實驗三數(shù)字圖像的離散傅里葉變換

1、電子科技大學實驗 報 告學生姓名： 學 號： 指導教師：彭真明日 期： 2014 年 4 月 12 日一、 實驗名稱：數(shù)字圖像的離散傅里葉變換二、 實驗目的：1. 了解數(shù)字圖像的各種正交變換的概念和用途。2. 掌握各種數(shù)字圖像變換的方法和原理。3. 深入理解離散信號采樣頻率、奈奎斯特頻率及頻率分辨率等基本概念，弄清它們之間的相互關系。弄清離散傅里葉變換（DFT）中頻率泄露的原因，以及如何盡量減少頻率泄露影響的途徑。4. 熟練掌握離 DFT、DCT 的原理、方法和實現(xiàn)流程，熟悉兩種變換的性質，并能對圖像DFT 及DCT 的結果進行必要解釋。5. 熟悉和掌握利用 MATLAB 工具進行數(shù)字圖像FF

2、T 及DCT 的基本步驟、MATLAB 函數(shù)使用及具體變換的處理流程。6. 能熟練應用 MATLAB 工具對數(shù)字圖像進行FFT 及DCT 處理，并能根據(jù)需要進行必要的頻譜分析和可視化顯示。三、 實驗原理：傅里葉變換是信號處理領域中一個重要里程碑，它在圖像處理技術中同樣起著十分重要的作用，被廣泛應用于圖像提取、圖像增強與恢復、噪聲控制、紋理分析等多個方面。1. 離散傅里葉變換(DFT)要把傅里葉變換應用到數(shù)字圖像處理中，就必須處理離散數(shù)據(jù)，離散傅里葉變換的提出使得這種數(shù)學方法能夠和計算機技術聯(lián)系起來。正變換：逆變換：幅度：相位角：功率譜：2. 快速傅里葉變換(FFT)離散傅里葉變換運算量巨大，計

3、算時間長，其運算次數(shù)正比于N2，當N比較大的時候，運算時間更是迅速增長。而快速傅里葉變換的提出將使傅里葉變換的復雜度由N2下降到NlgN/lg2,當N很大時計算量可大大減少?？焖俑道锶~變換需要進行基2或者基4的蝶形運算，算法上面較離散傅里葉變換困難。3. 離散余弦變換(DCT)為FT的特殊形式，被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)的傅氏變換，即只有余弦項。變換核固定，利于硬件實現(xiàn)。具有可分離特性，一次二維變換可分解為兩次一維變換。正變換：逆變換：其中：四、 實驗步驟：1. 1D離散信號FFT計算及頻率分布曲線繪制(1) 打開計算機，進入matlab程序；(2) 畫出程序設計流程圖；(3) 在matlab中輸

4、入代碼輸入所需的1D連續(xù)信號x，并設置采樣頻率；(4) 對信號x進行離散化，并分別做128點和1024點的FFT變換；并將中心平移；(5) 在同一窗口作出全部采樣頻率fs范圍、頻譜中心化后及去負頻3種方式的幅值隨頻率變化的分布圖；(6) 記錄下圖像，并對結果進行分析。2. 模型圖像的 2D FFT 實驗(1) 畫出程序設計流程圖；(2) 在matlab中輸入代碼生成兩幅數(shù)字圖像；(3) 分別進行DFT變換，并做頻譜中心化處理；(4) 在同一窗口作出生成的及DFT變換后的2D頻譜圖；(5) 記錄下圖像，并對結果進行分析。3. 任選圖像的 2D FFT 實驗(1) 畫出程序設計流程圖；(2) 在m

5、atlab中輸入代碼讀取一幅大小合適的灰度圖像；(3) 分別進行6464、128128、256256 FFT變換，并做頻譜中心化處理；(4) 畫出變換前的原始圖像及其頻譜的二維平面圖；(5) 顯示6464的3D FFT圖像；(6) 記錄圖像，并對結果進行分析。 五、 程序框圖六、 程序源代碼：1. 1D離散信號FFT計算及頻率分布曲線繪制clf;clc;clear all;fs=100;N1=128;N2=1024; % 采樣頻率和數(shù)據(jù)點數(shù)n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;t1=n1/fs;t2=n2/fs; % 時間序列x1=0.5*sin(30*pi*t1)+2*sin(80*pi*

6、t1); % 輸入信號x2=0.5*sin(30*pi*t2)+2*sin(80*pi*t2); % 輸入信號y1=fft(x1,N1);y2=fft(x2,N2); % 對信號FFTmag1=abs(y1);mag2=abs(y2); % 求得FFT幅值y1=fftshift(y1);y2=fftshift(y2); % 頻譜原點對稱mag3=abs(y1);mag4=abs(y2); % 求取FFT振幅f1=n1*fs/N1;f2=n2*fs/N2; % 頻率采樣序列subplot(3,2,1),plot(f1,mag1); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振

7、幅);title(N=128,全部頻率);grid on;subplot(3,2,2),plot(f2,mag2); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024,全部頻率);grid on;f3=f1-f1(N1/2);subplot(3,2,3),plot(f3,mag3); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=128，對稱頻譜);grid on;f4=f2-f2(N2/2);subplot(3,2,4),plot(f4,mag4); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylab

8、el(振幅);title(N=1024，對稱頻譜);grid on;subplot(3,2,5),plot(f1(1:N1/2),mag1(1:N1/2); % 繪制有效頻譜xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=128，有效頻率);grid on;subplot(3,2,6),plot(f2(1:N2/2),mag2(1:N2/2); % 繪制有效頻譜xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024，有效頻率);grid on;2. 模型圖像的 2D FFT 實驗clf,clc,clear all;f1=zeros(50,50);f2=ze

9、ros(50,50);f1(11:40,11:40)=1;f2(21:30,21:30)=1;subplot(2,2,1),imshow(f1); subplot(2,2,2),imshow(f2); F1=fft2(double(f1);F1=fftshift(F1);F2=fft2(double(f2);F2=fftshift(F2);ref1=real(F1),imf1=imag(F1);A1=sqrt(ref1.2+imf1.2);F3=A1;ref2=real(F2),imf2=imag(F2);A2=sqrt(ref2.2+imf2.2);F4=A2;subplot(2,2,3),

10、imshow(F3);subplot(2,2,4),imshow(F4);3. 任選圖像的 2D FFT 實驗clf,clc,clear all;f=imread(C:UsersCancer_5kaiDesktopbarbara.jpg);f1=fft2(f,64,64);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=sqrt(A.2+B.2);f64=(C/max(max(C)*255;f1=fft2(f,128,128);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=

11、sqrt(A.2+B.2);f128=(C/max(max(C)*255;f1=fft2(f,256,256);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=sqrt(A.2+B.2);f256=(C/max(max(C)*255;subplot(2,2,1),imshow(f);title(原始圖像);subplot(2,2,2),imshow(f64);title(6464的2D頻譜圖);subplot(2,2,3),imshow(f128);title(128128的2D頻譜圖);subplot(2,2,4),imshow(f

12、256);title(256256的2D頻譜圖);figurex,y=meshgrid(-31:32,-31:32);surfl(x,y,f64);title(6464的3D頻譜圖)grid on七、 實驗結果及分析：1. 1D離散信號FFT計算及頻率分布曲線繪制下圖中，左側為128點傅里葉變換的頻譜圖，右側為1024點的傅里葉變換頻譜圖?？梢钥闯鲇覀鹊母道锶~變換后頻譜譜線寬度較窄，所得出的頻率更為精準。2. 模型圖像的 2D FFT 實驗上圖上方為兩幅原圖，下方為其分別進過FFT后得到的頻譜圖。從圖中可以看出。頻譜分布滿足平移的性質，所看到的圖像為將頻譜中心平移后的圖像。對比左右兩幅圖像還可

13、以看出滿足尺度變換的性質。左面的圖高灰度區(qū)域多，傅里葉變換后頻譜譜線寬度較窄。右面的圖高灰度區(qū)域相對上圖少，傅里葉變換后譜線較寬。3. 任選圖像的 2D FFT 實驗上圖中，左上為原圖，右上為64X64 FFT變換頻譜圖，左下為128X128 FFT變換頻譜圖，右下為256X256 FFT變換頻譜圖。從上圖中可以看出不同采樣率的FFT變換對頻譜圖照成的影響。顯然當采樣率較高時，從右下圖可以看出頻譜精細度越高。當采樣率較低時，從右上圖可以看出頻譜圖較為模糊。從上圖還可以得出，當圖像較小時，較低的采樣率將采不到樣。得到的頻譜圖像為黑色。故在做FFT變換的時候，合理的根據(jù)圖像大小選擇采樣率十分重要。

14、下圖為64X64 FFT變換的3D圖像。八、思考題1. 分別闡述和解釋什么叫信號的采樣頻率、奈奎斯特頻率、采樣時間及頻率分辨率？答：采樣頻率：每秒從連續(xù)信號中提取并組成離散信號的采樣個數(shù)；奈奎斯特頻率：是離散信號系統(tǒng)采樣頻率的一半；采樣時間：是采樣之間的時間間隔，是采樣頻率的倒數(shù)；頻率分辨率：是指將兩個相鄰譜峰分開的能力。2. 根據(jù)所學知識，簡要敘述離散傅立葉變換（DFT）在數(shù)字圖像處理中的主要用途。答：傅里葉變換時數(shù)字圖像處理技術的基礎，其通過在時空域和頻率域來回切換圖像，對圖像的信息特征進行提取和分析，簡化了計算工作量，被譽為描述圖像信息的第二種語言，廣泛應用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建中。九、實驗結論1. 對圖像進行FFT變換后可以得到相應的頻譜函數(shù)，并可以畫出頻譜圖。2. 從頻譜圖的平移后的顯示體現(xiàn)了FFT變換的平移特性和尺度特性。3. 通過設置FFT函數(shù)，可以控制FFT變換的采樣率，得到不同圖像。4. 可以將2D圖像的FFT頻譜圖進行3D顯示。以顯示其灰度的空間信息。十、總結及心得體會1. 了解了各種圖像正交變換的作用和用途。2. 通過實驗了解和掌握了利用快速傅立葉變換FFT和正交余弦變換的對圖像方法和原理。3. 通過實驗，