功率譜估計(jì)方法的比較

1、功率譜估計(jì)方法的比較摘要： 本文歸納了信號處理中關(guān)鍵的一種分析方法, 即譜估計(jì)方法。概述了頻譜估計(jì)中的周期圖法、修正的協(xié)方差法和伯格遞推法的原理，并且對此三種方法通過仿真做出了對比。關(guān)鍵詞：功率譜估計(jì)；AR模型；參數(shù)引言：譜估計(jì)是指用已觀測到的一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)一個平穩(wěn)隨機(jī)信號的譜。由于譜中包含了信號的很多頻率信息，所以分析譜、對譜進(jìn)行估計(jì)是信號處理的重要內(nèi)容。譜估計(jì)技術(shù)發(fā)展 淵源很長，它的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，遍及雷達(dá)、聲納、通信、地質(zhì)勘探、天文、生物醫(yī)學(xué)工程等眾多領(lǐng)域，其內(nèi)容、方法都在不斷更新，是一個具有強(qiáng)大生命力的研究領(lǐng)域。譜估計(jì)的理論和方法是伴隨著隨機(jī)信號統(tǒng)計(jì)量及其譜的發(fā)展而發(fā)展起來的

2、，最早的譜估計(jì)方法是建 立在基于二階統(tǒng)計(jì)量, 即自相關(guān)函數(shù)的功率譜估計(jì)的方法上。功率譜估計(jì)的方法經(jīng)歷了經(jīng)典譜估計(jì)法和現(xiàn)代譜估計(jì)法兩個研究歷程，在過去及現(xiàn)在相當(dāng)長一段時間里，功率譜估計(jì)一直占據(jù)著譜估計(jì)理論里的核心位置。經(jīng)典譜估計(jì)也成為線性譜估計(jì)，包括BT法、周期圖法?，F(xiàn)代譜估計(jì)法也稱為非線性普估計(jì)，包括自相關(guān)法、修正的協(xié)方差法、伯格（Burg）遞推法、特征分解法等等。原理：經(jīng)典譜估計(jì)方法計(jì)算簡單，其主要特點(diǎn)是譜估計(jì)與任何模型參數(shù)無關(guān)，是一類非參數(shù)化的方法。它的主要問題是：由于假定信號的自相關(guān)函數(shù)在數(shù)據(jù)的觀測區(qū)間以外等于零，因此估計(jì)出來的功率譜很難與信號的真實(shí)功率譜相匹配。在一般情況下，經(jīng)典法的漸

3、進(jìn)性能無法給出實(shí)際功率譜的一個滿意的近似，因而是一種低分辨率的譜估計(jì)方法?，F(xiàn)代譜估計(jì)方法使用參數(shù)化的模型，他們統(tǒng)稱為參數(shù)化功率譜估計(jì)，由于這類方法能夠給出比經(jīng)典法高得多的頻率分辨率，故又稱為高分辨率方法。下面分別介紹周期圖法、修正的協(xié)方差法和伯格遞推法。修正的協(xié)方差法和伯格遞推法采用的模型均為AR模型。（1）周期圖法周期圖法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù), 然后進(jìn)行傅里葉變換得到功率譜。假設(shè)隨機(jī)信號x(n)只觀測到一段樣本數(shù)據(jù)，n=0, 1, 2, , N-1。根據(jù)這一段樣本數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，如公式（1）（1）對（1）式進(jìn)行傅里葉變換得到（2）式。（3）（2）如果忽略上式中求統(tǒng)計(jì)平均的運(yùn)算，假設(shè)觀測數(shù)據(jù)

4、為:x(n) 0nN-1，便得到周期圖法的定義式（3）: （3）（2）修正的協(xié)方差法 修正協(xié)方差法使用前向和后向預(yù)測誤差平均值最小的方法，估計(jì)AR模型的參數(shù)，從而得到信號的功率譜。信號的前向和后向預(yù)測分別公式（4），（5）： （4）（5）式中apk是AR模型的參數(shù)。前向和后向預(yù)測誤差功率pe、pb分別用（6），（7）式表示（6）（7）（8）最小預(yù)測誤差平均功率是模型輸入白噪聲的方差，即p=2w，前、后向預(yù)測誤差平均功率為式（8）為了使預(yù)測誤差平均功率最小，求p對apk(k=1, 2, 3, , p)的微分,或者用復(fù)梯度法求，得到式（9）（9）化簡并寫成矩陣形式為式（10）： （10）協(xié)方差函數(shù)

5、白噪聲的方差估計(jì)值為 式（11）：（11）觀測數(shù)據(jù)x(n)(n=0, 1, 2, , N-1)，利用上面公式可以求出模型的參數(shù)：api(i=1, 2, 3, , p); 2w。式中的協(xié)方差函數(shù)cxx(j, k)，有兩個變量，因此也適合于非平穩(wěn)隨機(jī)信號。（3）伯格遞推法設(shè)信號x(n)觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為：0nN-1，前向、后向預(yù)測誤差功率分別用p,e和p,b表示，預(yù)測誤差平均功率用p表示，公式分別為 （12），（13），（14）（12）（17）（13）（14）前向、后向預(yù)測誤差遞推公式如式（15）： （15）將式（15）帶入（12），（13），（14）公式中，得到式（16）（16）求預(yù)測誤差平均功率p

6、最小時的反射系數(shù)kp，令式（17）為零（17）得式（18）就是利用伯格遞推法求第p個反射系數(shù)的公式（18）實(shí)驗(yàn)：對高斯噪聲中的信號x(t)=cos(2*60*t)+ cos(2*63*t)進(jìn)行功率譜估計(jì)，采樣頻率為fs=1000Hz,分別用周期圖法、改進(jìn)的協(xié)方差法和伯格遞推法估計(jì)序列的功率譜，且AR模型的階數(shù)取30與 50兩種情況，分別對應(yīng)圖1，圖2，圖3，圖4，圖5。實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖1 周期圖法估計(jì)功率譜圖2 30介改進(jìn)的協(xié)方差法估計(jì)功率譜圖3 50介改進(jìn)的協(xié)方差法估計(jì)功率譜圖4 30介伯格遞推法法估計(jì)功率譜圖5 50介伯格遞推法法估計(jì)功率譜實(shí)驗(yàn)結(jié)論： 周期圖法功率譜估計(jì)的分辨率低于修正的協(xié)方差

7、法和伯格遞推法，修正的協(xié)方差法估計(jì)功率譜分辨率與伯格遞推法估計(jì)功率譜分辨率相當(dāng)，但是修正的協(xié)方差法需要先由信號的觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點(diǎn)，而伯格遞推法則由信號的觀測數(shù)據(jù)直接計(jì)算AR模型參數(shù)。而且增加AR模型的階數(shù)可以提高分辨率。結(jié)束語：隨著人們對隨機(jī)信號的特性研究和譜的概念的建立，新的譜估計(jì)方法不斷產(chǎn)生和更新，以逐步形成一個完整的理論體系。譜估計(jì)方法來源于信號特性，最后又服務(wù)于信號的研究，尤其 是在分析信號的頻域特性、時頻特性方面起了不可估量的作用。由上面的概述可知，信號的譜估計(jì)方法大致可分為兩大類：一是非參數(shù)法；二是模型參數(shù)法。而非參數(shù)法譜估計(jì)性能不及模型參數(shù)法，因?yàn)樗偞嬖诠烙?jì)方差大，分辨率低等缺點(diǎn)。所以，最近幾十年里，人們總是熱衷于模型參數(shù)的估計(jì)方法研究。不管是哪種譜估計(jì)方法，基本上都是源于功率譜估計(jì)的理論和思想。參考文獻(xiàn)：1皇甫堪,陳建文,樓生強(qiáng).現(xiàn)代數(shù)字信號處理M.