常微分方程1.1

1、例例 求平面上過點求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標(biāo)且每點切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的倍的曲線所滿足的曲線所滿足的曲線曲線方程方程.解解: 設(shè)所求的曲線方程為).(xfy 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 應(yīng)有,2)( xxf即.2)(2CxCdxxxf又由條件: 曲線過(1,3), 即, 3) 1 (f于是得. 2C故所求的曲線方程為:.22 xy常微分方程課程簡介常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運動定律、

2、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認(rèn)識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會科學(xué)的各個領(lǐng)域。 學(xué)習(xí)常微分方程的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和

3、訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教材及參考資料教 材：常微分方程，(第三版）（97年國家教委一等獎）， 王高雄等編（中山大學(xué)), 高教出版社。參考書目: 常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉等編，科學(xué)出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上?？萍汲霭嫔纭?常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。一、微分方程的發(fā)展歷史一、微分方程的發(fā)展歷史v 方程對于學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人來說是比較熟悉的

4、；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。 v在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。v解這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中

5、已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式即求解微分方程。 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時，數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計算機的

6、發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。v 牛頓研究天體力學(xué)和機械力學(xué)的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識自然、改造自然方面的巨大力量。二、微分方程的研究方法二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常常微分方程的解包括通解和特

7、解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。3、微分方程解析理論、微分方程解析理論 由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級數(shù)形式，并引進(jìn)級數(shù)形式，并引進(jìn) 特殊函數(shù)，如，橢圓

8、函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。生了、微分方程解析理論。5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論 1900年，希爾波特提出的年，希爾波特提出的23個問題中的第個問題中的第16個問題之一，至今未解決。個問題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法、微分方程的數(shù)值解法第一章第一章 緒論緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,是人們解決各種實際問題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟等領(lǐng)

9、域都有著廣泛的應(yīng)用,本章將通過幾個具體例子,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用,并講述一些最基本概念.1.1 1.1 微分方程模型微分方程模型 微分方程微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.例例1 R-L-C電路電路 如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關(guān)系.

10、電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因為 于是得到,dtdQI 這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解解:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId (1.3)22sin(1)sin0(2)2 dvmmgdtdvldtdgdtl 由牛頓第二定理 ，其中，則(1)為

11、例數(shù)學(xué)擺22F(t)sin( )(3)1sin( )dvmmgvF tdtddgF tdtdtlml若果擺是在粘性介質(zhì)中擺動，并有外力作用于它， 即 mgoQMAl例4 傳染病模型: 長期以來,建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型. 如霍亂、天花、艾滋病、SARS、H5N1病毒等，建立其數(shù)學(xué)模型，分析其變化規(guī)律，防止其蔓延是一項艱巨任務(wù)。0)0(),()()(xxtxtkydttdx即0)0(),(xxxnkxdtdx該模型稱為SI模型。S易感染者Susceptible，

12、I已感染者Infective。開始時染病人數(shù)為,0 x在時刻t的健康人數(shù)為),(tyntytx)()(染病人數(shù)為 ，則有)(tx 設(shè)單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k,有（1.5）（1.4） 對無免疫性的傳染病如痢疾、傷風(fēng)等，病人治愈后會再次被感染。設(shè)單位時間治愈率為 ，則方程（1.5）修正為0)0(),()()()(xxtxtxtkydttdx即為0)0(),1()(xxxnkxxxnkxdtdx（1.6）上式稱為SIS模型。1為這個傳染病的平均傳染期，k為整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)。 對有很強免疫性的傳染病如天花、流感等，病人治愈后不會再被感染。

13、 設(shè)在時刻t的愈后免疫人數(shù)為r(t)，稱為移出者（Removed)，而治愈率 為常數(shù)，即)()(tlxdttdr則關(guān)系式（1.4），（1.5)改為ntrtytx)()()(和dttdrtxtkydttdx)()()()(l由上面三式消去r(t)得000)0(,)0(,xnyykxydtdyxxlxkxydtdx（1.7）該模型稱為SIR模型。1.-()Volterradxax bxydtabcddycydxydt 被捕食-捕食模型: 常數(shù) 、 、 、 大于零例例5: 兩種生物種群生態(tài)模型兩種生物種群生態(tài)模型分析：把所有魚分成兩類：被食魚和捕食魚，它們的總數(shù)分別用x(t)和y(t)表示，dx d

14、ydtdt則則 、 分分別別表表示示被被食食魚魚和和捕捕食食魚魚的的長長率率。-()-dxax bxydtabcddycy dxydt常數(shù) 、 、 、 大于零()dxaxbxydtabcddycydxydt常數(shù) 、 、 、 大于零2.競爭模型(兩種群競爭同一食源): 3.共生模型(兩種種群互相促進(jìn)): 1.曲線上任一點的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.2a:),(距分別為的切線的橫截距與縱截過點yx.xyyyyx和解:由題目條件有:21()()2yxyxyay ,( , )yxx ys t曲線在該點的切線斜率為 設(shè)過曲線的切線的點用表示，. . -,t

15、 yyxs x切線方程為 , x y設(shè)為曲線上任意一點， 將某物體放置于空氣中, 在時刻0t時, 測得它的溫度為,0150 Cu10分鐘后測量得溫度為 試決定此物.1001Cu體的溫度 和時間 的關(guān)系.ut例例 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型Newton 冷卻定律冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi)在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. 設(shè)物體在時刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物

16、理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到 t).(tu.dtdu其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.0k注意注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.utut解:),(auukdtdu（1.2）例例 鐳的衰變規(guī)律:0,0,.tRt 設(shè)鐳的衰變規(guī)律與該時刻現(xiàn)有的量成正比且已知時 鐳元素的量為克 試確定在任意 時該時鐳元素的量解解:( ),tR t設(shè) 時刻時鐳元素的量為,)()(dttdRtR對時間的變化律是由于鐳元素的衰變律就:衰變律可得依題目中給出鐳元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0隨時間的增加而減少是由于這里tRk :解之得kteRtR0)(即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.(1.1) (1)常常微分方程微分方程: 如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方