最新版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案(復(fù)旦大學(xué)出版社)(李開復(fù)編)

1、精選文檔高等數(shù)學(xué)（上）第一章 函數(shù)與極限1. 設(shè) , 求2. 設(shè)的定義域為，問：； ； ； 的定義域是什么？ （1）3. 設(shè)，求和，并做出這兩個函數(shù)的圖形。 4. 設(shè)數(shù)列有界, 又 證明: 5. 依據(jù)函數(shù)的定義證明: (2) 6. 依據(jù)定義證明: 當(dāng)時,函數(shù)是無窮大.問應(yīng)滿足什么條件時,才能使7. 求極限: =0 = =0(4) =(5) =(6) =8. 計算下列極限: =0 =9. 計算下列極限: = = =(4)= （5）= （6）= 10. 利用極限存在準(zhǔn)則證明: 故原式1 數(shù)列的極限存在,并求其極限.11. 當(dāng)時, 與相比, 哪一個是較高階的無窮小?12. 當(dāng)時, 無窮小和是否同階?

2、是否等價?13. 證明: 當(dāng)時, 有.14. 利用等價無窮小的代換定理, 求極限: .15. 爭辯 的連續(xù)性, 并畫出其圖形.16. 指出下列函數(shù)的間斷點屬于哪一類.若是可去間斷點,則補(bǔ)充或轉(zhuǎn)變函數(shù)的定義使其連續(xù). =0 17. 爭辯函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點, 判別其類型。18. 求函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間, 并求. 19. 求下列極限： = =1 20. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)怎樣選擇，使在內(nèi)連續(xù)。 21. 證明方程其中至少有一正根，并且它不超過.22. 若在上連續(xù)，, 則在上必有, 使. 23. 證明: 若在內(nèi)連續(xù), 存在, 則必在內(nèi)有界. 其次章   導(dǎo)數(shù)與微分典型例題解析

3、例1設(shè)在處可導(dǎo)，求分析 所求極限與的定義式子很相像，則由的定義即可求解解 =錯誤會答 令，則，= （1） = （2）錯解分析 式（1）用到在點的導(dǎo)數(shù)；式（2）用到在點連續(xù)但是題目只是給出在處可導(dǎo)的條件，而在的鄰域內(nèi)是否可導(dǎo)以及在處是否連續(xù)都未知所以上述做法中的式（1）與式（2）有可能不成立例2設(shè)，其中在上有定義且在點處可導(dǎo)試求分析 求函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)可以用導(dǎo)數(shù)的定義來求；也可先求導(dǎo)函數(shù)，然后求導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值，但在本題中函數(shù)的可導(dǎo)性未知，故只能用定義來求解 當(dāng)時，=所以=當(dāng)時，綜上所述，= 例3 設(shè)函數(shù)，其中的一階導(dǎo)函數(shù)有界求分析 求函數(shù)在某一點的二階導(dǎo)數(shù)可以用導(dǎo)數(shù)的定義來求，但必需先求

4、出一階導(dǎo)數(shù)；也可先求出二階導(dǎo)函數(shù)，然后求二階導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值，但在本題中函數(shù)的可導(dǎo)性未知，故只能用定義來求解由于，則有又=,所以=錯誤會答 由于，所以=錯解分析 此解法錯誤的根源在于的一階導(dǎo)函數(shù)有界并不能保證二階可導(dǎo)而上述求解卻要用到注此題用到如下結(jié)論：a有界量與無窮小的乘積仍為無窮?。籦可導(dǎo)必連續(xù)例4設(shè)的一階導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)且，則（ ）A在處的二階導(dǎo)數(shù)不存在B肯定存在CD解 由于，所以，由于在處連續(xù)，故又由于，所以選C例5 設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有定義，、為該鄰域內(nèi)任意兩點且滿足條件：（1）；（2）試證在上述鄰域內(nèi)分析 此處無法用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則證明由于的表達(dá)式未給出，故只能考慮從定義動身假如用

5、條件（2），則需先求出證明 由于在的某個鄰域內(nèi)有定義，記該鄰域為，則對任意、，有令，則于是對任意，當(dāng)準(zhǔn)時，考慮下列極限=，故，例6（04研）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（ ）A在內(nèi)單調(diào)增加B在內(nèi)單調(diào)削減C對任意的有D對任意的有解由導(dǎo)數(shù)定義知依據(jù)極限的保號性，知存在，當(dāng)時，有因此當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，故選C注 函數(shù)只在一點的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，題設(shè)告知函數(shù)在一點可導(dǎo)時，一般應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行爭辯例7設(shè)不恒為零的奇函數(shù)在處可導(dǎo)試說明為函數(shù)的哪一類間斷點解由題設(shè)知，令可得則=，于是在處有極限從而是的可去間斷點例8 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則是在處可導(dǎo)的（ ）A充分必要條件B充分條件但非必要條件

6、C必要條件但非充分條件D既非充分條件又非必要條件分析表達(dá)式中含有確定值符號，又要考查函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)的存在性，因此要考慮函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)解 由導(dǎo)數(shù)定義，知，可見存在，即故選A例9（01研）設(shè)，則在點可導(dǎo)的充要條件為（ ）A存在B存在C存在D存在分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，另外也考查了某些無窮小量的階以及它們的正負(fù)號解 留意到，且假如存在則 所以A成立只保證存在，而不是存在的充分條件假如存在，則，故B是存在的充要條件對于C，留意到，所以若存在，則由右邊推知左邊極限存在且為零若左邊極限存在，則由知上式左邊極限可能不存在，故可能不存在至于D，若存在，上述右邊拆項分別求極限均存在，保證了左邊存在而左邊

7、存在，不能保證右邊拆項后極限也分別存在故選B例10（99研）設(shè)，其中是有界函數(shù)，則在處（ ）A極限不存在 B可導(dǎo) C連續(xù)但不行導(dǎo) D極限存在但不連續(xù)解 由于 =，=，故選B例11 已知在處可導(dǎo)且求分析 題目條件是在處可導(dǎo)，必定有在處連續(xù)，從而可知該極限屬于型解 在處可導(dǎo)則且當(dāng)充分大時故 =注 此題用到當(dāng)時， 例12 爭辯函數(shù)的可導(dǎo)性分析 的表達(dá)式含有確定值符號，應(yīng)先去掉確定值符號，本質(zhì)上為分段函數(shù)解法1由可得或由得于是，可求得，由于=，=，所以，即在處可導(dǎo)而=，=，則在處不行導(dǎo)綜上所述在處不行導(dǎo)，在上均可導(dǎo)解法2依題意，是初等函數(shù)，且僅在和處可能不行導(dǎo)故只需爭辯在這兩點的情形（1）時，由于，故

8、（2）時，由于不存在，故只在處不行導(dǎo)，在上均可導(dǎo)解法3 由于，由導(dǎo)數(shù)定義可知，在處不行導(dǎo)，而在處一階可導(dǎo)，因此，在任意點處均可導(dǎo)，再只需考查的可導(dǎo)性由導(dǎo)數(shù)定義可知，僅僅在處不行導(dǎo)，故僅在處不行導(dǎo)，在上均可導(dǎo)例13 設(shè)，爭辯的可導(dǎo)性分析先應(yīng)求出的表達(dá)式本質(zhì)上為分段函數(shù)解由于，則有明顯當(dāng)或時，函數(shù)可導(dǎo)下面爭辯時的可導(dǎo)性由于=，=，于是，從而可知僅在處不行導(dǎo)例14（05研）設(shè)函數(shù)，則在內(nèi)（ ）A處處可導(dǎo)B恰有一個不行導(dǎo)點C恰有兩個不行導(dǎo)點D至少有三個不行導(dǎo)點解由于=易求得，則，故為不行導(dǎo)點同理也為不行導(dǎo)點故選C例15 設(shè)的定義域為，其中，試爭辯的可導(dǎo)性若可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù)分析本質(zhì)上是分段函數(shù)即，由此可知

9、需先解出不等式 與 解由即解得，此時而由即解得，此時則有且當(dāng)時，=，=，即，所以在處不行導(dǎo)故例16 設(shè)函數(shù)，若要為可導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)如何選擇？解 明顯當(dāng)準(zhǔn)時，可導(dǎo)，故要使為可導(dǎo)函數(shù)，只需使其在處可導(dǎo)由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，應(yīng)當(dāng)首先選擇，使其在連續(xù)因，故當(dāng)即時，在連續(xù)又，因此當(dāng)時，存在，從而為可導(dǎo)函數(shù)例17 設(shè)，求，分析 三個函數(shù)中都有導(dǎo)數(shù)記號，其中表示函數(shù)對求導(dǎo)，求得后再與復(fù)合；表示函數(shù)對求導(dǎo)，即對求導(dǎo)，而；表示復(fù)合函數(shù)關(guān)于自變量求導(dǎo)解 ，則=，=，以及=例18 設(shè)求分析 本題既可直接由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，也可利用微分的形式不變性先求出，然后可得解法1 直接由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令，則=解法2 利用一階

10、微分的形式不變性= 故=例19 設(shè)，求分析 為冪函數(shù)；為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)；而也為復(fù)合函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)解 =例20 若存在，求分析 可以先求出，也可利用微分的形式不變性求一階微分解法1 =，所以=解法2 =例21 設(shè)求解法1 在的兩邊微分，得，即，化簡得令，則于是可得，解法2 由于，于是，其中所以，注 本題作變換，則要求故在最終需指明是的定義域例22 設(shè)且有二階導(dǎo)數(shù)求 解 =，=例23 已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)且則當(dāng)為大于的正整數(shù)時是（ ）ABCD分析 已知應(yīng)求出，用數(shù)學(xué)歸納法推出階導(dǎo)數(shù)解 當(dāng)時，=，以及=，=故選B例24 設(shè)，則使存在的最高階數(shù)為（ ）AB

11、CD解 逐階計算導(dǎo)數(shù)來驗證，記，易見都存在，再記，則由求導(dǎo)公式和定義，有，,即，則有由在不行導(dǎo)，知不再存在，即，選C例25 設(shè)求分析求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一般先求一階導(dǎo)數(shù)，再求二階，三階，找出階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明或者是通過恒等變形或者變量代換，將要求高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)轉(zhuǎn)換成一些高階導(dǎo)數(shù)公式已知的函數(shù)或者是一些簡潔求高階導(dǎo)數(shù)的形式用這種方法要求記住內(nèi)容提要中所給出的一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式解法1 =則， ， ， ，故=解法2 利用公式=由，得 =，故=解法3 利用冪級數(shù)開放式=，故=注 解法3用到了冪級數(shù)開放式，這是第十章無窮級數(shù)的內(nèi)容例26 設(shè)求分析 先求出，若連續(xù)求導(dǎo)，將很難歸納出

12、階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式此類有理分式函數(shù)，經(jīng)常是將其分解為部分分式之和，再使用已有的公式解 由于，則=例27 設(shè)函數(shù)由方程確定，求分析 由方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)通常有兩種方法，一是只需將方程中的看作中間變量，在兩邊同時對求導(dǎo)，然后將解出即可；二是利用微分形式不變性，方程兩邊對變量求微分，解出，則前的函數(shù)即為所求解法1 在方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，所以解法2 在方程兩邊求微分，得，即，從而，所以例28 設(shè)函數(shù)由方程所確定求，解 將代入方程，得先求，下面用兩種解法求解法1 對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，可得將，代入上式中可求得解法2 對方程兩邊關(guān)于微分得即化簡得將，代入上式中求得下面求對等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得=，將，代入

13、上式解得注求時，也可將等式兩邊對求導(dǎo)求得，或利用對數(shù)求導(dǎo)法請讀者自行完成這兩種方法，并比較一下孰優(yōu)孰劣例29 設(shè)函數(shù)是由方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)且求解法1 對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，即=，上式兩端再對求導(dǎo)得=解法2 方程兩端取對數(shù)得，對其兩端關(guān)于求導(dǎo)則有，解得=以下同解法1注 利用原方程簡化導(dǎo)數(shù)表達(dá)式是隱函數(shù)求導(dǎo)常用的方法之一，在求隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時尤其顯得重要例30 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 所給函數(shù)為冪指函數(shù)，無求導(dǎo)公式可套用求導(dǎo)方法一般有兩種：對數(shù)求導(dǎo)法和利用恒等式（），將冪指函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)解法1 對數(shù)求導(dǎo)法對等式兩邊取自然對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)得，解得解法2 利用恒等式，（）于是=注 一般的可

14、導(dǎo)冪指函數(shù)均可接受上述兩種方法求導(dǎo)例31 求由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 此題為冪指函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的綜合問題解法1 對方程兩邊取自然對數(shù)得，兩端對求導(dǎo)，則有，解得解法2 原方程可變?yōu)?，即對上式兩邊微分?即，于是有，由此解得例32 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析 該題屬于求多個函數(shù)的乘積或冪的導(dǎo)數(shù)，用對數(shù)求導(dǎo)法較好解法1 兩端先取確定值，再取對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)，得所以解法2 =例33 設(shè)，則_分析 這是要求由參數(shù)方程確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，需要先求一階導(dǎo)數(shù)解 =，=錯誤會答 =，=錯解分析 出錯的緣由在于忽視了=是的函數(shù)，為參數(shù)且是中間變量，而題目的要求是求因此，在求這類函數(shù)的二階或三階導(dǎo)數(shù)時要留意避開這類

15、錯誤發(fā)生例34 設(shè)，且求解 =，=例35 設(shè)是由所確定求分析 此題為隱函數(shù)求導(dǎo)與由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)的綜合問題解法1 在兩邊對求導(dǎo)得由得，對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得=則有，=故=，所以=解法2 由得，又，=，故=，=，所以=解法3 運用公式=簡潔求出，對兩邊分別關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，得從而，對兩邊分別關(guān)于求一階導(dǎo)數(shù)，得，由此可得于是將，代入公式=，得=例36（04研） 曲線上與直線垂直的切線方程為_分析 求切線方程，需先求斜率即求一階導(dǎo)數(shù)，利用兩直線（不平行坐標(biāo)軸）垂直的關(guān)系：斜率互為負(fù)倒數(shù)解 直線的斜率為，由得，由得，從而切點為，于是所求切線方程為 ，即為所求例37（97研） 求對數(shù)螺線在點處的切

16、線的直角坐標(biāo)方程分析 求切線方程，需先求斜率即求一階導(dǎo)數(shù)，而對數(shù)螺線的方程為極坐標(biāo)形式，故應(yīng)先化為參數(shù)方程形式解 由知，點的直角坐標(biāo)為又由=可知，當(dāng)時故所求切線方程為即為所求例38 已知曲線在點處的切線與軸的交點為求分析 先求出切線方程，然后求出該切線與軸的交點坐標(biāo)即可解 曲線在處的切線斜率為，故切線方程為令，得該切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為于是 =例39 已知是周期為的連續(xù)函數(shù)，其在的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式，其中是當(dāng)時比高階的無窮小且在處可導(dǎo)求曲線在點處的切線方程分析 求在處的切線方程，需求與切線斜率，而由=，可得和，從而故問題轉(zhuǎn)化為求與解 由題設(shè)條件有，從而，得又，從而 ，即 令，則有 ,即 所

17、以由=，可得則 ，故所求切線方程為，即為所求例40 現(xiàn)有一深為cm頂部直徑為cm的正圓錐漏斗，內(nèi)盛滿水，下接始終徑為cm的圓柱形水桶，水由漏斗進(jìn)入水桶試問當(dāng)漏斗中水深為cm且其水面下降速度為cm/min時，圓柱形水桶中水面上升的速度為多少?(其中cm表示厘米，min表示分鐘)分析 設(shè)在時刻時刻漏斗水平面的高度為cm，水桶水平面的高度為cm關(guān)鍵在于建立與之間的函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)的物理意義即可求解而由題設(shè)可知如下等量關(guān)系：在任何時刻，漏斗中的水量與水桶中的水量之和等于原來漏斗中的水量，據(jù)此問題不難求解解 設(shè)在時刻時漏斗中的水量與水桶中水量分別為、，則 ，由于在任何時刻，均應(yīng)等于開頭時漏斗中的水量

18、，即 ，即，解得對該等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，將cm，厘米/分鐘代入上式則求得水桶中水平面上升的速度為 厘米/分鐘第三章  中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題解析例1 驗證函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件解 因是在上有定義的初等函數(shù)，所以在上連續(xù)，且在內(nèi)存在；故在上滿足羅爾定理的條件，由定理知至少存在一點使即，于是解得例2 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)至少存在一點使等式成立 分析 要證成立，即證，即，作幫助函數(shù)，對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理 證明 設(shè)，則它在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由羅爾定理知至少存在一點使得，即證畢例3 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明對于任意實數(shù)，在內(nèi)至少存在一點，使得分

19、析 要證，即證，即 ，即證，作幫助函數(shù)，并對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理證明 令，易知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，至少存在一點，使，即，而，故，即，證畢注 證明至少存在一點滿足抽象函數(shù)一階或二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，且題中沒有給出函數(shù)關(guān)系式的命題時，用羅爾定理證明的方法和步驟：（1）把要證的中值等式改寫成右端為零的等式，改寫后常見的等式有， ， ， ， 等等（2）作幫助函數(shù)，使等于上述等式的左端對于（1）中所述等式，分別對應(yīng)幫助函數(shù)為， ， ， ， （3）在指定區(qū)間上對應(yīng)用羅爾定理證明例4 設(shè)為滿足的實數(shù)，證明：方程在內(nèi)至少有一個實根分析 函數(shù)雖然在上連續(xù)，但是難以驗證在的某個子區(qū)間的端點處的函數(shù)值

20、是否異號，所以不能用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，但發(fā)覺函數(shù)在處的值為，且，所以該命題可以用羅爾定理來證 證明 作幫助函數(shù)，明顯在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，則至少存在一點，使得，即 ，即方程在內(nèi)至少有一個實根證畢 注 關(guān)于的根（或的零點）的存在性的兩種常用證明方法 證法1 假如只知在或上連續(xù)，而沒有說明是否可導(dǎo)，則一般用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理證明； 證法2 先依據(jù)題目結(jié)論構(gòu)造幫助函數(shù)，使得，然后在指定區(qū)間上驗證滿足羅爾定理的條件，從而得出的零點存在性的證明 例5 若在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，則在內(nèi)至少存在一點，使得分析 要證，只要證在區(qū)間上滿足羅爾定理，關(guān)鍵是找到兩個使相等的

21、點此外，該題還可以用泰勒公式證明證法1 （用羅爾定理證）由于，則由于，所以在上滿足羅爾定理的條件，則至少存在一點使得，而，即對在上用羅爾定理，則至少存在一點使得，而，即在內(nèi)至少存在一點，使得證畢證法2（用泰勒公式證）的帶有拉格朗日型余項的一階麥克勞林公式為,其中令，留意到，可得，證畢注 結(jié)論為的命題的證明常見方法有兩種：（1）對應(yīng)用羅爾定理；（2）利用的階泰勒公式例6 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微，對于上的每一個，函數(shù)的值都在開區(qū)間之內(nèi)，且，證明在內(nèi)有且僅有一個，使得分析 依據(jù)題目結(jié)論，簡潔聯(lián)想構(gòu)造幫助函數(shù)，用零點定理證存在零點；而唯一性常用反證法證之證明 作幫助函數(shù)，易知在區(qū)間上連續(xù)，又，依據(jù)閉區(qū)間

22、上連續(xù)函數(shù)的零點定理可知，至少存在一個，使得，即下面用反證法證明唯一性假設(shè)存在，且不妨設(shè)，使得，明顯在上滿足羅爾定理的三個條件，于是存在使得，即，這與題設(shè)沖突，故唯一性也成立證畢例7 假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使分析 證（1）可接受反證法，設(shè)存在使得，且由已知條件，可以兩次利用羅爾定理推出與相沖突的結(jié)論問題（1）是基本題證（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造幫助函數(shù)，使得，且，通過觀看可知構(gòu)造是本題的難點證 （1）反證法設(shè)存在，使得，由于，對分別在區(qū)間和上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點，使得至少存在一點，使得再對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點，使

23、得，這與題設(shè)沖突，從而得證（2）令，則對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知至少存在一點，使得，即又因，故，又由于，所以，因此有 證畢例8 驗證函數(shù)在上拉格朗日中值定理的正確性分析 此題主要考查拉格朗日中值定理的條件是否滿足解 由于，則，故在處連續(xù)，故在上連續(xù)又由于，故從而在內(nèi)可導(dǎo)則由拉格朗日中值定理知存在使，即，而，所以，解得例9 設(shè)，證明分析 當(dāng)時，即證此式中的可看成函數(shù)在區(qū)間上的轉(zhuǎn)變量與相應(yīng)自變量的轉(zhuǎn)變量之商，故可考慮用拉格朗日中值定理證明證明 當(dāng)時，不等式中等號成立當(dāng)時，設(shè)由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，利用拉格朗日中值定理得，由于，所以從而可得，即證畢注 用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）證明不等式

24、的具體做法：首先選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及區(qū)間，然后利用中值定理，得到一含有的等式；其次對等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，去掉含有的項即可例10 設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)至少存在一點，使得證法1 由于不恒為常數(shù)，故至少存在一點，使得先設(shè)，在上運用拉格朗日中值定理，于是可知存在，使得若，則在上運用拉格朗日中值定理知，同樣可知存在，綜上所述，命題得證證法2 反證法若不存在這樣的點，則對任意的，所以在上單調(diào)不增，而，故在上為常數(shù)，與題設(shè)沖突所以命題得證證畢例11 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，證明：方程在內(nèi)有唯一的實根分析 要證方程在內(nèi)有唯一的實根，實際上相當(dāng)于證明函數(shù)有唯一的零點，零點的

25、存在可以依據(jù)已知用零點定理或者羅爾定理證明，唯一性可以利用反證法或函數(shù)的單調(diào)性來證明證明 先證存在性令，則在內(nèi)連續(xù)，且，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，存在，使，即為方程的實根唯一性（用反證法證） 若在內(nèi)有兩個不等實根，即，對在上利用拉格朗日中值定理，至少存在一點，使得這與題設(shè)條件沖突唯一性得證證畢 注 此題與例6類似例12 （05研） 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在兩個不同的點，使得證明 （1）令，則在上連續(xù)，且，故由零點定理知存在，使得，即（2）由題設(shè)及拉格朗日中值定理知，存在，使得，從而證畢注 要證在內(nèi)存在、，使某種關(guān)系式成立的命題，常利用兩次拉格朗日

26、中值定理，或兩次柯西中值定理，或者柯西中值定理與拉格朗日中值定理并用例13 求極限分析 該極限屬于型，可用洛必達(dá)法則，依據(jù)題目的特點可用拉格朗日中值定理，可用導(dǎo)數(shù)的定義，也可以將指數(shù)差化成乘積后用等價代換解法1 用洛必達(dá)法則 解法2 對函數(shù)在區(qū)間（或）上使用拉格朗日中值定理可得，其中或當(dāng)時，故解法3 用導(dǎo)數(shù)的定義解法4 ，當(dāng)時，故例14 設(shè)在上可微，證明：存在，使得分析 考慮將要證明的等式變?yōu)?，則用柯西中值定理證明；也可將要證明的等式變形為，則可用羅爾定理來證明證法1 只要證明，易知和在上滿足柯西中值定理的條件，故存在，使證法2 只要證明令，在可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，至少存在一點，使，即證畢錯

27、誤證明 要證的結(jié)論可改寫成對函數(shù)和在區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理，存在，使，于是錯解分析 以上證法錯在認(rèn)為和分別使用拉格朗日中值定理所得的是同一值，實際上這兩個不肯定相同例如，取，在內(nèi)使成立的點是；在內(nèi)使成立的點是；而使柯西中值公式成立的點是例15 把函數(shù)展成帶佩亞諾余項的階麥克勞林公式分析 將函數(shù)展成階泰勒公式或者麥克勞林公式，通常有直接法和間接法兩種方法，一般用間接法較為簡潔解法1 直接法 ， ， ， ， ， 所以的階麥克勞林公式為解法2 間接法 在的帶佩亞諾余項的階麥克勞林公式中，以代，得上式兩端同乘以，有由于 ，故，從而 例16 求分析 該極限屬于型，假如用洛必達(dá)法則來求解將會比較簡

28、單，依據(jù)題目的特點可考慮利用，的泰勒公式解 由于， ，注1 此題屬型的不定式，可以利用洛必達(dá)法則，讀者不妨一試，并與上述解法比較一下孰優(yōu)孰劣注2 在某些狀況下，用泰勒公式求極限比用其它方法求極限更為簡便，這種方法通常是把具有佩亞諾型余項的泰勒公式代入要求的極限式中，經(jīng)過簡便的有理運算，便可求出極限，應(yīng)用該方法需要熟記內(nèi)容提要中所列舉的常用函數(shù)的麥克勞林公式注3 幾條高階無窮小的運算規(guī)律（這些規(guī)律在用麥克勞林公式求極限時尤為有用）：（這里以為例）：a； b當(dāng)時，；c； d當(dāng)有界，則例17 求極限分析 該極限屬于型，可以用洛必達(dá)法則，也可以接受等價無窮小替換定理解法1 用洛必達(dá)法則解法2 用等價無

29、窮小替換定理例18 求極限分析 該極限屬于型，可直接用洛必達(dá)法則；也可以先用洛必達(dá)法則，然后用等價無窮小替換定理 解法1 解法2 例19（99研） _分析 該極限屬于型將通分，然后再用洛必達(dá)法則解 例20 求極限分析 該極限屬于型，應(yīng)當(dāng)先變形為或型，再用洛必達(dá)法則，到底變形為何種類型，要依據(jù)實際狀況確定，例如，依據(jù)該方法計算下去越來越簡單若將它化為型，則簡潔得多 解 例21 求極限分析 該極限屬于型，先化為型，再用洛必達(dá)法則解 ，而 故例22 求極限分析 該極限屬于型，先取對數(shù)（或者用恒等式）將其轉(zhuǎn)化為型，然后將其轉(zhuǎn)化為或型，再用洛必達(dá)法則解法1 設(shè)，故解法2 例23 求極限分析 該極限屬于型

30、，可把型變?yōu)樾陀谑牵瑔栴}歸結(jié)于求型即型的極限；也可以用重要極限 解法1，由于故解法2 利用重要極限由于 ，故注1 對于或型可直接利用洛必達(dá)法則，對于型，型，型，可以利用對數(shù)的性質(zhì)將型轉(zhuǎn)化為型，將化型，將化為型，于是問題就轉(zhuǎn)化為求型，然后將其化為或型，再用洛必達(dá)法則注2 用洛必達(dá)法則求極限時應(yīng)當(dāng)考慮與前面所講的其它方法（如等價無窮小替換定理，重要極限等 ）綜合使用，這樣將會簡化計算例24 求極限分析 對于數(shù)列的極限不能直接用洛必達(dá)法則，這是由于數(shù)列不是連續(xù)變化的，從而更無導(dǎo)數(shù)可言但可用洛必達(dá)法則先求出相應(yīng)的連續(xù)變量的函數(shù)極限，再利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系得，但當(dāng)不存在時，不能斷定不存在，這時應(yīng)

31、使用其它方法去求解法1 設(shè)，則故解法2 令，于是對在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理，得到，其中當(dāng)時，故例25 求極限 解 由于當(dāng)時，故錯誤會答 由洛必達(dá)法則得，由于極限不存在，故原極限不存在錯解分析 上述解法錯在將極限存在這一條件當(dāng)成了極限存在的必要條件事實上這僅僅是一個充分條件，所以此時不能用洛必達(dá)法則例26 求分析 該極限屬于型，若用洛必達(dá)法則將會消滅下列狀況：=（）（）每用一次洛必達(dá)法則得到類似的極限并循環(huán)往復(fù)，無法求出結(jié)果必需要考慮用其它方法解 =注 在使用洛必達(dá)法則求極限時，首先要分析所求極限的類型是否為或型；要結(jié)合其它方法（主要是用等價代換以及將極限為非零的因子的極限先求出來）來化簡所

32、求極限；如有必要可以多次使用洛必達(dá)法則；當(dāng)所求極限越來越簡單時，要考慮改用其它方法；不能用洛必達(dá)法則來判別極限的存在性例27 設(shè)的二階導(dǎo)數(shù)存在，且，證明在上是單調(diào)增加的分析 只需要證明，即可證明 由于，令，明顯在上連續(xù)，且，故在上是單調(diào)增加的即從而，故在上是單調(diào)增加的證畢例28 求曲線的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點解 ，在處，不存在，在處， ，在處， 這些特殊點將定義域分成若干部分，如下表所示：00由函數(shù)單調(diào)性的判定法可知函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是及，單調(diào)削減區(qū)間是；由函數(shù)的凹凸性判定法可知函數(shù)凸區(qū)間是，凹區(qū)間是和拐點為注1 求函數(shù)=單調(diào)區(qū)間的步驟:（1）確定的定義域； （2）找出單調(diào)區(qū)間的分界點（即求

33、駐點和不存在的點），并用分界點將定義域分成相應(yīng)的小區(qū)間；（3）推斷各小區(qū)間上的符號，進(jìn)而確定=在各小區(qū)間上的單調(diào)性注2 通常用下列步驟來推斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線=的拐點：（1）求；（2）令，解出該方程在I內(nèi)的實根，并求出在I內(nèi)不存在的點；（3）對于（2）中求出的每一個實根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，檢查在左右兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點是拐點，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點不是拐點設(shè)=在處有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，假如，而，則點肯定是拐點例29 求函數(shù)的極值點與極值解 函數(shù)的定義域為，令，求得駐點為，下面分別用極值第一、其次充分條件進(jìn)行推斷：解法1 （用極值第一充分條件）點，將定義域分成四個部分區(qū)間，列表

34、如下：-20 1000極大微小由上表及極值第一充分條件可知為微小值點，為極大值點，不是極值點，且微小值；極大值解法2 （用極值其次充分條件）首先求，而，故為微小值點，為極大值點，但對點其次充分條件失效，需用第一充分條件推斷，可知不是極值點，且微小值；極大值例30可導(dǎo)函數(shù)由方程所確定，試求的極大值與微小值分析 函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，可利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式求出及，將與原二元方程聯(lián)立求解可得駐點，再用函數(shù)取得極值的其次充分條件判定解 在方程兩邊對求導(dǎo)，得由于不滿足原來的方程，又是可導(dǎo)函數(shù)，因此，即令，得，與原二元方程聯(lián)立求解可得，由此可知，函數(shù)有唯一可能的極值點又由于，故，因此由函數(shù)取得極值的其

35、次充分條件知，函數(shù)有唯一的微小值2，沒有極大值注 求極值的步驟： （1）找出全部可能的極值點（包括駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點）；（2）對可能的極值點，利用函數(shù)取得極值的第一或其次充分條件判定；（3）求極值 例31 設(shè)函數(shù)，求的極值解 先求出可能的極值點，再判別函數(shù)在這些點是否取得極值當(dāng)時，；當(dāng)時，由于且，可見在點不連續(xù)，所以不存在，于是有，令，即，得所以可能的極值點為和，將定義域分成三個部分區(qū)間，列表如下： 0不存在0+2由此可知在處取得微小值，微小值為，明顯，經(jīng)過點時，導(dǎo)數(shù)的符號由正號變?yōu)樨?fù)號，即點為極大值點，函數(shù)的極大值為例32 （03研）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如圖3-1所示，則有（

36、）A一個微小值點和兩個極大值點B兩個微小值點和一個極大值點C兩個微小值點和兩個極大值點D三個微小值點和一個極大值點圖31分析 由的導(dǎo)函數(shù)圖形可知導(dǎo)函數(shù)何時大于零、等于零、小于零，從而可知的單調(diào)性，進(jìn)一步可推知其極值解 選C 由圖形可看出，一階導(dǎo)數(shù)為零的點有3個，而則是導(dǎo)數(shù)不存在的點三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不全都，必為極值點，且兩個為微小值點，一個為極大值點，在左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見為極大值點，故有兩個微小值點和兩個極大值點，應(yīng)選C例33 爭辯方程在內(nèi)有幾個實根？分析 假如對函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題爭辯清楚了，則其零點也就弄明白了，爭辯方程在內(nèi)有幾個實根等價于

37、爭辯在內(nèi)有幾個零點解 設(shè)，則只需爭辯函數(shù)零點的個數(shù)由，解得列表：0由此可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且是函數(shù)的最大值，由，及，可得（1）當(dāng)，即時，函數(shù)沒有零點，故方程沒有實根（2）當(dāng)，即時，函數(shù)僅有一個零點，故方程只有惟一實根（3）當(dāng)，即時，由，知在內(nèi)至少有一個零點又在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)僅有一個零點，即方程在內(nèi)只有一個實根同理方程在內(nèi)也只有一個實根故當(dāng)時，方程恰有兩個實根例34 證明不等式：當(dāng)時， 分析 證明不等式可用拉格朗日中值定理、函數(shù)的單調(diào)性和最值及凹凸性等 證法1 （用單調(diào)性證明）令，則 ，令，則所以在內(nèi)，而，所以，從而可知，故單調(diào)削減，由此得，即 證法2 （用凹凸性證明）設(shè)，則，

38、所以的圖形是凸的又，因此，即證法3 （用最值證明）設(shè)，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知在可取到最大最小值，令，得在內(nèi)的唯一駐點，又由于，當(dāng)時，有所以在點處取得極大值因此在上的最小值必在端點處取得，這是由于在內(nèi)沒有微小值又由于，所以的最小值為零，因此，在內(nèi)必有，即證畢例35 證明：當(dāng)，時，有不等式，且等號僅當(dāng)時成立分析 將不等式兩端同除以，轉(zhuǎn)化為可以看出，左端是函數(shù)在，兩點取值的平均值，而右端是它在中點處的函數(shù)值因此，可用函數(shù)圖形的凹凸性來證明證明 設(shè)，則在內(nèi)有，從而函數(shù)的圖形是凹的故對任意，且，有成立，即成立當(dāng)時，等號明顯成立于是有，且等號僅當(dāng)時成立證畢例36 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（ ）A是的

39、極大值 B是的微小值C是曲線的拐點 D不是的極值，也不是曲線的拐點分析 要爭辯函數(shù)的極值與凹凸性，則要爭辯、的正負(fù)號解 選B由題設(shè)，可得，且由保號性知存在的某鄰域使得，即在的左、右兩側(cè)都是上凹的，故不是拐點，排解C由拉格朗日中值定理可得，其中介于與之間，由于，故，而，從而可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，由此可知是的微小值，選B例37 求內(nèi)接于且四邊平行于軸和軸的面積最大的矩形分析 首先要求出矩形面積的表達(dá)式，然后求其最大值，此時對應(yīng)的矩形即為所求解 設(shè)所求矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)為，則矩形的面積為，由，令得駐點，而當(dāng)時，；當(dāng)時，所以為的最大值點因而所求矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)為，最大矩形面

40、積為例38 描繪函數(shù)的圖形 解（1）求函數(shù)的定義域定義域為，（2）求漸近線 由于，故是一條鉛直漸近線，而由可知無水平漸近線，又由于， 且，故是斜漸近線（3）求使，為零的點及不存在的點；當(dāng)，時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，和不存在（4）列表說明圖形在每個小區(qū)間上的升、降、凹、凸，及函數(shù)的極值點，曲線的拐點，并作圖，如圖3-2所示圖32 00 0的圖形極大值拐點例39 求曲線在點處的曲率與曲率半徑 解 ，則曲率及曲率半徑分別為， 由及，得在的曲率與曲率半徑分別為，例40 曲線上曲率最大的點稱為此曲線的頂點，試求的頂點，并求在該點處的曲率半徑解 ，由曲率公式得，為求出的最大值，只要求出的最小值即可又，令，得，而

41、，所以是函數(shù)唯一的微小值點，也就是使曲線曲率最大的點，代入得，于是曲線頂點坐標(biāo)為，而曲線在該點的曲率半徑為第四章   不定積分典型例題解析例1 求下列不定積分（1） （2）分析利用冪函數(shù)的積分公式求積分時，應(yīng)當(dāng)先將被積函數(shù)中冪函數(shù)寫成負(fù)指數(shù)冪或分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式解（1）（2） 例2求 分析 將被積函數(shù)的平方開放，可化為冪函數(shù)的和解 例3求下列不定積分（1） （2）分析 （1）將被積函數(shù)拆開，用指數(shù)函數(shù)的積分公式；（2）分子分母都含有偶數(shù)次冪，將其化成一個多項式和一個真分式的和，然后即可用公式解（1）（2）例4求下列不定積分（1） （2） （3）分析依據(jù)被積函數(shù)分子、

42、分母的特點，利用常用的恒等變形，例如：分解因式、直接拆項、“加零”拆項、指數(shù)公式和三角公式等等，將被積函數(shù)分解成幾項之和即可求解解 （1） （2）（3） 例5 求下列不定積分（1） （2）（3） （4）分析 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)時，常利用一些三角恒等式，將其向基本積分公式表中有的形式轉(zhuǎn)化，這就要求讀者要牢記基本積分公式表 解 （1）（2） （3）（4） 例6求下列不定積分（1）（2）（）（3）（4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）（11）分析 這些積分都沒有現(xiàn)成的公式可套用，需要用第一類換元積分法解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） 注用第一類換

43、元積分法（湊微分法）求不定積分，一般并無規(guī)律可循，主要依靠閱歷的積累而任何一個微分運算公式都可以作為湊微分的運算途徑因此需要牢記基本積分公式，這樣湊微分才會有目標(biāo)下面給出常見的12種湊微分的積分類型（1）；（2）；（3）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（4）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（5）；適用于求形如的積分，（是自然數(shù)）（6）；適用于求形如是的積分，（是自然數(shù)）（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；例 求下列函數(shù)的不定積分：（1）（2）（3） （4）（5） （6）分析 在運用第一類換元法求以三角函數(shù)為被積函數(shù)的積分時，主要思路就是利用三角恒等式把被積函數(shù)化為熟知的積

44、分，通常會用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、積化和差公式等解（1）被積函數(shù)是奇次冪，從被積函數(shù)中分別出，并與湊成微分，再利用三角恒等式，然后即可積分（2）被積函數(shù)是偶次冪，基本方法是利用三角恒等式，降低被積函數(shù)的冪次（3）利用積化和差公式將被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式（4）利用三角恒等式及 （5）由于，所以（6）由于，所以 注利用上述方法類似可求下列積分、，請讀者自行完成例求下列不定積分：（1）（2）（3）分析 可充分利用湊微分公式：；或者換元，令解（1）（2）解法1 ,然后用公式，則解法2（3）解法1 解法2解法令，則有注在計算不定積分時，用不同的方法計算的結(jié)果形式可能不一樣，但本質(zhì)相同驗證積分結(jié)果是否正確，只要對積分的結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，若其導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)則