概率論與數理統(tǒng)計

1、第第5 5章章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理本章主要內容本章主要內容u5.1 大數定律大數定律u5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似第第5章章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理多個隨機變量的算多個隨機變量的算術平均的漸近性質術平均的漸近性質獨立隨機變量和獨立隨機變量和的極限分布的極限分布5.2 中心極限定理中心極限定理【例【例5.4】大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相】大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相互獨立的隨

2、機因素疊加而成的互獨立的隨機因素疊加而成的。考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符合規(guī)定要求。但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定合規(guī)定要求。但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響：誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響：(1) 在機床方面有機床振動與轉速的影響；在機床方面有機床振動與轉速的影響；(2) 在刀具方面有裝配與磨損的影響；在刀具方面有裝配與磨損的影響；(3) 在材料方面有鋼材的成分、產地的影響；在材料方面有鋼材的成分、產地的影響；(4) 在操作者方面有注意力集中程度、當天情緒的

3、影響；在操作者方面有注意力集中程度、當天情緒的影響；(5) 在測量方面有度量工具誤差、測量技術的影響；在測量方面有度量工具誤差、測量技術的影響；5.2 中心極限定理中心極限定理【例【例5.4】大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相】大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相互獨立的隨機因素疊加而成的互獨立的隨機因素疊加而成的。考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符合規(guī)定要求。但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定合規(guī)定要求。但加工后的機械軸與規(guī)定要求總會有一定誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響：誤差，這是因為在加工時受到一些隨機

4、因素的影響：(6)在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影在環(huán)境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影響；響；(7) 在具體場合還可列出許多其他影響因素在具體場合還可列出許多其他影響因素5.2 中心極限定理中心極限定理u由于這些獨立因素很多由于這些獨立因素很多u每個因素對加工精度的影響都是很微小的每個因素對加工精度的影響都是很微小的u每個因素的出現(xiàn)又都是人們無法控制的、隨機的、時有每個因素的出現(xiàn)又都是人們無法控制的、隨機的、時有時無、時正時負的時無、時正時負的u這些因素的綜合影響最終使每個機械軸的直徑產生誤差這些因素的綜合影響最終使每個機械軸的直徑產生誤差YnuYn是隨機變量：是隨機變

5、量：Yn = X1 + X2 + Xnu這里這里n是很大的，當是很大的，當n時時，Yn的分布是什么？的分布是什么？5.2 中心極限定理中心極限定理uYn = X1 + X2 + Xnu當時當時n時時，Yn的分布是什么？的分布是什么？u當然，可以考慮用卷積公式去計算當然，可以考慮用卷積公式去計算Yn的分布的分布u但這樣的計算是相當復雜的、不現(xiàn)實的，而且也是不易但這樣的計算是相當復雜的、不現(xiàn)實的，而且也是不易實現(xiàn)的實現(xiàn)的u即使能寫出即使能寫出Yn的分布，但由于其形式復雜而無法使用的分布，但由于其形式復雜而無法使用本節(jié)研究本節(jié)研究u在相當一般的條件下，獨立同分布的隨機變量的和的分在相當一般的條件下，

6、獨立同分布的隨機變量的和的分布的收斂問題布的收斂問題.第第5 5章章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【定理定理5.5】（獨立同分布的中心極限定理）設（獨立同分布的中心極限定理）設X1，X2，Xn，為相互獨立、服從同一分布的隨機變?yōu)橄嗷オ毩?、服從同一分布的隨機變量序列，且量序列，且E(Xi) = ，D(Xi) = 2 0（i = 1，2，），），則對于任意則對于任意x，有，有林德伯格林德伯格-萊維萊維(Lindeberg-Levy)

7、定理定理該定理是這兩位學者在上世紀該定理是這兩位學者在上世紀20年代證明的年代證明的)(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心極限定理中心極限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u芬蘭數學家，因中心極限定理而著名芬蘭數學家，因中心極限定理而著名u林德貝格就讀于赫爾辛基大學林德貝格就讀于赫爾辛基大學u早期對偏微分方程和積分變換感興趣早期對偏微分方程和積分變換感興趣u從從1920年開始轉向概率統(tǒng)計，當年發(fā)表了第一篇中心極年開始轉向概率統(tǒng)計，當年發(fā)表了第一篇中心極限定理的論文限定理的論文u兩年后，他用同樣的方法得到了更進一步的結論兩年后，他用同樣的

8、方法得到了更進一步的結論林德貝格條件林德貝格條件5.2 中心極限定理中心極限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u瑞典數學家克拉美瑞典數學家克拉美1922年結識了林德貝格，后來克拉美年結識了林德貝格，后來克拉美曾向人講起關于林德貝格和他的美麗農場的故事：曾向人講起關于林德貝格和他的美麗農場的故事：u當有人責備林德貝格沒有充分開展科學研究的時候，林當有人責備林德貝格沒有充分開展科學研究的時候，林德貝格就說德貝格就說“我其實是個農夫我其實是個農夫”u當有人提及他的農場不適合種植的時候，他就會說當有人提及他的農場不適合種植的時候，他就會說“當當然，我真正的工作是當教授然

9、，我真正的工作是當教授” 5.2 中心極限定理中心極限定理萊維萊維(Levy，1886-1971)u法國數學家，現(xiàn)代概率論開拓者之一法國數學家，現(xiàn)代概率論開拓者之一u曾在巴黎圣艾蒂安礦業(yè)學校、巴黎綜合工曾在巴黎圣艾蒂安礦業(yè)學校、巴黎綜合工科學校任教科學校任教.u主要研究概率論和泛函分析主要研究概率論和泛函分析u他引入分布律的萊維距離、散布函數和集結函數、鞅、他引入分布律的萊維距離、散布函數和集結函數、鞅、局部時等概念，對極限理論和隨機過程理論作出了重要局部時等概念，對極限理論和隨機過程理論作出了重要貢獻貢獻5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限

10、定理【定理定理5.5】含義：含義：u記記 ， 為為Yn的分布函數，則的分布函數，則u這表明，當這表明，當n充分大時，充分大時，u從而當從而當n充分大時，充分大時， nnXYniin 1)(xFnY)(21lim212xdtexnnXPxtniin )()(limxxFnYn )1, 0(1NnnXYniin近近似似 ),(21 nnNXnii近近似似 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【定理定理5.5】 u上式說明，不論上式說明，不論X1，X2，Xn服從什么分布，只要滿服從什么分布，只要滿足定理的條件足定理的條件,當當n充分大時充分大時

11、,就可以把就可以把 近似地作為正近似地作為正態(tài)隨機變量處理態(tài)隨機變量處理u將上述結論稍作變形，還可以得到定理結論的另外表現(xiàn)將上述結論稍作變形，還可以得到定理結論的另外表現(xiàn)形形式),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 niiX15.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【定理定理5.5】 【推論推論5.1】設設X1 ,X2,Xn獨立同分布獨立同分布,其均值為其均值為 ，方差，方差為為 2 0，則當，則當n充分大時充分大時,有有其中其中),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 n

12、iiXnX11)1 , 0( NnX近近似似 ),(2nNX 近似近似5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【定理定理5.5】 【推論推論5.1】u由推論可知由推論可知,無論無論X1,X2,Xn是服從什么分布是服從什么分布,只要滿足一只要滿足一定條件，當定條件，當n充分大時，其算術平均值總是近似服從正態(tài)充分大時，其算術平均值總是近似服從正態(tài)分布分布.u這一結果是數理統(tǒng)計中大樣本理論的基礎這一結果是數理統(tǒng)計中大樣本理論的基礎.),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 )1 , 0( NnX近近似似 ),(2n

13、NX 近似近似第第5 5章章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【例例5.5】用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，期望值為，期望值為100克，標準差為克，標準差為10克，一箱內裝克，一箱內裝200袋味精袋味精，求一箱味精凈重大于，求一箱味精凈重大于20400克的概率克的概率解：解：設箱中第設箱中第i袋味精的凈重為袋味精的凈重為Xi克克, X1, X2, Xn是是200個相互獨立同分布的隨機變量，且個相

14、互獨立同分布的隨機變量，且由中心極限定理由中心極限定理即即 ,100)(,100)( iiXDXE200, 2 , 1 i)100200,100200(2001 NXii近近似似)20000,20000(2001NXii近近似似 第第5 5章章 大數定律和中心極限定理大數定律和中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.1 5.2.1 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理【例例5.5】用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量用機器包裝味精，每袋凈重為隨機變量，期望值為，期望值為100克，標準差為克，標準差為10克，一箱內裝克，一箱內

15、裝200袋味精袋味精，求一箱味精凈重大于，求一箱味精凈重大于20400克的概率克的概率解：解：由中心極限定理由中心極限定理 所以，所以， 2040012040020012001 iiiiXPXP 200002000020400200002000012001iiXP0023. 09977. 01 )20000,20000(2001NXii近近似似 )83. 2(1 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似u現(xiàn)在將定理現(xiàn)在將定理5.5應用于服從應用于服從0-1分布的隨機變量：分布的隨機變量：u設設X1,X2,Xn,相互獨立，且都服從參數為相互獨立，且都服從參

16、數為p的的0-1分布：分布：PX = k = pk(1 p)1- k，k = 0，1u此時此時EXi=p, DXi=p(1-p), i=1,2，又記又記 則則 nB(n，p)此時定理此時定理5.5的結論可寫成的結論可寫成u于是，有下述定理：于是，有下述定理：,1 niinX )(21)1(lim22xdtexppnnpPxtnn )(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【定理定理5.6】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）設設 n（n = 1，2，）服從參數為）服從參數為n，p（0 p 1）的二

17、）的二項分布，則對于任意實數項分布，則對于任意實數x，有，有 u這個定理表明，當這個定理表明，當n充分大時，服從二項分布的隨機變充分大時，服從二項分布的隨機變量量 n的標準化變量近似服從標準正態(tài)分布即有的標準化變量近似服從標準正態(tài)分布即有 ，即，即)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn )1 , 0()1(Npnpnpn近近似似 )1(,(pnpnpNn 近近似似 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【定理定理5.6】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理） 【實驗實驗5.1】)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn

18、 與泊松定與泊松定理對比理對比5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【實驗實驗5.1】用用Excel驗證二項分布逼近正態(tài)分布驗證二項分布逼近正態(tài)分布u說明：隨著說明：隨著n的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布n=7, p=0.5n=10, p=0.5n=100, p=0.55.2 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u法國裔英國藉數學家法國裔英國藉數學家.u自幼接受父親的教育，稍大后進入當地一自幼接受父親的教育，稍大后進入當地一所天主教學校念書所天主教學校念書.u學校不重視數學，但棣莫弗常常偷偷地學習學

19、校不重視數學，但棣莫弗常常偷偷地學習.u在早期所學的數學著作中，他最感興趣的是惠更斯關于在早期所學的數學著作中，他最感興趣的是惠更斯關于賭博的著作，特別是惠更斯于賭博的著作，特別是惠更斯于1657年出版的年出版的論賭博中論賭博中的機會的機會一書，啟發(fā)了他的靈感一書，啟發(fā)了他的靈感.u1686年時棣莫弗到了英國他對數學的所有貢獻全是在年時棣莫弗到了英國他對數學的所有貢獻全是在英國做出的英國做出的5.2 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u1692年，棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書年，棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E哈雷哈雷u哈雷將棣莫弗的重要著作哈雷將棣莫弗的重要著作機會的學

20、說機會的學說呈送牛頓，牛呈送牛頓，牛頓對棣莫弗十分欣賞頓對棣莫弗十分欣賞u據說，后來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時，他據說，后來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時，他就說：就說：“這樣的問題應該去找棣莫弗，他對這些問題的這樣的問題應該去找棣莫弗，他對這些問題的研究比我深入得多研究比我深入得多”u1735年，棣莫弗被選為柏林科學院院士年，棣莫弗被選為柏林科學院院士u棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項分布的極限形式為正態(tài)分布棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項分布的極限形式為正態(tài)分布5.2 中心極限定理中心極限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u后來，拉普拉斯對棣莫弗的結果進行推廣，得到了今天后來，拉普拉斯對棣莫弗的結果進

21、行推廣，得到了今天的棣莫弗的棣莫弗-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理.u棣莫弗在棣莫弗在87歲時患上了嗜眠癥，每天睡覺長達歲時患上了嗜眠癥，每天睡覺長達20小時小時.當達到當達到24小時長睡不起時，他在貧寒中離開了人世小時長睡不起時，他在貧寒中離開了人世 u關于棣莫弗的死有一個頗具數學色彩的神奇?zhèn)髡f：關于棣莫弗的死有一個頗具數學色彩的神奇?zhèn)髡f：u在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他每天需要比前一天多在臨終前若干天，棣莫弗發(fā)現(xiàn)，他每天需要比前一天多睡睡1/4小時，那么各天睡眠時間將構成一個算術級數，當小時，那么各天睡眠時間將構成一個算術級數，當此算術級數達到此算術級數達到24小時時，棣莫弗就長眠不醒了

22、小時時，棣莫弗就長眠不醒了. 5.2 中心極限定理中心極限定理拉普拉斯拉普拉斯(1749-1827)u法國著名數學家和天文學家法國著名數學家和天文學家u天體力學的主要奠基人，天體演化學的天體力學的主要奠基人，天體演化學的創(chuàng)立者之一，分析概率論的創(chuàng)始人，應用數創(chuàng)立者之一，分析概率論的創(chuàng)始人，應用數學的先軀學的先軀u他發(fā)表的天文學、數學和物理學的論文有他發(fā)表的天文學、數學和物理學的論文有270多篇，專多篇，專著合計有著合計有4006多頁多頁u其中最有代表性的專著有其中最有代表性的專著有天體力學天體力學、宇宙體系論宇宙體系論和和概率分析理論概率分析理論5.2 中心極限定理中心極限定理拉普拉斯拉普拉斯

23、(1749-1827)u因研究太陽系穩(wěn)定性的動力學問題被譽為法國的牛頓和因研究太陽系穩(wěn)定性的動力學問題被譽為法國的牛頓和天體力學之父天體力學之父.u18歲時離家赴巴黎，決定從事數學工作歲時離家赴巴黎，決定從事數學工作.u帶著一封推薦信去找當時法國著名學者達朗貝爾，但被帶著一封推薦信去找當時法國著名學者達朗貝爾，但被后者拒絕接見，后寄去一篇力學方面的論文給達朗貝爾后者拒絕接見，后寄去一篇力學方面的論文給達朗貝爾.u這篇論文出色至極，以至達朗貝爾忽然高興得要當他的這篇論文出色至極，以至達朗貝爾忽然高興得要當他的教父，并使拉普拉斯被推薦到軍事學校教書教父，并使拉普拉斯被推薦到軍事學校教書.u以他的名

24、字命名的重要結論和方法頗多：以他的名字命名的重要結論和方法頗多：如拉普拉斯變換、拉普拉斯方程等等如拉普拉斯變換、拉普拉斯方程等等.5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似u一般，當一般，當n較大時，二項分布的概率計算起來非常復雜較大時，二項分布的概率計算起來非常復雜u這時可用正態(tài)分布來近似二項分布，使概率計算得到簡這時可用正態(tài)分布來近似二項分布，使概率計算得到簡化對于任意正數化對于任意正數n1和和n2，有，有)1(2121 nnknknkknnnPppC )1()1(12pnpnpnpnpnpn )1()1()1(21pnpnpnpnpnppnpnpnP

25、n 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例例5.6】設電路供電網內有設電路供電網內有10000盞相同的燈，夜間每盞相同的燈，夜間每一盞燈開著的概率為一盞燈開著的概率為0.8，假設各燈的開關彼此獨立，計，假設各燈的開關彼此獨立，計算同時開著的燈數在算同時開著的燈數在7800與與8200之間的概率之間的概率解：解：記同時開著的燈數為記同時開著的燈數為X，則，則XB(10000，0.8)，于是由棣莫弗，于是由棣莫弗-拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有82007800 XP11)5(2)5()5( )160080007800()160080008200( )

26、1600,8000( NX近近似似5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例例5.7】某單位內部有某單位內部有260部電話分機，每個分機有部電話分機，每個分機有4%的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個分機在用外線時不用等候的概率滿足每個分機在用外線時不用等候?解：解：設設 表示同時使用外線的分機數表示同時使用外線的分機數, 則則 B(260，p)，其中其中p = 0.04根據題意應確定最

27、小的根據題意應確定最小的x使使成立由棣莫弗成立由棣莫弗拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx )1(260,260(pppN 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例例5.7】某單位內部有某單位內部有260部電話分機，每個分機有部電話分機，每個分機有4%的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個分機

28、在用外線時不用等候的概率滿足每個分機在用外線時不用等候?解：解：應確定最小的應確定最小的x使使u令令 查得查得%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx %,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 5.2 中心極限定理中心極限定理5.2.2 二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似【例例5.7】某單位內部有某單位內部有260部電話分機，每個分機有部電話分機，每個分機有4%的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能

29、以外線是相互獨立的，問總機需備多少條外線才能以95%的概率滿足每個分機在用外線時不用等候的概率滿足每個分機在用外線時不用等候?令令 查得查得u故取故取u于是于是%,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 65. 1)1(260260 pppxpppx260)1(26065. 1 61.1504. 026096. 004. 026065. 1 所以需要所以需要16條外線！條外線！5.2 中心極限定理中心極限定理【吸煙率調查問題解答吸煙率調查問題解答】某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率某衛(wèi)生組織為確定某城市成年男子的吸煙率p，將被調，將被調查的成年男子中吸煙的

30、頻率作為查的成年男子中吸煙的頻率作為p的估計，現(xiàn)在要保證的估計，現(xiàn)在要保證有有90%以上的把握，使得調查對象吸煙者的頻率與該城以上的把握，使得調查對象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于之間的差異不大于5%，問至少要，問至少要調查多少對象？調查多少對象？解：解：設共調查設共調查n個成年男子，記個成年男子，記u則則Xi獨立同分布獨立同分布un個調查對象中吸煙的人數個調查對象中吸煙的人數., 2 , 1, 1niiiXi 個個成成年年男男子子不不吸吸煙煙，第第，個個成成年年男男子子吸吸煙煙，第第0 0),(1pnBXXnii 5.2 中心極限定理中心極限定理【吸煙率調查問題解答吸煙率調查問題解答】要保證有要保證有90%以上的把握，使得調查對象吸煙者的頻率以上的把握，使得調查對象吸煙者的頻率與該城市成年男子的吸煙率與該城市成年男子的吸煙率p之間的差異不大于之間的差異不大于5%，問，問至少要調查多少對象？至少要調查多少對象？解：解：吸煙的人數為吸煙的人數為X，則有，則有u由大數定理知，當由大數定理知，當n很大時，頻率很大時，頻率X/n與概率與概率p很接近，很接近，可用頻率作為可用頻率作為p的估計的估計依題意，要保證依題意，要保證u而而),(1pnBXXnii 05. 011pXnPnii,90. 005. 0 pnXP nnpXPnii