Bnwzqji高考數(shù)學(xué)難點突破-難點24-直線與圓錐曲線

1、七夕，古今詩人慣詠星月與悲情。吾生雖晚，世態(tài)炎涼卻已看透矣。情也成空， 且作揮手袖底風罷。是夜，窗外風雨如晦，吾獨坐陋室，聽一曲?塵緣?，合 成詩韻一首，覺放諸古今，亦獨有風韻也。乃書于紙上。畢而臥。凄然入夢。乙 酉年七月初七。-嘯之記。難點24直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生"檔次，有利于選拔的功能難點磁場橢圓的中心在坐標原點0，焦點在坐標軸上，直

2、線 y=x+1與橢圓交于P和Q，且0P丄0Q，IPQF-10，求橢圓方程案例探究例1 如以下圖，拋物線y2=4x的頂點為0，點A的坐標為5，0，傾斜角為一的直線I與線段OA相交不經(jīng)過點O或點A且交拋物線4于M、N兩點，求 AMN面積最大時直線I的方程，并求 AMN的最大面積命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題此題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法一一“韋達定理法屬級題目知識依托：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想錯解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍不等式法求最值忽略了適用的條件技巧與方法：涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利

3、用韋達定理設(shè)而不求計算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理，設(shè)而不求簡化運算解：由題意，可設(shè)I的方程為y=x+m, 5 v mv 0.y x mcc由方程組 2，消去y,得x2+(2m 4)x+m2=0y 4x直線I與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式 A =(2m 4)2 4m2=i6(1 m)> 0, 解得mv 1,又一5v mv 0, m的范圍為(一5，0)設(shè) M(xi,yi),N(x2,y2)貝y xi+x2=4 2m，xi X2=m2,|MN|=4 2(1 m).點A到直線l的距離為d=dj.彳2S=2(5+m) J1 m ,從而 Sa2=4(1 m)(5+m)22 2

4、m 5 m 5 m、3 =2(2 2m) (5+m)(5+m)w 2()3=128.3 S< 8 2 ,當且僅當2 2m=5+m,即m= 1時取等號.故直線I的方程為y=x 1, AMN的最大面積為8 2.例2雙曲線 C: 2x2 y2=2與點p(i, 2)(1) 求過P(1, 2)點的直線I的斜率取值范圍，使I與C分別有一個交點，兩個交點，沒 有交點(2) 假設(shè)Q(1 , 1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在命題意圖：第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法一一“差分法，屬級題目知識依托：二次方程根的個數(shù)的判定、兩點連線的斜率公

5、式、中點坐標公式錯解分析：第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論第二問，算得以Q為中點弦的斜率為 2,就認為所求直線存在了 技巧與方法：涉及弦長的中點問題，常用“差分法設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化解：(1)當直線I的斜率不存在時，I的方程為x=1,與曲線C有一個交點當I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為y 2=k(x 1),代入C的方程，并整理得(2 k2)x2+2(k2 2k)x k2+4k 6=0(*)(i )當2 k2=0,即k= ± 2時，方程(*)有一個根，I與C有一個交點(ii )當 2 k2z 0,即 kz 土 2 時A = :

6、2(k2 2k) 2 4(2 k2)( k2+4k 6)=16(3 2k) 當A =0,即3 2k=0,k= 3時，方程(*)有一個實根，I與C有一個交點2 當A > 0,即kv 3 ,又kz± 2，故當kv 2或一 2 v kv 2或 2 v kv -時，方2 2程(*)有兩不等實根，I與C有兩個交點 當Av 0, 即卩k> 3時，方程(*)無解，|與C無交點.2綜上知：當k= ±2 ,或k= 3，或k不存在時，I與C只有一個交點；2當 2 v kv 3,或2 v kv - 2，或 kv 2時，I與C有兩個交點；2當k > -時，I與C沒有交點2假設(shè)以Q

7、為中點的弦存在，設(shè)為 AB,且A(X1,y1),B(X2,y2)，那么2x12 y，=2,2x22 y22=2 兩式相減得：2(X1 X2)(X1+X2)=( y1 y2)(y1+y2)又t X1+x2=2,y1+y2=2 2(X1 X2)=y1 y1即 kAB= 1X1y2=2X2但漸近線斜率為土. 2，結(jié)合圖形知直線 AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在例3如圖，某橢圓的焦點是Fi( 4, 0)、F2(4, 0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|FiB|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A(xi,yi),C(X2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B

8、|、|F2C|成等差數(shù)列(1) 求該弦橢圓的方程；求弦AC中點的橫坐標；設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍命題意圖：此題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等根本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強，屬級題目知識依托：橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法25錯解分析：第三問在表達出“k=yo時，忽略了“ k=0時的情況，理不清題目中變36量間的關(guān)系技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用 m表示出弦AC的中點P的縱坐標yo利用yo的范圍求m的范圍解：(1)由橢

9、圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=】a2 c2 =3.2 2故橢圓方程為1=1.2599254(2) 由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因為橢圓右準線方程為 x=，離心率為，根5據(jù)橢圓定義，有 |F2A|= ( Xi),|F2C|= ( X2),5 454由|F2A|、|F2B|、|F2C成等差數(shù)列，得4 254 259( xi)+ ( x2)=2 X ,由此得出：X什X2=8.5 45 45設(shè)弦AC的中點為P(X0,y0),那么 X0= 2_雖=42(3) 解法一：由 A(xi,yi),C(x2,y2)在橢圓上2 2得 9x1

10、 25y 1 9 259X22 25y229 25一得 9(xi2 x22)+25(yi2 y22)=0,即9 "寧25寧出=。心x2將 Xi X22Xo4上Y22yo,yXiy2X211-(k工 0)代入上式，得 9 X 4+25yo( )=0 kk(心0)即k= 25 yo當k=0時也成立.yo=4k+m，所以2516m=yo 4k=yoyo=yo.9936由點P4, yo在弦AC的垂直平分線上，得9916由點P4, yo在線段BB' B '與B關(guān)于x軸對稱的內(nèi)部，得一上v yov，所以一<55516mv .5解法二：因為弦 AC的中點為P4,yo，所以直線

11、AC的方程為1 亠 y yo= x 4kz 0k2 2將代入橢圓方程X 仝=1,得2599k2+25 X2 5okyo+4x+25kyo+42 25 X 9k2=o所以x什X2= 5°丫 4 =8,解得k= 25 yo.當 k=0時也成立 9k22536以下同解法一.錦囊妙計1直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法設(shè)而不求計算弦長即 應(yīng)用弦長公式；涉及弦長的中點問題，常用“差分法設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、 弦的

12、中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題x2.斜率為1的直線I與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，那么AB|的最大值為4( )4 詣4/1010A.2B.C.D.-555?.()拋物線y=ax2與直線y=kx+b(kz 0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別 為X1 ,X2,直線與X軸交點的橫坐標是 X3,那么恒有()A. X3=X1 + X2B.X1X2=X1X3+X2X3C.X1+X2+X3=0D.X1X2+X2X3+X3X1=0二、填空題553.( )兩點M(1 , 5)、N( 4,-)，給出以下曲線方程

13、：4x+2y仁0,442 2 x2+y2=3,X- +y2=i,X_ y2=i,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是)正方形 ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線 y2=x上， 那么正方形ABCD的面積為.5. ( )在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是.三、解答題6. ( )拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線I與該拋物線 交于不同的兩點 A、B，且|AB|W 2p.(1)求a的取值范圍.(2)假設(shè)線段AB的垂直平分線交x軸于點，求厶NAB面積的最大值的雙曲線過點?.()中心在原點，頂

14、點Ai、A2在x軸上，離心率 e=P(6, 6).(1)求雙曲線方程動直線I經(jīng)過 A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線I,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論.&)雙曲線 C的兩條漸近線都過原點，且都以點A . 2 , 0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.設(shè)直線I過點A,斜率為k,當0 v kv 1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為2，試求k的值及此時B點的坐標.參考答案難點磁場解：設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(m> 0,n > 0),P(X1,y1),Q(x2,y2

15、)y x 1由得(m+n)x2+2 nx+n仁0,mx ny 1A =4n2 4(m+ n)(n 1)>0,即 m+nmn>0, 由OP 丄 OQ,所以 X1X2+y1y2=0,即 2x1X2+(x1+X2)+1=0,+1=0, / m+n=22(n1) 2n2將m+ n=2,代入得由、式得故橢圓方程為3 m n= _41 3十 m=_, n=或2 22x231m= _, n=_2 2+ 3 y2=1 或 3 x2+ 1 y2=1.2殲滅難點訓(xùn)練、1解析：弦長|AB|= 2答案：C2解析：解方程組2y axy kxb,得ax2 kx b=0,可知 X1+x2= ,X1X2= ,x3

16、=，代入驗aa k證即可.答案：B二、3解析：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷 MN的垂直平分線于所給曲線是否 存在交點答案：4解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用 |CD|的長等于兩平行直線 y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長答案：18或505解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點 A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y*=16x2,兩式相減得，(y1+y2(y1 y2)=16(x1 X2).即ab=8.捲 X2y1 y2故所求直線方程為 y=8x 15.答案：

17、8x y 15=0三、6.解：(1)設(shè)直線I的方程為：y=x a,代入拋物線方程得(x a)2=2px,即x2 22(a+p)x+a =0|AB|= 2. 4(a p)2 4a2 w 2p. 4ap+2p2w p2,即 4ap< p2又 T p> 0, aw P4 *(2)設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2), AB 的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1 a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p,X1 X2y1 y2 X1 X2 2a那么有 x=a p,y=p.2 2 2線段AB的垂直平分線的方程為y p= (x a p),從而N點坐標為(a+2p,0點N到AB的距離為

18、|a 2p a| 2p從而 Sanab= * 24(a p)2 4a22p 2p 2ap p2當a有最大值p時，S有最大值為4.2p2.7解：如圖，設(shè)雙曲線方程為2r22 =1.由得 2bab1,e22 ,2a b2a21亍解得 a2=9,b2=12.2所以所求雙曲線方程為9(2)P、A1、A2的坐標依次為I其重心G的坐標為(2, 2假設(shè)存在直線0)、(-3, 0,乞=1.12(6,6)、(3,I，使G(2, 2)平分線段MN，設(shè) M(xi,yi), N(X2,y2).那么有12x/12 x22X1X2小 29y129y24108108力212X1 X29y1y2 I的方程為4y= (x 2)+2,32 212x2 9y2108由 4，消去y,整理得y尹2)x2 4x+28=0./ A =16 4X 28V 0, 所求直線I不存在.8.解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為 y=kx，由d= 2k | =1,解得k=± 1. Vk2 1即漸近線為y= ± x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標