正比例的性質和反比例的性質

1、正比例的性質和反比例的性質正比例的性質和反比例的性質，是相反的兩個性質，在學習和運用時，由于表述形式近似，只是個別關鍵詞語的不同，極容易相互混淆，必須正確地加以區(qū)分。正比例的性質是：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比，等于另一種量對應的兩個數(shù)值的比。例如：一列火車的速度每小時60千米，如果所行時間與所行路程成正比例關系，那么所行時間的任意兩個數(shù)值的比，必須與對應所行路程的兩個數(shù)值的比相等。如下表：從順向看：時間上2小時與4小時的比為24=0.5；路程上2小時所行的千米數(shù)與4小時所行的千米數(shù)的比120240=0.5。這兩個比的比值相等，具備了正比例的性質。具備了正比例的性質。反比例的性

2、質是：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比等于另一種量對應的兩個數(shù)值比的反比。例如：完成1200臺電視機的生產任務，每天生產的臺數(shù)和完成的天數(shù)成反比例關系，每天產量中任意兩個數(shù)值的比，等于所對應完成天數(shù)的兩個數(shù)值比的反比。如下表：從逆向看：臺數(shù)上400臺與200臺的比為400200=2；其對應天數(shù)比的反比為63=2。兩個比的比值相等，具備了反比例的性質。在比和比例這局部知識中，反比、反比例和反比例關系也是容易混淆的。不正確區(qū)分三者確實切含義，就會在憑借概念進行判斷和依據性質進行計算上，產生“后遺癥，最后還得溯本求源，從根本概念上進行澄清。因此，從防微杜漸的角度上，一開始就結合教材進行正

3、確區(qū)分，是非常必要的?！胺幢仁桥c正比相對而言的，它們都不屬于比例的范疇。在兩個比中，如果一個比的前項和后項，分別是另一個比的后項和前項，這兩個比就叫做互為反比。例如：34的反比是43；反過來，43的反比是34?！胺幢壤菍煞N相關聯(lián)的量對應數(shù)值組成比的順序而言的。兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，據此寫出的比例式稱為反比例。例如：有一堆煤，每天燒煤2噸，可燒12天，如果每天燒煤4噸，可以燒6天，每天燒6噸，可以燒4天。從條件中的規(guī)律可見，煤的總重量一定，每天燒煤量與燒得天數(shù)成反比例?！胺幢壤P系是成反比例的兩種量之

4、間的數(shù)量關系。如果用字母x、y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示積一定，其關系式為：x×y=k一定，在這個式子中，x與y的關系，就是反比例關系。在八年級數(shù)學中，學生第一次遇到了函數(shù)正、反比例函數(shù)圖像和性質，在這個知識點的學習中，學生碰到了與以前截然不同的困難。如：函數(shù)圖像和性質不能很好匹配，即學生對于函數(shù)解析式和圖像性質不能熟練轉化；不知何時要分類討論，導致漏解；不會用反比例函數(shù)的“面積不變性；不能完全解讀題目中蘊含的信息，找不到或不理解圖像語言；對于綜合題不知如何入手解題。解決這些困難，教師就要在教學中充分運用數(shù)形結合，使學生能夠逐一突破函數(shù)學習中的難關。一、引導學生熟練掌握正、反比例函

5、數(shù)圖像和性質，突破“數(shù)形結合認識關。傳統(tǒng)的教學中通過畫一畫特殊的正比例函數(shù)圖像，如，得到一般情況下正比例函數(shù)圖像，這里的畫一畫是特殊情況，是必要的，但是由于學生動手能力不同，往往整節(jié)課的重點偏移到畫圖的操作細節(jié)上。如：如何找點，如何用平滑曲線連線等，而忽略了解析式與圖像性質對應關系的探知。如何來解決呢？教學中首先可以通過“猜一猜，看正比例函數(shù)解析式(0能不能用圖像表示，它的圖像是怎樣的，從而引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中每一對、的值與坐標系中的點坐標的聯(lián)系。然后通過“想一想，思考當?shù)闹荡笥凇⒌扔诨蛐∮?時值的情況，引導學生認識解析式對圖像分布與增減性的影響。再通過“畫一畫，利用畫圖驗證猜想，從圖像上形象地

6、認識性質。通過這三步的探究，得出一般情況下正比例函數(shù)圖像是過點0，0和1，的一條直線。然后進一步引導學生從函數(shù)圖像的形態(tài)發(fā)現(xiàn)圖像的性質，進而歸納函數(shù)的性質，建立起數(shù)學符號與圖像性質之間的聯(lián)系。同樣地反比例函數(shù)圖像也可以通過“猜一猜，得出一般情況下的圖像。再通過“想一想和“畫一畫，逐步認識函數(shù)圖像和性質。以此類推，在后面的函數(shù)學習中，都可以用這樣的方法和步驟來進行函數(shù)圖像和性質的教學。在教學中，得到函數(shù)性質后，要把函數(shù)解析式、圖像和性質用各種不同的方法加以比照、聯(lián)系，如可以列出下面的表格，讓學生來填寫內容。當學生充分熟悉和掌握了以后，他們就能意識到研究函數(shù)可以從解析式、圖像和性質入手，而性質通常

7、是研究系數(shù)的符號、函數(shù)的增減性等等。這樣學生可以掌握一點研究函數(shù)的一般方法。函數(shù)解析式數(shù)圖像形性質00(0過0，0和1，的一條直線過一、三象限，y隨x增大而增大。xyO過二、四象限，y隨x增大而減小。(0雙曲線圖像的兩支都無限接近于x軸和y軸，但不會與x軸和y軸相交過一、三象限，在每個象限內，y隨x增大而減小。xyO A過二、四象限，在每個象限內，y隨x增大而增大。上述表格應讓學生熟練掌握，這是學生進行綜合運用的根底。在此根底上，用數(shù)形結合的思想方法，看到圖像過什么象限，馬上想到的符號，強化從圖象性質到解析式的逆向思維，使解析式數(shù)學符號語言和圖象性質圖像語言能熟練地互相轉化。2、要使學生熟知哪

8、些條件可以求解析式解析式往往是函數(shù)類題目的“入口或“出口，所以要熟練掌握解析式的求法。在正、反比例函數(shù)中，由于只有一個待定系數(shù)，所以一對、的值或圖像上一個點的坐標，就可以完全確定正比例函數(shù)或反比例函數(shù)，反之亦然。解題中看到圖像過某點，那么常常要把這點的坐標代入函數(shù)解析式。二、引導學生解讀題目中蘊含的信息，熟練掌握數(shù)學符號語言和圖像的互化，根據題目中的信息畫出圖像突破“形數(shù)畫圖關。1、函數(shù)題中往往伴有圖像，題中假設沒有圖像，那么先要從條件出發(fā)，根據函數(shù)性質畫出圖像或草圖，再求出系數(shù)。通常當學生面對K確定的函數(shù)題時，圖像根本都會畫，但當面對K不確定的函數(shù)題時，往往會漏畫、少畫，從而造成漏解。這時教

9、師可設計合理問題，用課堂提問的方法引導學生正確畫出圖形。假設題目中的符號不能確定，或條件給出的長度、距離、面積等是非負的，轉化為點坐標卻可正、可負，所以要考慮進行分類討論，這時題目往往可能有多解，而畫出的滿足條件的圖像也應該有多個。例1：正比例函數(shù)中，圖像上一點A,3與y軸的距離為2，求此函數(shù)的解析式。分析提問： 點A可以在直角坐標系中的什么位置？學生答復出來后再問：與Y軸距離為2的點A有幾個？符號不能確定，由“圖像上一點A,3與y軸的距離為2”，得到點A可以在第一象限和第二象限，因此函數(shù)的大致圖像有兩個，如圖1。 解：過點A作AB軸，ACy軸因為圖像上一點A,3與y軸的距離為2所以AC2,把

10、條件轉化為數(shù)學符號語言所以BO=AC=2隱含條件BO=AC所以=-2或=2。線段長轉化為點的坐標，這里學生常常會漏解得A2，3或2，3。解得k=, 或k=此函數(shù)解析式有兩個：或。2、反比例函數(shù)具有“面積的不變性。從條件出發(fā)，先根據反比例函數(shù)畫出圖像，再根據矩形面積公式求出系數(shù)。經過計算可知，反比例函數(shù)上任意一點P, ，都有。從圖像上來看，反比例函數(shù)上任意一點對x軸、y軸做垂線所構成的矩形，其面積都與的絕對值相等，即根據這一性質解題往往可以簡潔。三、引導學生把問題轉換化歸突破“數(shù)形綜合運用關正反比例函數(shù)綜合運用對于學生來說比較困難，可以按以下方法解決。假設題目本身有圖像的。1、先通過觀察函數(shù)圖像

11、，留心圖形的特點，同時在圖形中標注條件。再仔細讀題，從圖形和題目兩方面找出蘊含的信息，開掘圖形和題目中的隱含條件。2、根據條件及隱含條件，得出函數(shù)性質。3、一般正反比例函數(shù)解析式，可以先求出交點。4、要熟練地把點的坐標和線段長度、面積互相轉化。5、將題中用到的直線或雙曲線用正比例函數(shù)或反比例函數(shù)表達出來。6、根據圖形找出條件和所求目標之間的聯(lián)系，常常要用到幾何方法和一些公式，從而列出方程。假設題目本身沒有圖像的，那么首先根據條件畫出圖像，再按照上述步驟來做?？傊?，要使學生善于選擇信息，善于運用直覺思維，善于把問題轉換化歸。例2、如圖2，P是反比例函數(shù)圖像上一點，矩形APBO的面積是8，PB=2

12、PA.(1) 求反比例函數(shù)的解析式。(2假設正比例函數(shù)圖像經過P點，求正比例函數(shù)解析式。例題設計的目的是要使學生明確掌握反比例函數(shù)的面積不變性，掌握由條件轉化為線段長再轉化為點坐標再用待定系數(shù)法求解的一般步驟。分析：1先觀察函數(shù)圖像在二、四象限，那么k<0 直接由函數(shù)圖像得出函數(shù)性質因為矩形APBO的面積是8，所以得k8，運用反比例函數(shù)面積不變性所以反比例函數(shù)的解析式為。2設正比例函數(shù)解析式為因為矩形APBO的面積是8，所以PA×PB8，由條件PB=2PA，得PA=2，PB=4運用矩形面積公式求得線段長根據圖像，點P在第二象限，那么P的坐標為2，4線段的長度轉化為點的坐標把x2

13、，y4代入，得m2。一個點的坐標，就可以確定正比例函數(shù)解析式所以正比例函數(shù)解析式為FOADPEB例3、如圖，正方形OAPB、ADFE的頂點A、D、B在坐標軸上，點E在AP上，點P、F在函數(shù)的圖像上，正方形OAPB的面積為9(1) 求的值和直線OP的解析式；2求正方形ADFE的邊長例題的設計目的在于如何在復雜背景條件下，從條件適當?shù)卦O點坐標，進而列出方程得解。分析：1因為正方形OAPB的面積為9，點P在函數(shù)的圖像上且根據圖形點P在第一象限，所以=9。反比例函數(shù)面積不變性因為OAPB是正方形，所以OA=PA，得到P3，3，代入，可得k=1所以直線OP的解析式為.其實根據圖形不求點P坐標，也可直接得出直線OP函數(shù)解析式(2)因為點F在函數(shù)的圖像上，可設F(, )，利用點F特征設元所以OD，F(xiàn)D點的坐標轉化為線段長因為正方形OAPB的面積為9，所以OA3，所以EF=因為ADFE是正方形，所以EF=FD。所以，利用正方形邊長相等列出方程解得所以EF，即正方形ADFE的邊長為。通過上述教師循