電磁場(chǎng)與電磁波第一章

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用正交坐標(biāo)系三種常用正交坐標(biāo)系1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng) 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定拉普拉斯運(yùn)算與格林定理理 1. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。一個(gè)只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個(gè)既有大

2、小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 zzyyxxeAeAeAAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeee矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示zAxAAyAzxy（1）矢量的加減法）矢量的加減

3、法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABAB

4、AABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA

5、)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。確定。1.21.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體

6、系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。1、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xez

7、eyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd2、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線

8、元、面元和體積元, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量4、坐標(biāo)單位矢量之間、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001 直角坐直角坐標(biāo)標(biāo)與與 圓柱坐圓柱坐標(biāo)系標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001 圓柱坐圓柱坐標(biāo)標(biāo)與與 球坐標(biāo)球坐標(biāo)系系z(mì)ereeecossincossinsincos0 直角坐直角坐標(biāo)標(biāo)與與 球坐標(biāo)球坐標(biāo)系系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐

9、標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。

10、時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、),(tzyxu),(tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值線標(biāo)量場(chǎng)的等值線( (面面) )等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成

11、的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。2. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。coscoscoslim|00zuyuxulululM概念

12、概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系 ureurerueursin11球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx直角

13、面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 3、標(biāo)量場(chǎng)的梯度、標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度

14、的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面） 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；單位矢量； (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量 el= ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向

15、的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。 解解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為(1,1,1)(22)22xyzxyzxyeeeeee22()()xyzPPxyzyxze+e+e表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為211(22) ()22

16、2122lxyzxyzeexeyeeeelxy 對(duì)于給定的對(duì)于給定的P P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為(1,1,1)1221222Pxyl而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1、矢量線、矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyx

17、FzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。矢量線矢量線oM Fdrrrdr2、矢量場(chǎng)的通量、矢量場(chǎng)的通量 問題問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。咳绾味棵枋鍪噶繄?chǎng)的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲

18、面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量0通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物

19、理意義3、矢量場(chǎng)的散度、矢量場(chǎng)的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的稱為矢量場(chǎng)的散度散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin

20、1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后

21、兩側(cè)面的凈通量值為通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算FzzxyP 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則dyxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 0d limySxzVFSFFFFVxyz根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為4、散度定理、散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的

22、剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場(chǎng)例如：流速場(chǎng) 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存

23、在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：流成正比，即：SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量

24、場(chǎng)為無無旋場(chǎng)旋場(chǎng)，又稱為，又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。磁場(chǎng)的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲

25、線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0時(shí)，極限時(shí)，極限01rotlimdCnSFFlS稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。量場(chǎng)的旋度。 SCMFn特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向n有關(guān)。有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度、矢量場(chǎng)的旋度（ ） F （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度123412341234dddddCllllyzyzFlF

26、lFlFlFlFyFzFyFz 12yyyMFzFFMz而而 22zzzMFyFFMy推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計(jì)算計(jì)算 的示意圖的示意圖 rotxF32yyyMFzFFMz42zzzMFyFFMy 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式的表達(dá)式rotxFrotyFrotzFd()yzCFFF ly zyz 于是于是 同理可得同理可得rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxy0drotlimyCzxSF lFFFSyz 故得故得概念概念：矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面點(diǎn)的環(huán)流面

27、 密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法 線方向，即線方向，即nMaxrotnFeF物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。nrot FnF性質(zhì)性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度）矢量場(chǎng)的旋度zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFG

28、GFFGFu 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即4、散度和

29、旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF1、矢量場(chǎng)的源、矢量場(chǎng)的源散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的

30、閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)2、矢量場(chǎng)按源的分類、矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)）無旋場(chǎng)0dClF性質(zhì)性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，0F無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EEuF()0Fu 一個(gè)無任何環(huán)流量的矢量場(chǎng)，沿閉合路徑的環(huán)流一個(gè)無任何環(huán)流量的矢量場(chǎng)，沿閉合路徑的環(huán)流等于等于0

31、0。例如靜電場(chǎng)，重力場(chǎng)。例如靜電場(chǎng)，重力場(chǎng)。 我們可以得到無旋場(chǎng)的另一個(gè)定義：一個(gè)矢量場(chǎng)我們可以得到無旋場(chǎng)的另一個(gè)定義：一個(gè)矢量場(chǎng), ,任意閉合路徑上的環(huán)流量為任意閉合路徑上的環(huán)流量為0 0，稱為無旋場(chǎng)。，稱為無旋場(chǎng)。而對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)而對(duì)于標(biāo)量場(chǎng) u u 而言，它的梯度而言，它的梯度 u u 是一個(gè)矢量場(chǎng)。梯是一個(gè)矢量場(chǎng)。梯度的旋度為度的旋度為0 0。0)()(ugradu而根據(jù)斯托克斯定理，無旋場(chǎng)而根據(jù)斯托克斯定理，無旋場(chǎng) A A 的曲線積分只與起點(diǎn)的曲線積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)。和終點(diǎn)位置有關(guān)。)()(),(QuPudlludludlzyxQPQPQPACdluQudluQudlzyxPuQ

32、PQPQP)()(),()(A上式證明，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以由它的梯度完全決定。上式證明，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以由它的梯度完全決定。 當(dāng)矢量場(chǎng)是無旋場(chǎng)時(shí)，則稱這矢量場(chǎng)具有保守性，而當(dāng)矢量場(chǎng)是無旋場(chǎng)時(shí)，則稱這矢量場(chǎng)具有保守性，而相應(yīng)的標(biāo)量場(chǎng)稱為位場(chǎng)或勢(shì)場(chǎng)，重力場(chǎng)就是具有保守性的相應(yīng)的標(biāo)量場(chǎng)稱為位場(chǎng)或勢(shì)場(chǎng)，重力場(chǎng)就是具有保守性的矢量場(chǎng)，相應(yīng)的標(biāo)量場(chǎng)則是我們所說的勢(shì)能。矢量場(chǎng)，相應(yīng)的標(biāo)量場(chǎng)則是我們所說的勢(shì)能。（2）無散場(chǎng)）無散場(chǎng) 僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即，即性質(zhì)性質(zhì)：0dSSF0 F無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)例如，恒定磁場(chǎng)

33、AB0BAF()0FA （3 3）無旋、無散場(chǎng)）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4 4）有散、有旋場(chǎng)）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 無旋場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分()0u Fu 02 u0F 1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1、拉普拉斯運(yùn)算、拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算2u概念概念：2()uu 2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系計(jì)算

34、公式計(jì)算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 矢量拉普拉斯運(yùn)算矢量拉普拉斯運(yùn)算2F概念概念：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對(duì)于非直角分量，對(duì)于非直角分量，22()iiFF 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(, , )ix y z2. 格林定理格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及 滿

35、足下列等式。滿足下列等式。 SVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為標(biāo)為標(biāo)量場(chǎng)量場(chǎng) 在在 S 表面的外法線表面的外法線 en 方向上方向上的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。n2 ()d() dVSVS 以上兩式稱為以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。SV , ne22 ()d()dVSVSnn22 ()ddVSVS 基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界中的場(chǎng)與邊

36、界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟弦虼?，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。場(chǎng)的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。格林定理廣泛地用于電磁理論。亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理: : 若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，

37、源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為表示為 )()()(rArurF式中：式中：VrrrFruVd)(41)(VVrrrFrAd)(41)( 亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理有界區(qū)域有界區(qū)域SVrrSrFVrrrFrud)(41 d)(41)(SVrrSrFVrrrFrAd)(41d)(41)( 在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋

38、度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。可以表示為一個(gè)無旋場(chǎng)分量與一個(gè)無散件惟一地確定?？梢员硎緸橐粋€(gè)無旋場(chǎng)分量與一個(gè)無散場(chǎng)分量之和。場(chǎng)分量之和。SlAAA其中，其中， 是無旋場(chǎng)，散度不為零。是無旋場(chǎng)，散度不為零。 是無散場(chǎng)，是無散場(chǎng)，旋度不為零。旋度不為零。lASAlSlAAAA)(JAAAASSl)(其中，其中， 是電荷密度。是電荷密度。 是電流密度。是電流密度。J已知已知矢量矢量A A的通量源密度的

39、通量源密度矢量矢量A A的旋度源密度的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件),(),(zyxzyxdivAA),(),(zyxzyxrotAA在電磁場(chǎng)中在電磁場(chǎng)中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J J場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件（矢量惟一地確定）（矢量惟一地確定）亥姆霍茲定理的意義：是研究電磁場(chǎng)亥姆霍茲定理的意義：是研究電磁場(chǎng)的一條主線。的一條主線。 另一種表達(dá)式，任意矢量場(chǎng)都可以有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)另一種表達(dá)式，任意矢量場(chǎng)都可以有一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。對(duì)于一個(gè)無旋場(chǎng)：對(duì)于一個(gè)無旋場(chǎng)：對(duì)于一個(gè)無散場(chǎng)：對(duì)于一個(gè)無散場(chǎng)：那么那么 前式可以改寫為：前式可以改寫為：SlAAAulABASBAu小結(jié)小結(jié) 標(biāo)量只有大小，時(shí)間及位置 矢量有大小，時(shí)間，位置以及方向。矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的散度散度：通量只是一個(gè)大范圍上的量。為了研究某一點(diǎn)的性質(zhì)，把：通量只是一個(gè)大范圍上的量。為了研究某一點(diǎn)的性質(zhì)，把包含該點(diǎn)的閉合面收縮，包含該點(diǎn)的閉合面收縮，體積元體積元取極限。它也是一個(gè)取極限。它也是一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量。定義為：。定義為：散度與所取體積元形狀無關(guān)，因?yàn)橛?jì)算散度是在取極限，所有尺寸趨于零散度與所取體積元形狀無關(guān)，因?yàn)橛?jì)算散度是在取極限，所有尺寸趨于零即可。即可。因?yàn)槭求w積元取極限，只有正負(fù)，而沒方向。因?yàn)槭求w積元取極限，只有正負(fù)，而沒方