(huán)主導(dǎo)極點為（2）設(shè)計校正裝置。超前部分 在  處應(yīng)提供的超前角令 的零點  ，以抵消原系統(tǒng)的一個開環(huán)極點。這樣設(shè)計不僅使校正后系統(tǒng)的階數(shù)降低，繪制根軌跡方便，而且一般易于實現(xiàn)希望閉環(huán)極點的主導(dǎo)作用。在圖6-24所示的s平面上，以  點為頂點，點  與-1點的連線為邊，向左作角  ，該角的另一邊與負實軸的交點  ，這就是所求超前部分的極點。由此可見，  ， 。（3）經(jīng)過超前部分校正后，系統(tǒng)的傳遞函

24、數(shù)為據(jù)此，作出相應(yīng)的根軌跡，如圖6-24中的實線所示。根據(jù)根軌跡的幅值條件，求得系統(tǒng)工作在 點時的增益  ，對應(yīng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為顯然， 不能滿足給定指標(biāo)的要求，所要增大的倍數(shù)  應(yīng)由遲后部分 來提供。由此可見，上述確定的=4能滿足將靜態(tài)速度誤差系數(shù)提高3.35倍的要求。（4）設(shè)計校正裝置的遲后部分 。由點  向左作一條與線段  成  角的直線，此直線與負實軸交于  ，這就是所求  的零點，它的極點 &#

25、160;。于是求得遲后部分的傳遞數(shù)為經(jīng)遲后超前校正后，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖6-24中的虛線所示。由圖可見，校正后系統(tǒng)的主導(dǎo)極點由點移動到  點，相應(yīng)的增益  ，靜態(tài)速度誤差系數(shù)為圖6-24利用Matlab進行串聯(lián)校正設(shè)計步驟，以例69為例，要求校正后具有下列的性能指標(biāo)：阻尼比 ；無阻尼自然頻率  ,但對靜態(tài)誤差系統(tǒng)沒有要求。可按如下步驟進行：（） 寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)G，并畫出其根軌跡。G0=tf(1,conv(1,1,1,4),0);Rlocus(G0);hold on;x,y=rloc_asymp(G0

26、);plot(x,y,:)（1）根據(jù)設(shè)計要求，畫出其等線和等n線，并由圖確定其主導(dǎo)極點。Zet=0.5;wn=2;sgrid(zet,wn)由圖可得到sd=-1±1.732j（2）確定超前裝置的補償角c，利用自編函數(shù)angle_c計算。Fi_c=angle_c(G0,sd)（3）確定校正器的零極點?？上冗x定校正器的零點zc=-1.2，然后由已知的、n、c計算極點。Pc=find_pc(wn,zc,theta,fi_c)（4）得到校正裝置Gc,并畫出Gc*G0的根軌跡圖。Hold on; Rlocus(Gc*G0)（5）從圖中交互確定在sd處對象的K值，并進而得出系統(tǒng)的閉環(huán)極點及階躍響應(yīng)。檢驗設(shè)計效果。K,P=rloc_find(Gc*G0)。圖6-25此例完整程序見下面，設(shè)計效果見圖625。G0=tf(1,conv(1,1,1,4),0)Transfer function:1-s3 + 5 s2 + 4 sRlocus(G0);hold on;x,y=rloc_asymp(G0);plot(x,y,':')zet=0.5;wn=2;sgrid(zet,wn)sd=-1+1.732j;Fi_c=angle_c(G0,sd)Fi_c =60.00