截長補(bǔ)短法練習(xí)

1、截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分 重要 的方法。通常來證明幾條線 段的數(shù)量 關(guān)系。 截長補(bǔ)短法有多種方法。 截 長法：（1）過某一點(diǎn)作長邊的垂線 （ 2）在 長邊上截取一條與某一短 邊相同的線 段，再證剩下的線段 與另一短邊相補(bǔ)短法（ 1 ）延長短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。在正方形ABCD中, DE=DFDG CE 交 CA于 G, GH AF ,交AD于P,交CE延長線于H,請問三條粗線DG GH CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第 2頁題目答案見第 3、4 頁）（1）正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 CD 上，點(diǎn) F 在 BC 上， EAF

2、=45 o 。求證： EF=DE+BF（ 1 ）變形 a正方形 ABC 沖，點(diǎn) E 在 CD 延長線上 , 點(diǎn) F 在 BC 延長線上， EAF=45 0 。 請問現(xiàn)在 EF 、DE BF 又有什么數(shù)量關(guān) 系？1 ）變形 b正方形 ABC 沖，點(diǎn) E 在 DC 延長線上 , 例：點(diǎn) F 在 CB 延長線上， EAF=45 0 。請問現(xiàn)在 EF、DE BF 又有什么數(shù)量關(guān)又 AG=AF系？AE=AE所以 EAG EAF （ SASEF=GE=GD+DE=BF+DE(1) 變形 c正三角形 ABC 中, E 在 AB 上, F 在 AC 上 EDF=45 。 DB=DC BDC=120 。 請問

3、現(xiàn)在 EF 、BE、CF 又有什么數(shù)量關(guān) 系？（1）變形 d正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 CD 上，點(diǎn) F 在 BC 上, EAD=15 ， FAB=30 。AD=3求 AEF 的面積（1）解：（簡單思路）延長 CD 到點(diǎn) G 使得 DG=BF 連接 AG 由四邊形 ABCD 是正方形得ADG= ABF=9 （ JAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF （ SASGAD= FABAG=AF由四邊形 ABCD 是正方形得DAB=90 = DAF+ FAB=DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90o -45 0 =45oGAE= FAE=45 0變形 a 解： （

4、簡單思路 ）EF= BF-DE在 BC 上截取 BG 使得 BG=DF 連接 AG 由四邊形 ABCD! 正方形得ADE= ABG=90AD=AB 又 DE=BG 所以 ADE ABG( SASEAD= GABAE=AG 由四邊形 ABCD! 正方形得DAB=90 = DAG+ GAB=DAG+ EAD= GAE 所以 GAF= GAE- EAF=90o-45 0=450GAF= EAF=4$又 AG=AE AF=AF 所以 EAF GAF( SAS EF=GF=BF-BG=BF-DE變形 b 解：（簡單思路）EF=DE-BF在 DC 上截取 DG 使得 DG=BF 連接 AG 由四邊形 AB

5、CD! 正方形得ADG= ABF=9 （°AD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF （ SASGAD= FABAG=AFDAB=90 = DAG+ GAB=BAF+ GAB= GAF 所以 GAE= GAF- EAF=90o -45 0 =45oGAE= FAE=45 0 又 AG=AF AE=AE 所以 EAG EAF （ SAS EF=EG=ED-GD=DE-BF變形 c 解：（簡單思路）EF=BE+FC延長 AC 到點(diǎn) G 使得 CG=BE 連接 DG 由 ABC 是正三角形得ABC= ACB=60又 DB=DC BDC=120所以 DBC= DCB=30DBE= ABC+

6、 DBC=60+30 o=90oACD= ACB+ DCB=60+30 o=90o所以 GCD=180 - ACD=90DBE= DCG=90又 DB=DC BE=CG 所以 DBE DCG （ SASEDB= GDC DE=DG由四邊形 ABCD 是正方形得GDF= EDF=60又 DBC=120= EDB+ EDC=GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF 又 DG=DEDF=DF 所以 GDF EDF （ SASEF=GF=CG+FC=BE+FC變形 d 解：（簡單思路）延長 CD 到點(diǎn) G 使得 DG=BF 連接 AG 過 E 作 EH AG 前面如（ 1）所證，A

7、DG ABF ， EAG EAFGAD= FAB=3 （o，S EAG=S EAF在 Rt ADG 中, GAD=30 ，AD=3AGD=60 ，AG=2設(shè) EH=x在 Rt EGH 中和 Rt EHA 中AGD=60 ， HAE=45廠HG=A ，AH=x3AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- 33S EAF=S EAG=EHAG 2=3- 3.（第 5 頁題目答案見第 6 頁）（2）正方形 ABC 沖，對角線 AC 與 BD 交于 0,點(diǎn) E 在 BD 上, AE 平分 DAC 求證： AC/2=AD-E0=120o -60 o =60o2）解：（簡單思路）過 E 作 EG AD

8、于 G因?yàn)樗倪呅蜛BC：是正方形2）加強(qiáng)版ADC=90 , BD 平分 ADC AC BD 以 EAO= EAG ，正方形 ABCD中，M在CD上，N在DA 延長線上， CM=AN 點(diǎn) E 在 BD 上, NE 平 分 DNM 。請問 MN AD EF 有什么數(shù)量關(guān)系？所以 ADB= ADC/2=45 o因?yàn)?AE 平分 DAC EO AC ， EG AD 所DGE= AOE= AGE=90 o 又 AE=AE， 所以 AEO AEG （AAS） 所以 AG=A ， O EO=EG 又 ADB=45 o ， DGE=90 o 所 以 DGE 為等腰直角三角形 DG=EG=EO AD-DG=AD

9、-EO=AG=AO=AC/2（2）加強(qiáng)版解：（簡單思路）MN/2=AD-EF過 E 作 EG AD 于 G, 作 EQ AB 于 Q過 B 做 BP MN 于 P 按照（ 2）的解法，可求證，GNE FNE （AAS）DGE 為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-E ，F(xiàn) 因?yàn)樗倪呅?ABCD 為正方形，ABC= GAQ= BCM=90 oBD 平分 ABC BC=BAABD= ABC/2=45 o ，又 EQB=90 oEQB 為等腰 Rt 三角形， BEQ=45因?yàn)?GAQ= EGA= EQA=90 o 所以四邊形 AGE 助矩形，EQ=AG=AD-E ， FEQ/AGQEN= ENG又 ENG= ENF 所以 QEN= ENF 由 BC=BA ， BCM= BAN=90 o ， CM=AN 所以BCM BAN （SAS ）BM=BN CBM= ABNABC=90 o = ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN 又 BM=BN 所以 MBN 為等腰 Rt 三角形， 又 BP 斜邊 MNT P, 所以 NPB 為等腰 Rt 三角形。BP=MN/2 ， PNB=45 o 。BNE= E