(新高考)2020高考數(shù)學(xué)大題考法專訓(xùn)(四)概率與統(tǒng)計(jì)

1、大題考法專訓(xùn)(四)概率與統(tǒng)計(jì)A級一一中檔題保分練1.(2019全國卷m)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(Q的估計(jì)值為0.70.(1) 求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值；(2) 分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解：(1

2、)由已知得0.70=a+0.20+0.15,解得a=0.35,所以b=1-0.050.150.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.22.(2019天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7:30之前到校的概率均為3假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1) 用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的大數(shù)，求隨機(jī)變量X的

3、分布列和數(shù)學(xué)期望；(2) 設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的大數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的大數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.解：(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率2均為年,3故XBj3,3；從而RX=k)=C3j|j$；k,k=0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P12482799272隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3X-=2.3(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的大數(shù)為Y,則YB3,|J,且MX=3,Y=1UX=2,Y=0.由題意知，事件X=3,Y=1與X=2,Y=0互斥，且事件X=3與Y=1,事

4、件X=2與憐0均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1UX=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)RY=1)+RX=2)P(Y=0)824120=x+x=.2799272433.某商店為迎接端午節(jié)，推出花生粽與肉粽兩款粽子.為調(diào)查這兩款粽子的受歡迎程度，店員連續(xù)10天記錄了這兩款粽子的銷售量，用1,2，10分別表示第1,2，10天，記錄結(jié)果得到頻數(shù)分布表如下所示(其中銷售量單位：個).銷售4?號12345678910花生粽1039398931068687849199肉粽8897989510198103106102112(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如圖所示

5、的莖葉圖:花生粽肉棕8g1011(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，請判斷哪款粽子更受歡迎;(3) 求肉粽銷售量y關(guān)于序號t的線性回歸方程，并預(yù)估第15天肉粽的銷售量.(回歸方程的系數(shù)精確到0.01)10參考數(shù)據(jù)：Z(tit)(yiy)=156.i=1參考公式：回歸方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b=n三(ti-7)i1a=y-bt解：(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成莖葉圖如圖所示.花生揣76498331638g1011肉棕578B12362法一：由(1)中莖葉圖可知，肉粽的銷售量均值比花生粽高，兩款粽子的銷售量波動情況相當(dāng),所以可以認(rèn)為肉粽更受歡迎.1法二：由題意得花生粽的銷售量的均值y1=95+而

6、X(82+32+119-8114+4)=94,1肉粽的銷售量的均值y2=100+10-X(12-325+1-2+3+6+2+12)=100.因?yàn)?4v100,所以yky2,即肉粽的銷售量的均值較花生粽高，所以可以認(rèn)為肉粽更受歡迎.,11二2122222165.A156所以b=1652(3)由題中數(shù)據(jù)可得tZ(ti-t)=-X(9+7+5+3+1)X2=2i=141.89,a=1001.891x89.60.故肉粽銷售量y關(guān)于序號t的線性回歸方程為y=1.89t+89.60.當(dāng)t=15時，y=1.89X15+89.60118,所以預(yù)估第15天肉粽的銷售量為118個.B級一一拔高題滿分練1.(201

7、9全國卷I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和6,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為

8、X.(1) 求X的分布列；(2) 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,p(i=0,1,，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，貝Up°=0,p8=1,pi=ap1+bp+cp+1(i=1,2，7),其中a=RX=1),b=RX=0),c=RX=1).假設(shè)a=0.5,3=0.8. 證明：p+1-pi(i=0,1,2，7)為等比數(shù)列； 求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.解：(1)X的所有可能取值為一1,0,1.則P(X=1)=(1a)3,P(X=0)=a$+(1a)(13),P(X=1)=a(13),所以X的分布列為X-101P(1(X)3a6+

9、(1(X)(13)(X(13)(2)證明：由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1,因?yàn)閜=0.4pi1+0.5pi+0.1pi+1,所以0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1-pi=4(pi-pi1).又因?yàn)閜1p0=pi乒0,所以pi+1-pi(i=0,1,2，7)是公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.由可得?8=p8p7+p7?6+p1p°+p048-1=(p8p7)+(p7p6)+(“一p°)=-p1.3，一,3由于？8=1,故p1=481,所以P4=(P4-P3)+(P3P2)+(P2-Pl)+(PlP0)44-11=3P1=257'P4

10、表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治1愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為P4=q0.0039,此時礙出錯誤結(jié)論的概率非常257小，說明這種試驗(yàn)方案合理.2.某省局考改革實(shí)施方案指出：該省局考考生總成績將由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和3門學(xué)生自主選擇的高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目成績共同構(gòu)成，該省教育廳為了解正在讀高中的學(xué)生家長對高考改革方案所持的態(tài)度，隨機(jī)從中抽取了100名城鄉(xiāng)學(xué)生家長作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示樣本中有25人持不贊成意見，如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖.(1)根據(jù)已知條件與等高條形圖完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷我

11、們能否有95%勺把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”？贊成不贊成總計(jì)城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民總計(jì)*(a+叮籍；'b+d)，其中n=a+b+c+&附:RK2Akc)0.100.05kc2.7063.841(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，若隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽取3人，記這3個家長中是城鎮(zhèn)戶口的人數(shù)為X,試求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：(1)完成列聯(lián)表，如下:代入公式，得K2=贊成不贊成總計(jì)城鎮(zhèn)居民301545農(nóng)村居民451055總計(jì)7525100100X(300-6752q45X55X75X253.03V3.841.我們沒有95%勺把握認(rèn)為“贊成高考改革方案與城鄉(xiāng)戶口有關(guān)”.

12、用樣本的頻率估計(jì)概率，隨機(jī)在全省不贊成高考改革的家長中抽中城鎮(zhèn)戶口家長的概率為0.6，抽中農(nóng)村戶口家長的概率為0.4.X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=(0.4)3=0.064;p(X=1)=C3x0.6X(0.4)寫出張先生一次租車費(fèi)用y(單位：元)與用車時間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；若張先生一次開車時間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)E表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求E的分布列和期望；若公司每月給1000元的交通補(bǔ)助，請估計(jì)張先生每月(按22天計(jì)算)的交通補(bǔ)助是否足夠讓張先生上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.(同一時段的時間用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表)解

13、：(1)當(dāng)20Vt<40時，y=0.12t+15;當(dāng)40vt<60時，y=0.12X40+0.20(t40)+15=0.2t+11.8.0.12t+15,20Vt<40,故V=，一一一0.2t+11.8,40Vt<60.(2)張先生租用一次新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的概率E可取0,1,2,3.02。327P(日=0)=吒莊戶125,=0.288;P(X=2)=C3x0.62X0.4=0.432;p(X=3)=C3x0.63=0.216.X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216E(X)=0X0.064+1X0.288+2X0.432+3X0.

14、216=1.8.3.為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車后，又推出新能源分時租賃汽車.其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；行駛時間不超過40分鐘時按0.12元/分計(jì)費(fèi)，超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi).已知張先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時間t(單位：分)是一個隨機(jī)變量.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了張先生50次路上開車花費(fèi)的時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示時間t/分(20,30(30,40(40,50(50,60頻數(shù)2182010將頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時間視

15、為用車時間.P31展誦3里P（弋一1）一%加荷P3-2-dH2'.3'1-36P（E2）一%槌廠125,p（3）=c3D（I）=焉27/E（日）=°x宓+1X125E的分布列為0123P275436812512512512554°36-8卜2X拓+3=1.2.125125或EE尸3X|=1.2；,CL2“18“20t=25X+35X+45X505050（3）張先生每月的交通補(bǔ)助足夠讓他上、下班租用新能源分時租賃汽車.理由如下.法一：張先生租用一次新能源分時租賃汽車的平均用車時間10一、+55X冰=42.6（分），50每次租用新能源分時租賃汽車的平均費(fèi)用為0.2X42.6+11.8=20.32（元），張先生一個月上、下班租車費(fèi)用約為20.32X22X2=894.08（元），因?yàn)?94