信號(hào)與系統(tǒng)：第9講 第4章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換1

1、第第4 4章章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 4.1-4.1-4.24.2非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換；非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換； 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講2n傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)系統(tǒng)n復(fù)指數(shù)信號(hào)作用于復(fù)指數(shù)信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)得到很簡(jiǎn)單的響應(yīng)系統(tǒng)得到很簡(jiǎn)單的響應(yīng)n其相應(yīng)的系數(shù)帶來(lái)系統(tǒng)函數(shù)的概念其相應(yīng)的系數(shù)帶來(lái)系統(tǒng)函數(shù)的概念n特征函數(shù)作用下的特征值構(gòu)造的函數(shù)特征函數(shù)作用下的特征值構(gòu)造的函數(shù)n可以求解周期信號(hào)作用下的響應(yīng)可以求解周期信號(hào)作用下的響應(yīng)n系統(tǒng)頻率響應(yīng)概念系統(tǒng)頻率響應(yīng)概念n只考慮純虛數(shù)情況下的系

2、統(tǒng)函數(shù)，只考慮純虛數(shù)情況下的系統(tǒng)函數(shù)，n表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率復(fù)指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)，表示系統(tǒng)對(duì)不同頻率復(fù)指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)，n濾波的概念濾波的概念n頻率成形濾波器頻率成形濾波器-高通、低通、帶通高通、低通、帶通n頻率選擇性濾波器頻率選擇性濾波器n微分方程和差分方程描述的濾波器分析微分方程和差分方程描述的濾波器分析n低通、高通低通、高通2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講3n周期信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)信號(hào)組合來(lái)表示周期信號(hào)可以用復(fù)指數(shù)信號(hào)組合來(lái)表示-傅里傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)n用傅里葉級(jí)數(shù)表示的好處用傅里葉級(jí)數(shù)表示的好處n可以簡(jiǎn)化輸入輸出關(guān)系可以簡(jiǎn)化輸入輸出關(guān)系n系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)可以表征系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)、頻

3、率響應(yīng)可以表征系統(tǒng)特性n系統(tǒng)頻率特性分析，濾波器設(shè)計(jì)系統(tǒng)頻率特性分析，濾波器設(shè)計(jì)n周期信號(hào)的分析怎樣拓展到非周期信號(hào)周期信號(hào)的分析怎樣拓展到非周期信號(hào)n信號(hào)的周期變得無(wú)窮大，基頻很小，諧波密集信號(hào)的周期變得無(wú)窮大，基頻很小，諧波密集n傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式會(huì)演變?yōu)槭裁?？傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式會(huì)演變?yōu)槭裁?？n信號(hào)有基本信號(hào)組合的求和表達(dá)式演變?yōu)槭裁?？信?hào)有基本信號(hào)組合的求和表達(dá)式演變?yōu)槭裁矗?022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講4n1.非周期信號(hào)傅里葉變換表示的導(dǎo)出非周期信號(hào)傅里葉變換表示的導(dǎo)出n從一個(gè)周期方波的分析導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅里葉變換從一個(gè)周期方波的分析導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅里葉變換n周期方波的傅里

4、葉級(jí)數(shù)表示周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)表示n周期趨于無(wú)窮大，基波頻率趨于周期趨于無(wú)窮大，基波頻率趨于0，離散頻譜變連續(xù)，離散頻譜變連續(xù)nA=1,T=4T1,T=8T1, T=16T1圖示圖示nT1不變，不變，T變大，包絡(luò)不變，譜線變密變大，包絡(luò)不變，譜線變密,nT, Tak包絡(luò)函數(shù)包絡(luò)函數(shù)0110 11101,( )0,/22 sin()22()2 sin()kkkA tTx tTtTAkTT ATaSa kkTTTATTa 周期方波其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)或者：，當(dāng)做包絡(luò)函數(shù)的樣本一個(gè)周期內(nèi)的平均值方波寬度與周期之比2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講5n周期信號(hào)在周期無(wú)限大轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)周期信號(hào)在周期無(wú)

5、限大轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)n非周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示：非周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示：( )( )( )x tx tx t為一非周期信號(hào)，為作為第一周期構(gòu)成的周期信號(hào)如果這個(gè)周期為無(wú)窮大，兩個(gè)信號(hào)相等0( )( ),jktkkx tx ta e對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：00(): ()( )1()()kjktkkkTTaTaX jX jx t edtaX jaX jkT前面已分析， 變大，包絡(luò)不變定義=原系數(shù)與關(guān)系：000000( )()1( )()1()2jktjktkkkjktkx tX jx ta eX jkeTX jke周期信號(hào)用表示：000/ 2/ 2/ 2/ 21( )11( )( )

6、TjktkTTjktjktTax t edtTx t edtx t edtTT非周期信非周期信號(hào)的傅里號(hào)的傅里葉變換葉變換如何演變?yōu)槿绾窝葑優(yōu)榉侵芷谛盘?hào)非周期信號(hào)的表達(dá)的表達(dá)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講6n非周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)非周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)n分析用包絡(luò)函數(shù)表示的周期信號(hào)分析用包絡(luò)函數(shù)表示的周期信號(hào)n改寫(xiě)表達(dá)式，得到非周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)：改寫(xiě)表達(dá)式，得到非周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)：n從變換式分析，非周期信號(hào)也可以由復(fù)指數(shù)信號(hào)加權(quán)組合得到從變換式分析，非周期信號(hào)也可以由復(fù)指數(shù)信號(hào)加權(quán)組合得到n由傅里葉變換表示的周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)由傅里葉變換表示的周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

7、000001( )()2,( )( )0,jktkx tX jkeTx tx tdk 在有：此時(shí)：1( )() 2j tx tX jed()()( ) ,22j tj tX jdX jdx tee復(fù)指數(shù)信號(hào)，加權(quán)0011( )()jktkkax t edtX jTT周期信號(hào)與非周周期信號(hào)與非周期信號(hào)的關(guān)系期信號(hào)的關(guān)系0 ()( )jktX jx t edt2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講7n根據(jù)周期信號(hào)與非周期信號(hào)關(guān)系計(jì)算傅里葉變換根據(jù)周期信號(hào)與非周期信號(hào)關(guān)系計(jì)算傅里葉變換2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講8n周期信號(hào)系數(shù)與非周期信號(hào)積分轉(zhuǎn)換舉例周期信號(hào)系數(shù)與非周期信號(hào)積分轉(zhuǎn)換舉例2022-

8、3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講9n2.傅里葉變換的收斂傅里葉變換的收斂n第一類條件：第一類條件：x(t)能量有限能量有限n第二類條件：狄里赫利條件第二類條件：狄里赫利條件n在無(wú)限區(qū)間不絕對(duì)可積，借助沖激函數(shù)，也有傅里葉變換。在無(wú)限區(qū)間不絕對(duì)可積，借助沖激函數(shù)，也有傅里葉變換。n所以上面的兩類條件都是充分條件。所以上面的兩類條件都是充分條件。0221 ()( )( )() 2( )() ( )( )0( )( )jktj tX jx t edtx tX jedx tdtX jx tx tdtx tx t ，如果：，則：，由傅里葉變換表示的信號(hào)與原信號(hào)在能量上沒(méi)有差別. ( )2.( ).( )x t

9、dtx tx t 1 絕對(duì)可積任何有限區(qū)間，只有有限最大最小值3任何有限區(qū)間，只有有限不連續(xù)點(diǎn)，且為有限值2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講10n3.連續(xù)時(shí)間傅里葉變換舉例連續(xù)時(shí)間傅里葉變換舉例n（1）單邊指數(shù)信號(hào)）單邊指數(shù)信號(hào)2211(), 01()()tan()XjaajXjaXja A如果是復(fù)數(shù)如果是復(fù)數(shù)會(huì)怎樣？怎樣會(huì)怎樣？怎樣保證絕對(duì)可積保證絕對(duì)可積( )( ) 0atx teu ta0()0()1atj tajtX jeedteaj 2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講11n（2）偶對(duì)稱指數(shù)信號(hào)）偶對(duì)稱指數(shù)信號(hào)n（3）奇對(duì)稱指數(shù)信號(hào)）奇對(duì)稱指數(shù)信號(hào)0022()112a tj tatj

10、tatj tX jeedte edteedtaajaja結(jié)果為實(shí)數(shù)結(jié)果為實(shí)數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)相位為相位為0,0( ) (0),0atatetx taet結(jié)果為純虛數(shù)結(jié)果為純虛數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)相位為相位為- -/2/2( ) 0a tx tea0220112()atj tatj tjX je edteedtajaja 2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講12n（4）單位沖激信號(hào)）單位沖激信號(hào)n（5）單脈沖信號(hào)）單脈沖信號(hào)n信號(hào)綜合（反變換）的討論信號(hào)綜合（反變換）的討論( )( ) x tt單位沖激信號(hào)的頻譜在單位沖激信號(hào)的頻譜在所有頻率上都是相同的所有頻率上都是相同的無(wú)限帶寬無(wú)限帶寬111, ( )

11、0, tTx ttT112sin() ( ) ,( )( )2wj twTx tedwx tx t ，當(dāng)有：()( )1j tX jt edt1112sin()()Tj tTTX jedt1 ( )tTx t 在時(shí)，收斂于？收斂過(guò)程怎樣？收斂于均值收斂于均值吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講13n（6）頻域單脈沖的反變換）頻域單脈沖的反變換n時(shí)域頻域變換存在對(duì)偶性時(shí)域頻域變換存在對(duì)偶性n不同不同W情況下的變換結(jié)果比較情況下的變換結(jié)果比較1, () 0, WX jW()( ), ( )( )WX jx tWx tt 增大，變寬，主峰變高，第一波瓣變窄11 2sin()sin(

12、)( )22Wj tWWtWtx tedttt2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講142022-3-1514n（7）n函數(shù)形式函數(shù)形式x(t)n不便直接計(jì)算，采用不便直接計(jì)算，采用奇雙邊指數(shù)函數(shù)奇雙邊指數(shù)函數(shù)x1(t)在在 0替代替代n計(jì)算傅立葉變換計(jì)算傅立葉變換n模頻譜、相位頻譜模頻譜、相位頻譜1(0)( )sgn( )1(0)tx ttt100( )lim( )limsgn( ).a taax tx tt e1220022()lim()limaajX jXjaj2()X j22(0)()(0)X jx1(t)10ttaetSgn(t)+1-10a2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講152022

13、-3-1515n（8）時(shí)域時(shí)域x(t)為沖擊函數(shù)為沖擊函數(shù) 頻域頻域X(j)為沖擊函數(shù)為沖擊函數(shù)t)(t010()Xj( )1x t10t2() 20111 ( )( )22j ted F( )( )1jttt edtF1111.( )2j tedtF 11.2( )jtedt F2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講162022-3-1516n（9）時(shí)域時(shí)域x(t)為沖擊偶函數(shù)為沖擊偶函數(shù) 頻域頻域X(j)為沖擊偶函數(shù)為沖擊偶函數(shù)12( )()jtdtjeddt()dtjd tF111 ( )( )22j ted F( )( )1jttt edtF1111.( )2j tedtF 11.2( )

14、jtedt F( )()nnndtjd tF2( )()jtdjt edtd 12 ()( )2( )ddtjjdd F2()nnndtjd F2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講172022-3-15n（9）n利用已有結(jié)果求解利用已有結(jié)果求解n階躍函數(shù)分解階躍函數(shù)分解1122( )sgn( )u tt1( )()u tj F u(t)0t()X j02022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講182022-3-15n（9.2）再求）再求n利用指數(shù)函數(shù)的結(jié)果利用指數(shù)函數(shù)的結(jié)果n參數(shù)取極限求解參數(shù)取極限求解n階躍函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，其變換應(yīng)包含實(shí)部和虛部階躍函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，其變換應(yīng)包含實(shí)部和虛部0( )

15、lim 0atau tet22221( )atae u tjajaaF22001lim( )limataaeu tjaj虛 部 ：I mF22002200 (0)lim( )limlimataaaaeu taada 當(dāng)實(shí)部：存在為常數(shù)R e F220002( )()limlimlimarctan()()221()aaatdaadgaaa 實(shí)部是一個(gè)函數(shù)，積分結(jié)果就是沖激強(qiáng)度：2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講192022-3-15n（10）2()( ) ()tx tEet 2()( )( )tjtjtx tx t edtEeedtF22()()0( )(cossin)2costtx tEetj

16、t dtEetdtF2()2()XE e2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講202022-3-15n（11）n 與矩形脈沖，升余弦脈沖比較頻譜的散布情況與矩形脈沖，升余弦脈沖比較頻譜的散布情況1 ()( )0 ()tEtx tt( )( )1jtjttx tx t edtEedtF00( )jtjtjtEEx tEedttedttedtF2()()2XESa2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講212022-3-15n（12） 相對(duì)矩形脈沖，頻域能量更集中相對(duì)矩形脈沖，頻域能量更集中t( )1+cos() ()2Ex ttt( )( )1+cos()2jtjtEx tx t edtedtFtt( )

17、244jjjtjtjtEEEx tedteedteedtF2()()1()ESaX ()()()()22EEXE SaSaSa 2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講22升余弦信號(hào)的時(shí)域頻域波形升余弦信號(hào)的時(shí)域頻域波形2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講23n1.周期信號(hào)與傅里葉變換周期信號(hào)與傅里葉變換n周期信號(hào)在頻域內(nèi)是離散的諧波周期信號(hào)在頻域內(nèi)是離散的諧波n離散的頻譜如果用沖激函數(shù)表示，就可能用傅里葉變換離散的頻譜如果用沖激函數(shù)表示，就可能用傅里葉變換對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行變換對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行變換0( )jktkkx ta e周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式由系數(shù)表示的傅里葉變換0()2()X j 頻域的單個(gè)沖

18、激：001( )2()2jtj tx tedte 0()2()kkX jak 頻域上的等間隔沖激：2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講24n2.周期信號(hào)傅里葉變換舉例周期信號(hào)傅里葉變換舉例n（1）周期方波）周期方波00 1000 10()2()2sin()2()2sin()()kkkkX jakkTkkTkTkk 按照T=4T1作圖，與周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的表示有系數(shù)2的差別0 102sin()kkTakT信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講25n（2）正弦信號(hào)）正弦信號(hào)000011()2()2()22( ()()Xjjjj 01100( )cos1,0()2()( ()()kx

19、 ttaaakXj 其他0( )sinkx ta 系數(shù)的表達(dá)1111,0()22kaaakjj 其他2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講26n（3）采樣信號(hào)）采樣信號(hào)n將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)的處理手段，周期性沖激串將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散信號(hào)的處理手段，周期性沖激串00()2()2()22()kkkkX jakkTkTT 時(shí)域和頻域的相反關(guān)系：時(shí)域和頻域的相反關(guān)系：T增大，時(shí)域中間隔大增大，時(shí)域中間隔大頻域中則間隔變小頻域中則間隔變小( )()kx ttkT0/ 2/ 211( )TjktkTat edtTT2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講27n（3.2）再求采樣信號(hào)的傅里葉變換）再求采樣信號(hào)的傅里葉變換n直接利用積分的數(shù)學(xué)計(jì)算求解直接利用積分的數(shù)學(xué)計(jì)算求解n首先考慮有限長(zhǎng)采樣串，再求極限求解首先考慮有限長(zhǎng)采樣串，再求極限求解()()()NNNj tj tj kTkNkNkNX jtkT edttkT edte( )lim()NNkNx ttkT(1)1j NTjNTNj kTj TkNeeee(21)(21)(1)2222222TTjNjNTj NTjNTjTTTTjjjjeeeeeeeeesin(21)2sin()2TNT2022-3-15信號(hào)與系統(tǒng)第9講28N取值對(duì)積分結(jié)果的影響取值對(duì)積分結(jié)果的影響2022