(完整word版)數(shù)學(xué)分析1期末考試講解

1、數(shù)學(xué)分析I題目講解單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共14分）1、設(shè)數(shù)列Xn滿足 Xn+i = 1 Xn L 且 HmXn= 2,則 2xnn,為【】A 0 B、1 C 、1 D、22tanx 八 x 0.2、已知f(x) x ,'則x= 0是f(x)的1, x 0,A第一類不連續(xù)點(diǎn) B、第二類不連續(xù)點(diǎn) C連續(xù)點(diǎn)D可去不連續(xù)點(diǎn)3、已知 f(x) =xsin, x0,x 0 一 ，0則f(x)在x= 0處x 0A左可導(dǎo) B、右可導(dǎo) C可微D不連續(xù)4、若limfX存在，下列說法一定正確的是 x, Xo【 】A f(x)在xo的任一鄰域內(nèi)有界B、f(x)在xo的某一鄰域內(nèi)無界C f(x)在x。的某一鄰

2、域內(nèi)有界D f(x)在x。的任一鄰域內(nèi)無界2、5、若f(x)在x-0處連續(xù)，并且眄卡、c,則A f(0)= 0且 f_ (0)存在B、f (0)= 0且 f (0)存在C f(0)= c且 f_ (0)存在D f(0)= c且 f+ (0)存在6、若f (x)在點(diǎn)xo處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則f (x)在點(diǎn)X0處必然【】A可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C連續(xù)D不連續(xù)7、下列敘述錯(cuò)誤的是【】A若f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)可微；B、若f(x)在點(diǎn)X0可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)小連續(xù)；G若f(x)在點(diǎn)x°可導(dǎo)，則，"%)二 0；D、設(shè)f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)，則x。是極值點(diǎn)當(dāng)僅當(dāng) f'(xo)

3、 0.參考答案：1. B 2.C3.A4.C5.B6.C 7.D,、填空題（每小題3分，共21分）3 x1、lim 一 x'5x 6+4x3 1x彳11 一 x12、曲線y= lnx上平仃于直線y=x+ 1的切線的萬5程為f(a 2h) f(a 3h)3、設(shè) f(a)1,貝(J hm Lh，0h2 .4、曲線y - 2x e x的斜漸近線為5、函數(shù) f (x)= x3- 9x2+ 24x- 15的極小值點(diǎn) x =6、已知當(dāng)x 0時(shí)ln(1 ax)與ex - 1等價(jià)，則a ;x7、 5x二 參考答案:1. 4ClZ工計(jì)算題（每小題6分，共36分）、一 11、計(jì)算lim 一n n 1 n_

4、11_72n Vn .1111、計(jì)算 lim t= HI -r=n n 1 n 22 n ，n解：設(shè)X< '+11卜由于n 1 n ，2 n V nXnl i m n 廠二,1 lim一二 1（4分）n n vn n n 1由夾逼性，lim4= 1,即原極限為1。（6分） n 2.求極限limx , 01Ixtanx解：limx 0 tanx x limxtanx x 02 .x tanx（1分）limsinx xcosx2x sinx（冽）limxsin xx 0 2xsinx2x cosx（4分）lim x , 02x cosx sin x（5分）（分）3 .已知f(u)任意

5、次可微，求y= f(lnx)的二階微分 d2y.3.已知f(u)任意次可微，求y= f(lnx)的d2y.解：令 uTnx,則 dy= f (u)1, dx xd2y dx2d f (uydx：f(u)(2分)(3分)11f (u) F f (u) w xxf (u) f (u)f (In x) f (In x)(冊(cè))2x所以，d2y=f (lnX)2f (lnX)dx2(6 分)x24 .求方程 a cta t2所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)器.y = ln(1 t )dy4.求方程x arctanty = ln(1 t2)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)d2xdy2dx1(3分)解:dX. _d! . k(U= 1

6、 t2 . _!_dy dy y'(t)2t2t2dt1 t2(6分)1 d2xd dx2t21 t2dy2 dy dy 2t 4t31 t2、rrCOSX5 .設(shè) y -sinx，求 y .解：對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，ln y =（ cosx）lnsin x, （1分）再對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)，cosx ln sin xcosxsin xsin x（4分）sin x Insin x2 cos xsin x（5分）2cosx cos x所以，y = sinxsin x lnsin x（6分）sin x6 .求由方程exy=2x+ y3所確定的函數(shù)y= y（x）的微 分dy.解：在方程兩端對(duì)x求導(dǎo)

7、，得exy（ y+ xy» 2+ 3y2y .（3 分）O - wpxy解此方程，得y = 2xvye 2o （4分） xy 2xe 3y一一2 - yexy八所以，dy = 一2dx。（6 分）xexy 3y2四、綜合題（3小題，共29分）1.敘述證明題（4小題，共14分）（1）敘述limxn;A （A有限）的一N定義；（3分） n （2）敘述數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理；（3分）（3）敘述f （x）在區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)的.一定義；（3分）（4）證明f（x）= sinx在（一，）上一致連續(xù)。（5分）解：（1） limxn;A （A有限）的一 N定義：對(duì)任意 n 給定的一0,存在

8、正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，有Xn A ' O （3 分）（2）數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理：數(shù)列xn收斂的充要條件是xn是一個(gè)基本數(shù)列。（3分）(3) f(x)在區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)的 一。定義：若f(x) 在區(qū)間I內(nèi)滿足對(duì)任意的，> 0,存在"一()> 0, 使得對(duì)I內(nèi)任意兩點(diǎn)X1與x2,當(dāng)|x1 - x2k 6時(shí)，總有 f (Xi) f (X2)| 一，則稱f (x)在區(qū)間I內(nèi)一致連續(xù)。 (3分)（4）證明：對(duì)任意x1, x2e R,由于f(x1) f(x2)= sinx1 sinx2oxj x2 .2 cossin2x1 x2(3 分)故對(duì)任意的A 0,

9、取，一，則對(duì)C 8 J 8 ）內(nèi)任意兩 點(diǎn) x1 與 x2,當(dāng) x1 - x2 < 5 時(shí)，總有 f(x1)- f (x2)即f（x）在（一）上一致連續(xù)。（5分）2X2.證明：當(dāng) x 0時(shí)，x < ln(1+ x)< x. (7分)證明：(1)證明 ln(1+ x)< x.根據(jù)Lagrange中值定理，ln(1* x)= ln(1* x) ln1 =，,這里o- x xx 011(2分)由于< 1 ,所以l n (1 x <) x1(3分)(2)證明xln(1 x).2令 f(x)= x ln(1 x),則1x2f (x)= 1 x =)(2 分)當(dāng) x&g

10、t; 0 時(shí)，1 x 1 xf'x)< Q f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減，由f(0)=0,知2 x f (x)< 0 x> 0,從而 x < ln(1 x)o (4 分)3.設(shè) f (x)在區(qū)間a,b可導(dǎo)，且 f+'(a)> 0, f(b)> 0,f (a); f (b); A,證明:(1)存在一(a,b)使得f(1A; (5分)(2) f (x)在(a,b)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。(3分)證明：(1)由 f(a)= lim+ f(x) f(a)> 0,存在I0, x a x a使當(dāng) x (a, a+ 1)時(shí)，有 f(x) f(a)> 0,此時(shí)， x af(x)> f(a); Ao 在(a"中去一點(diǎn) xi ,有f(x1)>A;由 f1(b)= l i m(x ) f b( >),0 存在 x b x b，2> 0,使當(dāng)x1 (b- 2,b)時(shí)，有 f(x) f(b)> 0,此 x b時(shí)，f(x), f(b)= A 在(b- 2,b)中去一點(diǎn) X2,有 f(X21 Ao (3分)于是，f(xj> A>