振動與波講座2.

1、主講教師：主講教師：姜海麗姜海麗E-mail：機(jī)械波1、幾個重要的參數(shù)、幾個重要的參數(shù)2 波長波長 ：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相位差為位差為 的振動質(zhì)點之間的距離，即一個完整的振動質(zhì)點之間的距離，即一個完整波形的長度波形的長度. Wavelength2OyAA-ux2 周期周期 ：波前進(jìn)一個波長的距離所需要：波前進(jìn)一個波長的距離所需要的時間的時間. PeriodTT1TuTuu2 頻率頻率 ：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目動所傳播的完整波的數(shù)目. Frequency 2 波速波速 ：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即：

2、波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的距離（相速）振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的距離（相速）. Wave speed u注意注意點點 P 比點比點 O 落后落后的相位的相位Op-x2-uxTuxxp-220cos()pxyAtu-點點 P 振動方程振動方程0cos()oyAt點點 O 振動方程振動方程 2、 波函數(shù)波函數(shù)Px*yxuAA-O相位落后法相位落后法22kd21d21dvvVmW)(cosuxtAy-)(sinuvxtAty-2 振動動能振動動能)(sind21d222kuxtVAW-xxOxdxOyydxd 3、 波的能量波的能量2Pd21dykW 楊氏模量楊氏模量

3、llESFEu )(sinuxtAuxy-xSEkd)(sind21222uxtVA-22)dd(d21xyVu22P)dd(d21d21dxyxESykW2 彈性勢能彈性勢能llESFxxOxdxOyydxd 體積元的總機(jī)械能體積元的總機(jī)械能Total mechanical energy )(sindddd222pkuxtVAWWW-)(sind21dd222pkuxtVAWW-討討 論論2 體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機(jī)械能體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機(jī)械能均最大均最大.2 體積元的位移最大時，三者均為零體積元的位移最大時，三者均為零. 1）在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能

4、、在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、 勢能、總機(jī)械能均隨勢能、總機(jī)械能均隨 作周期性變化，且變化是作周期性變化，且變化是同相位同相位的的.tx,2 體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機(jī)械能均最大體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機(jī)械能均最大.2 體積元的位移最大時，三者均為零體積元的位移最大時，三者均為零.在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、 勢能、總機(jī)械能勢能、總機(jī)械能均隨均隨 作周期性變化，且變化是作周期性變化，且變化是同相位同相位的的.tx,簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖tx-t-v221kAE 0tAxcostAsin-vv, xt

5、oT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21典型題形典型題形1、已知波動方程求某些物理量、已知波動方程求某些物理量2、已知某些條件給出波動方程、已知某些條件給出波動方程 3、波的干涉、駐波問題、波的干涉、駐波問題5、已知波動方程求某些物理量、已知波動方程求某些物理量2、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波動表達(dá)式為軸正向傳播，波動表達(dá)式為 4/)/(cos-uxtAy則則x1 = L1處質(zhì)點的振動方程是處質(zhì)點的振動方程是_x2 = -L2處質(zhì)點的振動和處質(zhì)點的振動和x1 = L1處質(zhì)點的振動的相位差為處質(zhì)點的振動的相位差為2 1 =_ )/(c

6、osuxtAy-)/cos(uxtA-1、一平面簡諧波的表達(dá)式為、一平面簡諧波的表達(dá)式為 其中其中x / u表示表示_； x / u表示表示_；y表示表示_ 波從坐標(biāo)原點傳至波從坐標(biāo)原點傳至x處所需時間處所需時間, x處質(zhì)點比原點處質(zhì)點滯后的振動處質(zhì)點比原點處質(zhì)點滯后的振動相位相位, t時刻時刻x處質(zhì)點的振動位移處質(zhì)點的振動位移 4/)/(cos11-uLtAyuLL)(213、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波速軸正方向傳播，波速u = 100 m/s，t = 0時刻的波形曲線如圖所示可知波長時刻的波形曲線如圖所示可知波長= _； 振幅振幅A = _； 頻率頻率= _ 0.8m

7、 0.2m 125Hz4、一簡諧波沿、一簡諧波沿x軸正方向傳播軸正方向傳播x1和和x2兩點處的振動速度與時間兩點處的振動速度與時間的關(guān)系曲線分別如圖的關(guān)系曲線分別如圖(a)和和(b)已知已知| x2 - x1 | ，則，則x1和和x2兩點間兩點間的距離是的距離是_ （用波長（用波長 表示）表示） t v1 0 t v2 0 (a) (b) 21例例1：如圖所示，為一簡諧波在：如圖所示，為一簡諧波在t=0時刻的波時刻的波 形圖。試寫出形圖。試寫出O、1、2、3點的初位相點的初位相The figures below show the wave form of a simple harmonic w

8、ave at the moment of t = 0. Try to write the phases at the moment of t = 0 at the positions of 0,1,2,3. yxt=0uO123yxt=0uO123解：如圖畫出下一時刻的波形圖解：如圖畫出下一時刻的波形圖-3210202yxt=0uO123yxt=0uO123t+t5. 一振幅為一振幅為10 cm，波長為，波長為200 cm的一維余弦波。的一維余弦波。 沿沿x 軸軸正方向傳播，波速為正方向傳播，波速為100 cm/s，在，在t = 0時原點處質(zhì)點開始時原點處質(zhì)點開始從平衡位置沿正位移方向運動。從

9、平衡位置沿正位移方向運動。 求：（求：（1）原點處質(zhì)點的）原點處質(zhì)點的振動方程；（振動方程；（2）在）在x = 150 cm處質(zhì)點的振動方程。處質(zhì)點的振動方程。 A = 10 cm， = 2 = s-1， = u / = 0.5 Hz 初始條件：初始條件： y(0, 0) = 0 )cos(0tAy0v-210)21cos(10. 0-ty23)2321cos(10. 0-ty)2cos(10. 0-t解：解：(1) 振動方程：振動方程： 得得 故得原點振動方程：故得原點振動方程： x = 150 cm處相位比原點落后處相位比原點落后所以所以6. 一彈性波在介質(zhì)中以速度一彈性波在介質(zhì)中以速度u

10、=103m/s傳播，振幅傳播，振幅A=1.0 10-4m，頻率頻率 =103Hz，若介質(zhì)的密度為，若介質(zhì)的密度為800kg/m3。求：（。求：（1）該波的平均）該波的平均能流密度；（能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積分鐘內(nèi)垂直通過面積S=4 10-4m2的總能量。的總能量。24222210*6 . 1)2(2121) 1 (uAuAI242438660104106 . 1)2(-ISt5：如圖所示，為一正行波在 t=0時刻的波形圖，已知：波速 u=857m/s 。由圖中的參數(shù)寫出此波的波動方程。y(m)x(m)t=0OA/20.1uM10解：波動方程cos),(0-uxtAtxy由圖可知：m

11、A10. 0由旋轉(zhuǎn)矢量法可確定2/3/0-My(m)x(m)t=0OA/20.1uM10t+t)/(71sradxutM)(324271cos1.0),(mxttxy-波動方程為： 注意：沿波的傳播方向位相依次落后 6、已知某些條件給出波動方程、已知某些條件給出波動方程)4cos(3 . 0-ty x y x y u u A A O D D 1、一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度、一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度u = 20 m/s自左向右傳播自左向右傳播已知在傳播路徑上的某點已知在傳播路徑上的某點A的振動方程為的振動方程為 另一點另一點D在在A點右方點右方9米處米處 若取若取x軸方向向左，并以軸方向向左，

12、并以A為坐標(biāo)原點，試寫出波的表為坐標(biāo)原點，試寫出波的表達(dá)式，并求出達(dá)式，并求出D點的振動方程點的振動方程(2) 若取若取x軸方向向右，以軸方向向右，以A點左方點左方5米處的米處的O點為點為x軸原點，軸原點，再寫出波的表達(dá)式及再寫出波的表達(dá)式及D點的振動方程點的振動方程 2、圖示一平面余弦波在、圖示一平面余弦波在t = 0 時刻與時刻與t = 2 s時刻的波形圖已知波時刻的波形圖已知波速為速為u，求：，求： (1) 坐標(biāo)原點處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程；坐標(biāo)原點處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程； (2) 該波該波的波動表達(dá)式的波動表達(dá)式 x (m) O 160 A y (m) 80 20 t=0 t=2 s 2A

13、cos0Asin00A-v-21)214cos(2/-AA-21441)218/cos(0-tAy 解：解：(1) 比較比較t = 0 時刻波形圖與時刻波形圖與t = 2 s時刻波形圖，可知時刻波形圖，可知此波向左傳播在此波向左傳播在t = 0時刻，時刻，O處質(zhì)點處質(zhì)點 ， 又又t = 2 s，O處質(zhì)點位移為處質(zhì)點位移為 所以所以 = 1/16 Hz 振動方程為振動方程為 (SI) (2) 波速波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波長波長 = u / / = 160 m 波動表達(dá)式波動表達(dá)式 21)16016(2cos-xtAy(SI) 3. 已知一沿已知一沿x 軸負(fù)方向傳播的

14、平面余弦波，在軸負(fù)方向傳播的平面余弦波，在t=1/3s時的時的波形如圖，且周期波形如圖，且周期T=2s。（。（1）寫出）寫出O點的振動方程；點的振動方程；（2）寫出該波的波動方程；（）寫出該波的波動方程；（3）寫出）寫出Q點的振動方程；點的振動方程；（4）Q點離點離O點的距離多大點的距離多大PQOX105m4 . 02TT2)cos(1 . 00ty0,31,2-vtAy21)3cos(0-0)cos(1 . 0y0t解：（解：（1）A=0.1m，令令令令代入代入 由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法 )4 . 02cos(1 . 0y0 xt)6cos(1 . 0yt307, 0 xy可得令（2）（3）

15、令）令（4） )cos(1 . 0Qty0,31, 0vty 由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法 6QuuxuxtOQ-)(另解： 4、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波長為軸的負(fù)方向傳播，波長為 ，P處質(zhì)處質(zhì)點的振動規(guī)律如圖所示點的振動規(guī)律如圖所示 (1) 求求P處質(zhì)點的振動方程；處質(zhì)點的振動方程； (2) 求此波的波動表達(dá)式；求此波的波動表達(dá)式； (3) 若圖中若圖中 21d求坐標(biāo)原點求坐標(biāo)原點O處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程 xOPd t (s) 0 -A 1 yP (m) )4/2cos(tAyP)21cos(tA)4(2cos-dxtAy)21cos(0tAy解：解：(1)

16、 由振動曲線可知，由振動曲線可知，P處質(zhì)點振動方程為處質(zhì)點振動方程為 (2) 波動表達(dá)式為波動表達(dá)式為 (3) O處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程 7、波的干涉、駐波問題、波的干涉、駐波問題1、. 如圖所示，兩列平面簡諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，如圖所示，兩列平面簡諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，在分界面上的在分界面上的P點相遇點相遇. 頻率頻率= 100Hz，振幅，振幅A1 = A2 = 1.0010 3 m，S1 的位相比的位相比S2的位相超前的位相超前1/2，在媒質(zhì)，在媒質(zhì)1中波速中波速u1 = 400m/s，在，在媒質(zhì)媒質(zhì)2中的波速中的波速u2 = 500m/s，S1P =

17、 r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求求：P點的合振幅。點的合振幅。20020)40000. 450075. 3(cos2)(112212-uu32110*00. 2-AAA解：解： 5、 如圖所示，原點如圖所示，原點O是波源，振動方向垂直于紙面，波長是是波源，振動方向垂直于紙面，波長是，AB為波的反射平面，反射時無半波損失。為波的反射平面，反射時無半波損失。O點位于點位于A點的正上點的正上方，方，AO = h，OX軸平行于軸平行于AB，求，求OX軸上干涉加強(qiáng)點的坐標(biāo)軸上干涉加強(qiáng)點的坐標(biāo)（限于（限于x 0)hOAxBxhOABP解：沿ox軸傳播的波與從AB面上P點反

18、射來的波在坐標(biāo)x處相遇，兩波的波程差為：2 , 1)2(222-kkxhxhkkkhx22 , 124222-（當(dāng)x=0時由4h2-k22=0可得k=2h/.)6、一駐波表達(dá)式為、一駐波表達(dá)式為 txAy100cos2cos (SI)位于位于x1 = (1 /8) m處的質(zhì)元處的質(zhì)元P1與位于與位于x2 = (3 /8) m處處的質(zhì)元的質(zhì)元P2的振動相位差為的振動相位差為_ 7、如果入射波的表達(dá)式是、如果入射波的表達(dá)式是，在，在x = 0處發(fā)生反射后形成駐波，反射點為波腹設(shè)反處發(fā)生反射后形成駐波，反射點為波腹設(shè)反射后波的強(qiáng)度不變，則反射波的表達(dá)式射后波的強(qiáng)度不變，則反射波的表達(dá)式y(tǒng)2 = _； 在在x = 2/3處處質(zhì)點合振動的振幅等于質(zhì)點合振動的振幅等于_ )(2cos1xTtAy)(2cosxTtA-A8. 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x正向傳播。振幅為正向傳播。振幅為A，頻率為，頻率為 ，傳播速度為，傳播速度為u。（1）t=0時，在原點時，在原點O處的質(zhì)元由平衡位置向處的