教案--第一章行列式

1、物流學院20152016學年度第 1 學期 線性代數(shù) 課堂教學方案授課年級 2014 專業(yè)層次 會計學本科 授課班級 1、2、3、4班 授課教師 2015 年 8 月 28 日線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會計學本科班授課時間教學時間安排2學時授課題目（章節(jié)）第一章 行列式第一節(jié) 二階與三階行列式教學目的、要求（教學目標） 了解行列式的概念 掌握二階、三階行列式的計算方法教學重點與難點二階、三階行列式的計算教學方式、方法與手段 講授與練習相結合、板書與多媒體相結合教學基本內容及過程問題導入：歷史上，行列式的概念是在研究線性方程組的解的過程中產(chǎn)生的.如今，它在數(shù)學的許多分支中都有著非常廣

2、泛的應用，是一種常用的計算工具.特別是在本門課程中，它是研究后面線性方程組、矩陣及向量組的線性相關性的一種重要工具.二階行列式與三階行列式的內容在中學課程中已經(jīng)涉及到,本節(jié)主要對這些知識進行復習與總結,它們是我們學習和討論更高階行列式計算的基礎.內容要點一、二階行列式二、二階線性方程組三、三階行列式=三階行列式有6項，每一項均為不同行不同列的三個元素之積再冠于正負號，其運算的規(guī)律性可用“對角線法則”或“沙路法則”來表述之。四、三元線性方程組類似于二元線性方程組的討論，對三元線性方程組記= = =若系數(shù)行列式，則該方程組有唯一解：例題選講例1 解方程組例2計算三階行列式例3 求解方程例4 解三元

3、線性方程組本學期要求敘述5分鐘課程介紹20分鐘理論講解35分鐘，習題選講25分鐘，練習、答疑5分鐘提問：行列式是什么？是否具有幾何意義？注：沙路法則是對角線發(fā)則的變形，僅適用于二階、三階行列式作業(yè)與課外訓練1.設 試給出的充分必要條件.2.求一個二次多項式，使 P5 2 3課外閱讀資料或自主學習體系安排1.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學習指導，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習題精選精解，山東科學技術出版社，20093. 課后小結這節(jié)課我們回顧中學數(shù)學中二元一次方程組、三元一次方程組的解法（尤其是行列式解法。引入二階行列式、三階行列式的概念。重點介紹行、列、元素、元素的

4、代數(shù)表示法、行標、列標。線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會計學本科班授課時間教學時間安排2學時授課題目（章節(jié)）第二節(jié) n階行列式教學目的、要求（教學目標） 了解排列、逆序數(shù)、對換的概念及相關結論 掌握n階行列式的定義及計算方法教學重點與難點n階行列式的定義及計算方法，n階行列式一般項符號的確定教學方式、方法與手段 講授與練習相結合、板書與多媒體相結合教學基本內容及過程問題導入：對角線算法能用于4階以上的行列式嗎？對于4階及4階以上行列式代表的代數(shù)和的形式又是如何呢？從三階行列式的定義,我們看到:(1) 三階行列式共有3!6項；(2) 行列式中的每一項都是取自不同行不同列的三個元素的乘積；

5、(3) 行列式中的每一項的符號均與該項元素下標的排列順序有關. 受此啟示,我們可以引入n階行列式的定義. 此外,在本節(jié)中,我們還要了解幾個今后常用的特殊的n階行列式(對角行列與三角形行列式等)的計算方法.內容要點一、排列與逆序定義1 由自然數(shù)1,2,n 組成的不重復的每一種有確定次序的排列，稱為一個n級排列(簡稱為排列)。例如，1234和4312都是4級排列，而24315是一個5級排列. 定義2 在一個級排列中，若數(shù) 則稱數(shù)與構成一個逆序.一個級排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù), 記為定義3 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列, 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.逆序數(shù)的計算方法：先計算出排列中每個元

6、素逆序的個數(shù)，即計算出排列中每個元素前面比它大的元素個數(shù)，該排列中所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).二、n階行列式的定義定義4 由個元素組成的記號 稱為階行列式, 其中橫排稱為行, 豎排稱為列, 它表示所有取自不同行、不同列的個元素乘積的代數(shù)和, 各項的符號是: 當該項各元素的行標按自然順序排列后, 若對應的列標構成的排列是偶排列則取正號; 是奇排列則取負號.其中表示對所有級排列求和. 行列式有時也簡記為det或，這里數(shù)稱為行列式的元素，稱 為行列式的一般項.注: (1)行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次線性方程組的需要而定義的；(2) 階行列式是項的

7、代數(shù)和, 且冠以正號的項和冠以負號的項(不算元素本身所帶的符號)各占一半; (3 ) 的符號為(不算元素本身所帶的符號); (4 ) 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆.三、對換為進一步研究n階行列式的性質，先要討論對換的概念及其與排列奇偶性的關系。定義5 在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)稱為對換。將兩個相鄰元素對換，稱為相鄰對換。定理1 任意一個排列經(jīng)過一個對換后，其奇偶性改變。推論 奇排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2 n 個自然數(shù)(n>1)共有n!個n級排列，其中奇偶排列各占一半. （結論推導）定

8、理3 階行列式也定義為其中S為行標與列標排列的逆序數(shù)之和. 即S=。推論 n階行列式也可定義為例題選講排列與逆序例1 計算排列32514的逆序數(shù).例2 求排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性.n階行列式的定義例3計算行列式例4 計算上三角形行列式同理，下三角形行列式行列式中從左上角到右下角的對角線稱為主對角線.例5 在六階行列式中, 下列兩項各應帶什么符號 (1) (2) 例6 用行列式的定義計算 理論講解55分鐘，習題選講30分鐘，練習、答疑5分鐘提問：n階行列式代數(shù)和的構成是怎樣的？提問：在什么情況下使用定義計算行列式？作業(yè)與課外訓練1.若是五階行列式的一項，則應為何值？此時該項的符號是什么？2

9、.用行列式的定義計算下列行列式: 3.已知求的系數(shù).P10 3 4 課外閱讀資料或自主學習體系安排1.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學習指導，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習題精選精解，山東科學技術出版社，20093. 課后小結從三階行列式的定義,我們看到:(1) 三階行列式共有3!6項；(2) 行列式中的每一項都是取自不同行不同列的三個元素的乘積；(3) 行列式中的每一項的符號均與該項元素下標的排列順序有關. 受此啟示，本節(jié)我們引入了n階行列式的定義. 此外，我們還介紹了幾個今后常用的特殊的n階行列式(對角行列與三角形行列式等)的計算方法。線性代數(shù)教案任課教師授課班級

10、2014級會計學本科班授課時間教學時間安排4學時授課題目（章節(jié)）第三節(jié) 行列式的性質教學目的、要求（教學目標） 熟練掌握行列式的性質 掌握化為上、下三角形行列式的步驟教學重點與難點利用行列式性質化行列式上、下三角教學方式、方法與手段 講授與練習相結合、板書與多媒體相結合教學基本內容及過程問題導入：根據(jù)n階行列式定義可知，對角線算法不能用于4階以上的行列式得計算，從上節(jié)課的學習可知，當行列式中只含有極少量非零元素時，可以利用定義的方法進行計算，然而對于一般高階行列式又該計算學習呢？行列式的奧妙在于對行列式的行或列進行了某些變換(如行與列互換、交換兩行(列)位置、某行(列)乘以某個數(shù)、某行(列)乘

11、以某數(shù)后加到另一行(列)等)后,行列式雖然會發(fā)生相應的變化,但變換前后兩個行列式的值卻仍保持著線性關系,這意味著,我們可以利用這些關系大大簡化高階行列式的計算. 本節(jié)我們首先要討論行列式的在這方面的重要性質,然后,利用進一步討論如何利用這些性質計算高階行列式的值.內容要點一、行列式的性質將行列式的行與列互換后得到的行列式,稱為的轉置行列式,記為或,即若 則 .性質1 行列式與它的轉置行列式相等, 即注 由性質1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質,它的列也同樣具有. 性質2 交換行列式的兩行(列),行列式變號.推論 若行列式中有兩行(列)的對應元素相同,則此行列式為零.性

12、質3 用數(shù)乘行列式的某一行(列), 等于用數(shù)乘此行列式, 即第行(列)乘以,記為(或).推論1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2 行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.性質4 若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和, 例如,.則 .性質5 將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)后加到另一行(列)對應位置的元素上, 行列式不變.注: 以數(shù)乘第行加到第行上,記作; 以數(shù)乘第列加到第列上，記作.二、利用“三角化”計算行列式計算行列式時，常用行列式的性質，把它化為三角形行列式來計算. 例如化為上三角形行列式的步驟是:如果第一列第一個元素為0, 先將

13、第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為0; 然后把第一行分別乘以適當?shù)臄?shù)加到其它各行,使得第一列除第一個元素外其余元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式,如此繼續(xù)下去,直至使它成為上三角形行列式,這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例題選講例1 設 求例2 計算例3 計算分析 注意到行列式的各列4個數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.注：仿照上述方法可得到更一般的結果:例4 計算 分析 根據(jù)行列式的特點，可將第1列加至第2列，然后將第2列加至第3列，再將第3列加至第4列，目的是使中的零元

14、素增多.例5 計算分析 從第4行開始，后一行減前一行：例6 解方程分析 從第二行開始每一行都減去第一行得由解得方程的個根：理論講解55分鐘，習題選講100分鐘，練習、答疑25分鐘提問：什么是轉置行列式？與原行列式有什么關系？這說明行列式的什么性質？提問：交換行列式的任意兩行（列），行列式有什么變化？作業(yè)與課外訓練1.計算行列式2.計算n階行列式 P16 2 4 5課外閱讀資料或自主學習體系安排1.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學習指導，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習題精選精解，山東科學技術出版社，20093. 課后小結這節(jié)課介紹了行列式的性質，知道了當對行列式的行或列

15、進行了某些變換(如行與列互換、交換兩行(列)位置、某行(列)乘以某個數(shù)、某行(列)乘以某數(shù)后加到另一行(列)等)后,變換前后兩個行列式的值仍保持著線性關系, 使我們可以利用這些關系大大簡化高階行列式的計算. 進一步討論了如何利用這些性質計算高階行列式的值.線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會計學本科班授課時間教學時間安排2學時授課題目（章節(jié)）第四節(jié) 行列式按行(列)展開教學目的、要求（教學目標） 掌握余子式、代數(shù)余子式的概念 掌握行列式按行(列)展開的方法、范德蒙行列式計算公式教學重點與難點使用降階法計算行列式的方法，范德蒙行列式的計算教學方式、方法與手段 講授與練習相結合、板書與多媒體相

16、結合教學基本內容及過程問題導入：當行列式的階數(shù)較高時，直接根據(jù)定義計算n階行列式的值是困難的，即使利用性質來計算，在有些時候也是很難得到想要的結果，能不能把高階行列式轉換為低階行列式呢，如果可以，又該如何操作呢？本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉化為較低階行列式的問題，從而得到計算行列式的另一種基本方法降階法內容要點一、行列式按一行(列)展開定義1 在階行列式中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的階行列式,稱為中元素的余子式, 記為, 再記稱為元素的代數(shù)余子式.引理 一個n階行列式D , 若其中第i行所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即 定理1 行列式等于它的任一行(

17、列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和, 即或 推論 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即或 綜上所述, 可得到有關代數(shù)余子式的一個重要性質: 或 其中，二、用降價法計算行列式直接應用按行(列)展開法則計算行列式, 運算量較大, 尤其是高階行列式. 因此, 計算行列式時，一般可先用行列式的性質將行列式中某一行(列)化為僅含有一個非零元素, 再按此行(列)展開,化為低一階的行列式, 如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.例題選講例1 試按第三列展開計算行列式例2 計算行列式 例3 計算行列式 例4 求證 .例5 證明范德蒙德(Vandermonde)

18、行列式其中記號“”表示全體同類因子的乘積.分析 用數(shù)學歸納法. 理論講解35分鐘，習題選講50分鐘，練習、答疑5分鐘提問：推論結論說明了什么？重點提示：降階法與上節(jié)利用行列式性質把行列式化為上、下三角的異同注：重點講解范德蒙德(Vandermonde)行列式作業(yè)與課外訓練1. 計算行列式 2.討論當k為何值時 3.設階行列式 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 P21 2 5 課外閱讀資料或自主學習體系安排1.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎編寫組編，線性代數(shù)與線性規(guī)劃學習指導，同心出版社，19952.張?zhí)斓?，線性代數(shù)習題精選精解，山東科學技術出版社，20093. 課后小結本節(jié)課我們學習了在n階行列式中，劃去元素

19、aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原來的位置構成一個n1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作ij元素aij的余子式ij前面添上符號(1)i+j稱為元素aij的代數(shù)余子式n階行列式可以用n1階行列式來表示，利用它并結合行列式的性質，可以大大簡化行列式的計算計算行列式時，一般利用性質將某一行(列)化簡為僅有一個非零元素，再按定理1展開，變?yōu)榈鸵浑A行列式，如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階這在行列式的計算中是一種常用的方法線性代數(shù)教案任課教師授課班級2014級會計學本科班授課時間教學時間安排2學時授課題目（章節(jié)）第五節(jié) 克萊姆法則教學目的、要求（教學目標） 了解線性方程組解的存在條件

20、 掌握應用克萊姆法則求解線性方程組教學重點與難點線性方程組解的存在性判斷方法教學方式、方法與手段 講授與練習相結合、板書與多媒體相結合教學基本內容及過程問題導入：前面我們已經(jīng)介紹了n階行列式的定義和計算方法，作為行列式的應用，本節(jié)介紹用行列式解n元線性方程組的方法克萊姆法則它是第一節(jié)中二、三元線性方程組求解公式的推廣內容要點n元線性方程組的概念從三元線性方程組的解的討論出發(fā)，對更一般的線性方程組進行探討。在引入克萊姆法則之前，我們先介紹有關n元線性方程組的概念。含有n個未知數(shù)的線性方程組稱為n元線性方程組.當其右端的常數(shù)項不全為零時,線性方程組(1)稱為非齊次線性方程組,當全為零時, 線性方程

21、組(1)稱為齊次線性方程組，即線性方程組(1)的系數(shù)構成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式，即 .克萊姆法則定理1 (克萊姆法則) 若線性方程組(1)的系數(shù)行列式, 則線性方程組(1)有唯一解,其解為 (3)其中是把中第列元素對應地換成常數(shù)項而其余各列保持不變所得到的行列式. 一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的. 對具體的數(shù)字線性方程組，當未知數(shù)較多時往往可用計算機來求解. 用計算機求解線性方程組目前已經(jīng)有了一整套成熟的方法. 克萊姆法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性，與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值. 撇開求解公式(3),克萊姆法則可敘述為下面的定理.定理2 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列