穿根法解高次不等式

1、WORD格式穿根法解高次不等式一方法 :先因式分解 ,再使用穿根法 .注意 :因式分解后 ,整理成每個(gè)因式中未知數(shù)的系數(shù)為正.使用方法 :在數(shù)軸上標(biāo)出化簡(jiǎn)后各因式的根,使等號(hào)成立的根 ,標(biāo)為實(shí)點(diǎn) ,等號(hào)不成立的根要標(biāo)虛點(diǎn) .自右向左自上而下穿線(xiàn),遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿 ).數(shù)軸上方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)區(qū)域使“>成立 , 下方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)區(qū)域使“ <成立 .例 1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+1 123x -7x+2解 :(1) 原不等式等價(jià)于 (x+4)(x+5) 2(x-2)3>0根據(jù)穿根法如圖不等式解集為 x x&

2、gt;2 或 x<-4 且 x5. -5 -42(2)變形為(2x-1)(x-1) 0(3x-1)(x-2)根據(jù)穿根法如圖111232專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式不等式解集為11x x< 3或2 x 1 或 x>2.專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式【例2】解不等式： (1)2x3-x 2 -15x0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式【分析】如果多項(xiàng)式 f(x)可分解為 n 個(gè)一次式的積， 那么一元高次不等式專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式f(x) 0( 或 f(x) 0) 可用“穿根法求解，但要注意處理好有重根的情況解： (1) 原不等式可化為x(2x+5)(x

3、-3) 0順軸然后從右上開(kāi)場(chǎng)畫(huà)曲線(xiàn)順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如圖 (5 1) 的陰影局部(2) 原不等式等價(jià)于(x+4)(x+5)2(x-2) 30專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式原不等式解集為x|x-5或-5 x -4或 x2專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式【說(shuō)明】用“穿根法解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中的x專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或奇次重根可參照(2) 的解法轉(zhuǎn)化為不含重專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式根的不等式，也可直接用“穿根法，但注意“奇穿偶不穿 其法 專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式如圖 (5 2) 專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式二數(shù)軸標(biāo)根法又稱(chēng)“數(shù)軸穿根法第一步：通過(guò)不等式的諸多性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)展移項(xiàng)，使

4、得右側(cè)為0。注意：一定要保證 x 前的系數(shù)為正數(shù)例如：將 x3-2x2-x+2>0 化為 (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0的根為： x1=2，x2=1， x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。例如：-112第四步：畫(huà)穿根線(xiàn)：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根的右上方穿過(guò)根，往左下畫(huà)線(xiàn)，然后又穿過(guò)“次右根上去，一上一下依次穿過(guò)各根。第五步：觀(guān)察不等號(hào)，如果不等號(hào)為“>，那么取數(shù)軸上方，穿根線(xiàn)以?xún)?nèi)的X圍；如果不等號(hào)為“ <那么取數(shù)軸下方，穿根線(xiàn)以?xún)?nèi)的X圍。x 的次數(shù)假設(shè)為偶數(shù)那么不穿過(guò)，即奇過(guò)偶

5、不過(guò)。例如：假設(shè)求 (x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在數(shù)軸上標(biāo)根得：-1 1 2畫(huà)穿根線(xiàn)：由右上方開(kāi)場(chǎng)穿根。因?yàn)椴坏忍?hào)為“ >那么取數(shù)軸上方，穿跟線(xiàn)以?xún)?nèi)的X圍。即：-1<x<1 或 x>2。運(yùn)用序軸標(biāo)根法解題時(shí)常見(jiàn)錯(cuò)誤分析當(dāng)高次不等式或的左邊整式、分式不等式 或 的左邊分子、 分母能分解成假設(shè)干個(gè)一次因式的積 , 的形式，可把各因式的根標(biāo)在數(shù)軸上， 形成假設(shè)干個(gè)區(qū)間， 最右端的區(qū)間 、的值必為正值，從右往左通常為正值、負(fù)值依次相間，這種解不等式的方法稱(chēng)為序軸標(biāo)根法。為了形象地表達(dá)正負(fù)值的變化規(guī)律， 可以畫(huà)一條浪線(xiàn)從右上方依次穿過(guò)每一根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，穿過(guò)最后一

6、個(gè)點(diǎn)后就不再變方向，這種畫(huà)法俗稱(chēng)“穿針引線(xiàn)法，如圖。運(yùn)用序軸標(biāo)根法解不等式時(shí)，常犯以下的錯(cuò)誤： 出現(xiàn)形如的一次因式時(shí)，匆忙地“穿針引線(xiàn)。例 解不等式。解 ，將各根、依次標(biāo)在數(shù)軸上，由圖可得原不等式的解集為或或。專(zhuān)業(yè)資料整理WORD格式事實(shí)上，只有將因式變?yōu)榈男问胶蟛拍苡眯蜉S標(biāo)根法，正確的解法是：解 原不等式變形為，將各根、依次標(biāo)在數(shù)軸上，由圖，原不等式的解集為或。 出現(xiàn)重根時(shí)，機(jī)械地“穿針引線(xiàn)例 解不等式解 將三個(gè)根、標(biāo)在數(shù)軸上，由圖得，原不等式的解集為或。這種解法也是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在不加分析地、機(jī)械地“穿針引線(xiàn)。出現(xiàn)幾個(gè)一樣的根時(shí)，所畫(huà)的浪線(xiàn)遇到“偶次點(diǎn)即偶數(shù)個(gè)一樣根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不能過(guò)數(shù)軸， 仍在數(shù)軸的同側(cè)折回，只有遇到“奇次點(diǎn)即奇數(shù)個(gè)一樣根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才能穿過(guò)數(shù)軸，正確的解法如下：解 將三個(gè)根、標(biāo)在數(shù)軸上，如圖畫(huà)出浪線(xiàn)圖來(lái)穿過(guò)各根對(duì)應(yīng)點(diǎn)，遇到的點(diǎn)時(shí)浪線(xiàn)不穿過(guò)數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回；遇到的點(diǎn)才穿過(guò)數(shù)軸，于是，可得到不等式的解集且 出現(xiàn)不能再分解的二次因式時(shí)，簡(jiǎn)單地放棄“穿針引線(xiàn)例 解不等式解 原不等式變形為，有些同學(xué)同解變形到這里