利用空間向量解立體幾何完整版

1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問(wèn)題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問(wèn)題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算線線角，而如何用向量證明線面平行，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，給老師對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)及學(xué)生解有關(guān)這部分內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問(wèn)題談一下自己的想法，起到一個(gè)拋磚引玉的作用?；舅悸放c方法一、基本工具1.數(shù)量積： 2.射影公式：向量在上的射影為3.直線的法向量為 ，方向向量為 4.平面的法向量（略）二、用

2、向量法解空間位置關(guān)系1.平行關(guān)系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2.垂直關(guān)系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1.點(diǎn)點(diǎn)距離點(diǎn)與的距離為2.點(diǎn)線距離求點(diǎn)到直線的距離：方法：在直線上取一點(diǎn)，則向量在法向量上的射影= 即為點(diǎn)到的距離.3.點(diǎn)面距離 求點(diǎn)到平面的距離：方法：在平面上去一點(diǎn)，得向量，計(jì)算平面的法向量，計(jì)算在上的射影，即為點(diǎn)到面的距離.四、用向量法解空間角1.線線夾角（共面與異面）線線夾角兩線的方向向量的夾角或夾角的補(bǔ)角2.線面夾角求線面夾角的步驟： 先求線的

3、方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.3.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.實(shí)例分析一、運(yùn)用法向量求空間角nA向量法求空間兩條異面直線a, b所成角，只要在兩條異面直線a, b上各任取一個(gè)向量，則角<>=或-，因?yàn)槭卿J角，所以cos=, 不需要用法向量。1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面的法向量為=（x, y, 1)，則直線AB和平面所成的角的正弦值為sin= cos(-) = |cos<, >| = 2、運(yùn)用法向量求二面角設(shè)二

4、面角的兩個(gè)面的法向量為，則<>或-<>是所求角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為銳角還是鈍角，來(lái)決定<>是所求，還是-<>是所求角。二、運(yùn)用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離 設(shè)異面直線a、b的公共法向量為，在a、b上任取一點(diǎn)A、B，則異面直線a、b的距離d =AB·cosBAA=略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過(guò)F與a平行的直線，在a、b上任取一點(diǎn)A、B，過(guò)A作AAEF，交a于A，則，所以BAA=<>（或其補(bǔ)角）異面直線a、b的距離d =AB·cosBAA= *其中，的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量（或

5、圖中的），及的定義得 解方程組可得。2、求點(diǎn)到面的距離求A點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在內(nèi)任取一點(diǎn)B，則A點(diǎn)到平面的距離為d =，的坐標(biāo)由與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組（類似于前面所述, 若方程組無(wú)解，則法向量與XOY平面平行，此時(shí)可改設(shè)，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在直線a上任取一點(diǎn)A，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)B，則直線a到平面的距離d = 4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面、的公共法向量法為，在平面、內(nèi)各任取一點(diǎn)A、B，則平面到平面的距離d = 三、證明線面、面面的平行、垂直關(guān)系設(shè)平面外的直線a和平面、，兩個(gè)面、的

6、法向量為，則 四、應(yīng)用舉例：例1：如右下圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值. 解：（I）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，設(shè)法向量與平面C1DE垂直，則有（II）設(shè)EC1與FD1所成角為，則例2：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD

7、，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)。（1）證明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等邊三角形，又E是AB中點(diǎn)，連結(jié)BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如圖建立坐標(biāo)系D-ECP，設(shè)AD=AB=1，則PF=FD=，ED=， P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一個(gè)法向量為=（0，1，0） ，設(shè)平面PAB的法向量為=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)·=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量為=（,

8、 0, 1), 設(shè)平面FAB的法向量為1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos<, 1>| = 例3：在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；()設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.解: ()如圖建立坐標(biāo)系D-ACD1, 棱長(zhǎng)為4 A（4，0，0），B（4，4，

9、0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 顯然=（0，4，0）為平面BCC1B1的一個(gè)法向量 直線AP與平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos<, >|= 為銳角，直線AP與平面BCC1B1所成的角為arcsin () 設(shè)平面ABD1的法向量為=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4） 由， 得 =（1, 0, 1)， 點(diǎn)P到平面ABD1的距離 d = 例4：在長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，3的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD1，則O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，

10、2，0） 設(shè)A1O與B1C的公共法向量為，則 A1O與B1C的距離為d =例5：在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求A1到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系D-ACD1，則B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） 設(shè)面BDFE的法向量為，則 A1到面BDFE的距離為d =五、課后練習(xí): 1、如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn). （1） 證明EF為BD1與CC1的公垂線; （2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離.2、已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為1，過(guò)D作PD平面ABCD，且PD=1，E、F分別是AB和BC的中點(diǎn)，（1）求D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離3、在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如圖） （1