克萊姆法則（課堂PPT）

1、2.6 克萊姆法則克萊姆法則授課題目授課題目 2.6 克萊姆法則克萊姆法則授課時(shí)數(shù)授課時(shí)數(shù) 2課時(shí)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 掌握克萊姆法則，并能應(yīng)用克萊掌握克萊姆法則，并能應(yīng)用克萊 姆法則來求方程組的解姆法則來求方程組的解教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) : 1 法則的含意法則的含意; 2 法則的應(yīng)用法則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn): 對法則局限性的理解與應(yīng)用對法則局限性的理解與應(yīng)用現(xiàn)在來討論一般線性方程組現(xiàn)在來討論一般線性方程組.所謂一般線性所謂一般線性方程組是指形式為方程組是指形式為) 1 (,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的方程組，其中的方程

2、組，其中 x1, x2 , , xn 代表代表 n 個(gè)未知量，個(gè)未知量，s 是方程的個(gè)數(shù)，是方程的個(gè)數(shù)，aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 稱稱為方程組的為方程組的，bi (i = 1, 2, , s) 稱為稱為.方程中未知量的個(gè)數(shù)方程中未知量的個(gè)數(shù) n 與方程的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù) s 不一定相等不一定相等.系數(shù)系數(shù) aij 的第一個(gè)指標(biāo)的第一個(gè)指標(biāo) i 表示它在第表示它在第 i 個(gè)方程，第二個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)個(gè)指標(biāo) j 表示它是表示它是 xj 系數(shù)系數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)?1)含有含有n個(gè)未知量，個(gè)未知量，所以稱為所以稱為n元線性方程組。元線性方程組。所謂方程組所謂方程

3、組c1, c2 , , cn 組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 ( c1, c2 , , cn )，當(dāng)，當(dāng)x1, x2 , , xn 分別用分別用 c1, c2, , cn 代入后，代入后，(1) 中每中每個(gè)等式都變成恒等式個(gè)等式都變成恒等式.方程組方程組 (1) 的解的全體稱為的解的全體稱為的一個(gè)的一個(gè)就是指由就是指由 n 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)它的解集合它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合解，或者說，求出它的解集合. 如果兩個(gè)方程組有如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為相同的解集合，它們就稱為. 關(guān)于線性方程組需要解決的問題有關(guān)于線性方程組需

4、要解決的問題有: 線性方線性方程組程組是否有解是否有解?如果有解如果有解, 它它有多少個(gè)解有多少個(gè)解? 如何如何求求出這些出這些解解? 本節(jié)只討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等（即本節(jié)只討論方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等（即s=n）的情形）的情形如果線性方程組如果線性方程組11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb (1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式二、克萊姆法則二、克萊姆法則0D212222111211nnnnnnaaaaaaaaa那么這個(gè)方程組有解，并且解是唯一，的可表那么這個(gè)方程組有解，并且解是唯一，的可表示為示為 1212

5、,nnDDDxxxDDD 的元素用方程組（的元素用方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)代換）的常數(shù)項(xiàng)代換 12,nb bb所得的一個(gè)所得的一個(gè) n 階行列式，即階行列式，即其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列D), 2, 1(niiiD用常數(shù)項(xiàng)列替換用常數(shù)項(xiàng)列替換 D 的第的第 i 列，其余列不變。列，其余列不變。., 2 , 11,1,121, 221, 22111, 111, 111niaabaaaabaaaabaaDnninninnniiniiininiiiAbAbAbD2211), 2, 1(ni證明思路：證明思路：1 驗(yàn)證驗(yàn)證DDi滿足各方程（存在性）；滿足各方程（存在性）；2 （1）的）的

6、解定能表成形式解定能表成形式DDxii（唯一性）。（唯一性）。所用結(jié)果：所用結(jié)果： )(, 0)(, 2211sisiDAaAaAasninsisi )(, 0)(, 2211tjtjDAaAaAantnjtjtj證證1 將將 Di 按第按第 i列展開列展開), 2 , 1(2211niAbAbAbDniniiiDDi代入第代入第1個(gè)方程的左端個(gè)方程的左端將將4左左DDaDDaDDann1212111 （證（證b1)(11212111nnDaDaDaD ( )niniiiAbAbAbD2211代入代入將將jD)(1121211111nnAbAbAbaD )(222212112nnAbAbAba

7、 )(22111nnnnnnAbAbAba )(111121211111nnAaAaAabD )(21221221112nnAaAaAab )(1212111nnnnnnAaAaAab DbD11 D按第按第1行展開行展開00滿足第滿足第1個(gè)方程個(gè)方程1b 類似驗(yàn)證第類似驗(yàn)證第2，n個(gè)方程也滿足。個(gè)方程也滿足。DDi是方程組（是方程組（1）的解。）的解。2 由由1知，（知，（1）有解，）有解，）的的解解，則則是是（設(shè)設(shè)1,21nxxxa11x1+a12x2a1nxn+=b1a21x1+a22x2a2nxn+=b2an1x1+an2x2annxn+=bn用用D的的第第i列列元素元素的代的代數(shù)余數(shù)

8、余子式子式乘兩乘兩邊邊AniA2iA1iA1i這證明了（這證明了（1）有解）有解。A1iA1iA2iA2iA2iAniAniAni對應(yīng)對應(yīng)相加相加整理整理)(12211111niniiAaAaAaxniniiAbAbAb2211 )(2211ninnininnAaAaAax)(22221122niniiAaAaAax), 2 , 1(2211niAbAbAbDniniii)(12211111niniiAaAaAaxniniiAbAbAb2211 )(2211ninnininnAaAaAax)(22221122niniiAaAaAax111DDxi ：222DDxi ：nnDDxni ：niDD

9、xii, 2 , 1由定理由定理4和定理和定理5證畢證畢2.2.克萊姆法則的三條結(jié)論克萊姆法則的三條結(jié)論1. 克萊姆法則的三個(gè)條件克萊姆法則的三個(gè)條件（1）待解的方程組是線性方程組；）待解的方程組是線性方程組；（2）待解方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程組的個(gè)數(shù)相等；）待解方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程組的個(gè)數(shù)相等；（3）待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零）待解的方程組的系數(shù)行列式不等于零.1 有解有解2 唯一解唯一解3 解的公式解的公式niDDxii, 2 , 11法則的局限性較大.即必須方程的個(gè)數(shù)等于變元注：的個(gè)數(shù).2 必須系數(shù)行列式不等于零.如果線性方程組（如果線性方程組（1）無解或有兩個(gè)不同的解，）無解

10、或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零則它的系數(shù)行列式一定為零.克萊姆法則的等價(jià)命題是：克萊姆法則的等價(jià)命題是：思考：思考：若若D=0 呢？呢？ 第三章給出答案：第三章給出答案：可能無解，可能有無窮多個(gè)解！可能無解，可能有無窮多個(gè)解！例例2：解線性方程組：解線性方程組點(diǎn)評：點(diǎn)評： (1) 一共要計(jì)算一共要計(jì)算n+1個(gè)個(gè)n階行列式，計(jì)算量大；階行列式，計(jì)算量大； 不如用初等變換簡單（第三章介紹）。不如用初等變換簡單（第三章介紹）。(2) 理論價(jià)值高于計(jì)算價(jià)值。理論價(jià)值高于計(jì)算價(jià)值。44637232232432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為常

11、數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)轱@然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)?0, 0, , 0) 就是一個(gè)解，它稱為就是一個(gè)解，它稱為.對于齊次對于齊次線性方程組，我們關(guān)心的問題是，它除去零解以外線性方程組，我們關(guān)心的問題是，它除去零解以外還有沒有其他解，或者說，它有沒有還有沒有其他解，或者說，它有沒有.對于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方對于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則就有程組，應(yīng)用克拉默法則就有000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 現(xiàn)在只能得出現(xiàn)在只能得出有有無無非零解非零解

12、這種定性結(jié)果，這種定性結(jié)果，求非零解的方法在第三章介紹。求非零解的方法在第三章介紹。點(diǎn)評：點(diǎn)評： 03204)2(020432142142141kxxxxxxxkxxxxkx 補(bǔ)例補(bǔ)例 若下列齊次線性方程組有非零解，若下列齊次線性方程組有非零解，k為何值？為何值？解解思路：思路：由定理知，方程組有非零解，則由定理知，方程組有非零解，則D=0。計(jì)算計(jì)算D令其為零令其為零解解kkkkD31240121021100 按按第第三三列列展展開開41212110)1(334 kk)55(3 k由方程組有非零解，則由方程組有非零解，則即即k=1.0)55(3 kD練習(xí)：練習(xí)：有無非零解？有無非零解？組組是各

13、不相同的數(shù)，方程是各不相同的數(shù)，方程設(shè)設(shè) 0000,4343242414333232314323222214313212114321xaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxaaaa解解0)(11114134244332333222231211 ijjiaaaaaaaaaaaaaaD各各不不相相同同，4321,aaaa故方程組只有零解。故方程組只有零解。例例3：證明下列方程組：證明下列方程組 p95 第第13題題12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax 只有零解其中只有零解其中 不全為不全為0, , ,a b c d

14、證：證：abcdbadcDcdabdcba 系數(shù)行列式系數(shù)行列式 2abcd abcdbadc badcDDDcdab cdabdcba dcba 2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcd 2222 4()abcd , , ,a b c d2222 4()0abcd由由 不全為不全為0，有，有即即 ，故方程組只有零解，故方程組只有零解0D 1. 1. 用克拉默法則解方程組的三個(gè)條件用克拉默法則解方程組的三個(gè)條件(2)(2)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù); ;(3)(3)系數(shù)行列式不等于零系數(shù)行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法則

15、建立了線性方程組的解和已知的系克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系. .它主要適用于理論推導(dǎo)它主要適用于理論推導(dǎo). .作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題2.6 P64 1(2)、2（1）待解的方程組是線性方程組；）待解的方程組是線性方程組；評論評論： cramercramer法則給出一類線性方程組的公式解，明確了解法則給出一類線性方程組的公式解，明確了解與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的許多問題的討論中是重要的，與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的許多問題的討論中是重要的，同時(shí)便于編成程序上計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算同時(shí)便于編成程序上計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算. . 但作為一種計(jì)算方但作為一種計(jì)算方法而言要解

16、一個(gè)法而言要解一個(gè)n n個(gè)未知量、個(gè)未知量、n n個(gè)方程的線性方程組，要計(jì)個(gè)方程的線性方程組，要計(jì)算算n+1n+1個(gè)階行列式，計(jì)算量較大個(gè)階行列式，計(jì)算量較大. .另一方面該公式解對另一方面該公式解對n n個(gè)未個(gè)未知量，知量，m m個(gè)方程的一般線性方程組的求解無能為力個(gè)方程的一般線性方程組的求解無能為力. .促使人們對線性方程組解法作更深入的研究。促使人們對線性方程組解法作更深入的研究。Cramer Cramer 法則的應(yīng)用法則的應(yīng)用資料：資料： 克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，17041704年年7 7月月3131日生于日內(nèi)瓦，日生于日內(nèi)瓦，17521752年年1 1月月4 4日去世

17、于法國塞茲河畔的巴尼奧勒日去世于法國塞茲河畔的巴尼奧勒. .早年在日早年在日內(nèi)瓦讀書，內(nèi)瓦讀書，17241724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，17341734年成年成為幾何學(xué)教授，為幾何學(xué)教授，17501750年任哲學(xué)教授年任哲學(xué)教授. . 1750 1750年，他在專著年，他在專著線性代數(shù)分析導(dǎo)論線性代數(shù)分析導(dǎo)論中首次提出中首次提出了由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式，即著名的了由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式，即著名的“克萊姆法則克萊姆法則”.(.(其實(shí)萊布尼茲（其實(shí)萊布尼茲（16931693年）和馬克勞林年）和馬克勞林（17481748年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來故流傳下來) )。他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高。他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國、意望重，先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國、意大利等學(xué)會(huì)成員大利等學(xué)會(huì)成員. . 他為數(shù)學(xué)寶庫留下大量的有價(jià)值的文獻(xiàn)，他為數(shù)學(xué)寶庫留下大量的有價(jià)