數(shù)值分析：5-4 Hermite插值法

1、第五章第五章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法函數(shù)近似計(jì)算的插值法 5.4 Hermite插值法插值法 5.4 Hermite插值法插值法Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡(jiǎn)單，但插值曲線只是在節(jié)點(diǎn)處與原函數(shù)吻合，若還要求在節(jié)點(diǎn)處兩者相切，即導(dǎo)數(shù)值相等，使之與被插函數(shù)的”密切”程度更好，這就要用到帶導(dǎo)數(shù)的插值.0101( ),nnf xax xxbfff設(shè)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為值函數(shù)上的具有一階導(dǎo)數(shù)的插的在區(qū)間為設(shè),)()(baxfxP處必須滿足在節(jié)點(diǎn)即nxxxxP,)(10()()iiiP xf xf()()iiiP xfxf)(,)()1(一階光滑度上具有一階導(dǎo)數(shù)在若要求baxPni, 1 ,0ni, 1

2、,0-(1)處必須滿足在節(jié)點(diǎn)即nxxxxP,)(10()()iiiP xf xf()()iiiP xfxf)(,)(,)2(階光滑度階導(dǎo)數(shù)上具有在若要求同樣mmbaxP個(gè)待定的系數(shù)可以解出22n次的多項(xiàng)式可以是最高次數(shù)為因此12)(nxP次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以用3112()()iiiP xfxf()()()()()mmmiiiPxfxfni, 1 ,0-(2)22n 共個(gè)方程定義1. 稱滿足(1)或(2)式的插值問題為Hermite插值，稱滿足(1)或(2)式的插值多項(xiàng)式P(x)為Hermite插值多項(xiàng)式，記為 , 為多項(xiàng)式次數(shù).,( )(),kkHermiteHxkRungek一

3、般次插值多項(xiàng)式的次數(shù) 如果太高會(huì)影響收斂性和穩(wěn)定性現(xiàn)象,將在后面章節(jié)講到因此 不宜太大.一、兩點(diǎn)三次Hermite插值先考慮只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值問題0101( ),f xxxff設(shè)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為0101,xxff在節(jié)點(diǎn)處的的一階導(dǎo)數(shù)值為作為插值函數(shù)多項(xiàng)式次兩個(gè)節(jié)點(diǎn)最高可以用)(33xHHermite( )kHxk應(yīng)滿足插值條件)(3xH300()Hxf311()Hxf300()Hxf311()Hxf示可用四個(gè)插值基函數(shù)表)(3xH3 ,2 ,1 ,0),()(3ixhxHi的插值基函數(shù)為設(shè))()()()()(332211003xhaxhaxhaxhaxH希望插值系數(shù)與Lagrange插值一樣

4、簡(jiǎn)單重新假設(shè)300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx其中1)(00 x0)(00 x1)(00 x300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx 0)(10 x0)(01x1)(11x0)(10 x0)(01x0)(11x0)(00 x0)(10 x0)(01 x0)(11 x0)(10 x0)(01 x1)(11 x可知即可假設(shè)的二重零點(diǎn)是,)(01xx)()()(210baxxxx1)(00 x0)(00 x由300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb)(

5、)()(210baxxxx21)(xx 310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx21021)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxlLagrange插值基函數(shù))(1x)()(21(210 xlxl類似可得)(0 x)()(200 xlxx)(1x)()(211xlxx10121xxxx2010 xxxx0 xx 2101xxxx2010 xxxx1xx )(0 x01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxl即將以上結(jié)果代入300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)

6、的三次Hermite插值公式300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx2101(12 ( )( )flxlx2000()( )fxxlx2111()( )f xxlx2010(12 ( )( )fl xlx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012xxfxx2101xxxx二、兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)兩點(diǎn)三次Hermite插值的誤差為)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1 , 0i因此可設(shè)的二重零點(diǎn)均為,)(,310 xRxx2120

7、3)()()(xxxxxKxR待定其中)(xK21203)()()()()(xtxtxKtHtft構(gòu)造輔助函數(shù)0)()()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii1 , 0i0)()()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)至少有因此5)(t連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，,10 xx至少存在一點(diǎn)使得0)()4(0)(! 4)()()4()4(xKf即! 4)()()4(fxK所以,兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)為2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR10 xx以上分析都能成立嗎？上述余項(xiàng)公式成立上存在時(shí)在當(dāng),)(10)4(xxxf11()(

8、),0,1,()()iiiininiHfinHxxxyfxyHermite插值滿足插值條件:Hermite值問題的解存在法定理1 且唯一.(22)221210( )( )( )() , , (2(2 !)nnnnjja bf xHfxnRxxx Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為Hermite插2:值法定理例1.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf處的導(dǎo)數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(處的函數(shù)值在及的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式求xxfxf解:2, 110 xx012,3ff010,1ff 300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012xxfxx2101xxxx)2(213x21x21x2 x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5 . 1(f)5 . 1(3H625. 2)7 . 1(f)7 . 1(3H931. 2作為多項(xiàng)式插值作為多項(xiàng)式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生可能發(fā)生Runge現(xiàn)象現(xiàn)象,因