信號與系統(tǒng) 課件 奧本海姆 第二章

1、第第2章章 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)Linear Time-Invariant Systems LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： LTI系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的時域分析卷積積分與卷積和。卷積積分與卷積和。 LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。 奇異函數(shù)。奇異函數(shù)。 信號的時域分解信號的時域分解用用 表示離散時間信號；表示離散時間信號；用用 表示連續(xù)時間信號。表示連續(xù)時間信號。( ) t( )n2.0 引言引言 ( Introduction )基本思想：基本思想：如果能把任意輸入信號分解成基本信號如果能把任意輸入信號分解成基

2、本信號的線性組合，那么只要得到了的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對基本信系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。號的響應(yīng)的線性組合。 由于由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的時不變性的特點，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。理論與方法奠定了基礎(chǔ)。問題的實質(zhì)：問題的實質(zhì)：1. 研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成研究信號的分解：即以什么樣

3、的信號作為構(gòu)成任任 意信號的基本信號單元，如何用基本信號單意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號；元的線性組合來構(gòu)成任意信號；2. 如何得到如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。 作為基本單元的信號應(yīng)滿足以下要求：作為基本單元的信號應(yīng)滿足以下要求：1. 本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號；（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號；2. LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。如果解決了信號分解的問題，即：若有如果解決了信號分解的問題，即：若有( )(

4、 )iiix ta x t( )( )iix ty t則則( )( )iiiy ta y t 將信號分解可以在時域進(jìn)行，也可以在頻域或變將信號分解可以在時域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對LTI系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的時域分析法、頻域分析法和變換域分析法。法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法分析方法：2.1 離散時間離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和系統(tǒng)：卷積和 離散時間信號中離散時間信號中, ,最簡單的是最簡單的是 , ,我們已經(jīng)看到我們已經(jīng)看到可以由它的線性組合構(gòu)成可以由它的線性組合構(gòu)成 ，即：，即：( )n( )u n0( )( )()nkku nknk一

5、一. . 用單位脈沖表示離散時間信號用單位脈沖表示離散時間信號 對任何離散時間信號對任何離散時間信號 , ,如果每次從其中取出如果每次從其中取出一個點，就可以將信號拆開來，每次取出的一個點一個點，就可以將信號拆開來，每次取出的一個點都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。 ( )x n（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）二二. . 卷積和卷積和（Convolution sum） 于是有于是有：( )( ) ()kx nx knk表明：表明：任何信號任何信號 都可以被分解成移位加權(quán)的都可以被分解

6、成移位加權(quán)的單位脈沖信號的線性組合。單位脈沖信號的線性組合。( )x n 如果一個線性系統(tǒng)對如果一個線性系統(tǒng)對 的響應(yīng)是的響應(yīng)是 ，由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入 的響應(yīng)為：的響應(yīng)為：()n k( )kh n( )x n( )( )( )kky nx k h n若系統(tǒng)具有時不變性，即若系統(tǒng)具有時不變性，即：( )( )nh n若若 ，則則()()nkh nk因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對系統(tǒng)對 的響應(yīng)的響應(yīng)( )n( )h n單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)( ( impulse response ) )，就可以得到就可以得到LTI系統(tǒng)對任何輸入信號系統(tǒng)對任何輸

7、入信號 的響應(yīng)：的響應(yīng)：( )x n( )( ) ()( )( )ky nx k h nkx nh n 這表明：這表明：一個一個LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷卷積和（積和（The convolution sum）。三三. . 卷積和的計算卷積和的計算計算方法計算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。運算過程運算過程： 將一個信號將一個信號 不動不動，另一個信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后成另一個信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為為 , ,再隨參變量再隨參變量 移位。在

8、每個移位。在每個 值的情況值的情況下，將下，將 與與 對應(yīng)點相乘，再把乘積的對應(yīng)點相乘，再把乘積的各點值累加各點值累加，即即得到得到 時刻的時刻的 。( )x k()hknn( )x k()h nkn( )y n例例1： ( )( )nx nu n01( )( )h nu n10( )( )( )( ) ()( ) ()1( )1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k( )( )kx ku k.01nk()()h nku nk例例2： 104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise0n6n 014( )x kkk()n

9、 kh nk 時時，0n ( )0y n 時時，04n00(1)11( )1111nnn knkkknnny n 時時，46n5410411( )11n knknny n 時時，610n4746( )1nn kk ny n 時，時，10n ( )0y n 通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。很有用的。 例例3. 列表法列表法分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點：分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點： 與與 的的所有各點都要遍乘一次；所有各點都要遍乘一

10、次； ( )x n( )h n( ) ()kx k h nk 在遍乘后，各點相加時，根據(jù)在遍乘后，各點相加時，根據(jù) ，參與相加的各點都具有參與相加的各點都具有 與與 的宗量之的宗量之和為和為 的特點。的特點。 ( )x k()h nkn10211021204200003063102112031( )h n( )x n(0)x(1)x(2)x(3)x( 1)h (0)h(1)h(2)h(3)h( 1)y (0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y優(yōu)點：優(yōu)點：缺點缺點：計算非常簡單。計算非常簡單。只適用于兩個有限長序列的卷積和；只適用于兩個有限長序列的卷積和；一般情況下，無法寫出一般

11、情況下，無法寫出 的封閉表達(dá)式。的封閉表達(dá)式。( )y n（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）一一. . 用沖激信號表示連續(xù)時間信號用沖激信號表示連續(xù)時間信號0( )( )()tu tdtd 與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號號應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：關(guān)系： 對一般信號對一般信號 ，可以將其分成很多，可以將其分成很多 寬

12、度的區(qū)寬度的區(qū)段，用一個階梯信號段，用一個階梯信號 近似表示近似表示 。當(dāng)。當(dāng) 時時，有有( )x t( )x t0( )( )xtx t( )x t2.2 連續(xù)時間連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分引用引用 ，即：，即：( ) t1/0( )0ttotherwise 則有則有：10( )0ttotherwise ( )x t0k (1)k t()x k( )xt 第第 個矩形可表示為：個矩形可表示為： 這些矩形疊加起來就成為階梯形信號這些矩形疊加起來就成為階梯形信號 ， 即：即：k()()x ktk ( )xt( )()()kxtx ktk 表明：表明：任何連續(xù)時間信號任何連續(xù)時間信

13、號 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。加權(quán)的單位沖激信號的線性組合。 ( )x t( )( ) ()x txtd 于是：于是：當(dāng)當(dāng) 時，時，0 k ()()tkt d ( )( )x tx t二二. . 卷積積分卷積積分（The convolution integral） 與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個線性系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個線性系統(tǒng)對對 的響應(yīng)為的響應(yīng)為 ，則該系統(tǒng)對，則該系統(tǒng)對 的響應(yīng)可的響應(yīng)可表示為：表示為：()t( )h t( )x t( )( )( )y txh t d 表明表明: :LTI系統(tǒng)可以完全由它的系統(tǒng)可以完全由它的單位

14、沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng) 來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運算關(guān)系稱為卷積積卷積積分分（The convolution integral）。( )h t( )( )th t()()th t( )x t( )( ) ()( )( )y txh tdx th t 若系統(tǒng)是時不變的，即：若若系統(tǒng)是時不變的，即：若 ，則有，則有: : 于是系統(tǒng)對任意輸入于是系統(tǒng)對任意輸入 的響應(yīng)的響應(yīng)可表示為：可表示為：三三. . 卷積積分的計算卷積積分的計算 卷積積分的計算與卷積和很類似，也有圖解法、卷積積分的計算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。解析法和數(shù)值解法。 運算過程

15、的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，運算過程的實質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中，一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量一個不動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動。對每一移動。對每一個個 的值，將的值，將 和和 對應(yīng)相乘，再計算相對應(yīng)相乘，再計算相乘后曲線所包圍的面積。乘后曲線所包圍的面積。 通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。用的。tt( )x()h t0( )( )( )( ) ()( ) ()1(1) ( )ataaty tx th txh teuu tdedeu tat01()u t01( )x例例1: : ( )( ),0atx teu ta( )(

16、 )h tu t例例2 : : 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd02T2T( )h()x t01tTt 當(dāng)當(dāng) 時，時，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時，時，0tT 201( )2ty tdt 當(dāng)當(dāng) 時，時，2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時，時，23T tT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 當(dāng)當(dāng) 時，時，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )y t2.3 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)（ Proper

17、ties of Linear Time-Invariant Systems）( )( )( )( ) ()() ( )( )( )kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一. . 卷積積分與卷積和的性質(zhì)卷積積分與卷積和的性質(zhì)1. 交換律：交換律：( )( )( )( ) ()() ( )( )( )y tx th txh tdx thdh tx t結(jié)論：結(jié)論： 一個單位沖激響應(yīng)是一個單位沖激響應(yīng)是 的的LTI系統(tǒng)對輸入系統(tǒng)對輸入信號信號 所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個單位沖激響應(yīng)是是 的的LTI系統(tǒng)對輸入信號系統(tǒng)對輸入信號 所產(chǎn)生的響應(yīng)所產(chǎn)生的

18、響應(yīng)相同。相同。( )h t( )x t( )h t( )x t( )x t( )y t( )h t( )x n( )y n( )h n( )h t( )y t( )x t( )h n( )x n( )y n( )x n12( )( )h nh n12( )( ) ( )( )y nx nh nh n( )x t12( )( )h th t12( )( ) ( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n1( )( )x nh n2( )( )x nh n( )y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t2. 分配律：分配律：12121212( ) (

19、 )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t結(jié)論：結(jié)論：兩個兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖( (沖激沖激) )響響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖( (沖激沖激) )響應(yīng)之和。響應(yīng)之和。3. 結(jié)合律結(jié)合律: :12121212 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t1( )( )x th

20、t12( ) ( )( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n12( ) ( )( )( )y nx nh nh n12( )( )h th t( )x t( )x n12( )( ) ( )( )y tx th th t12( )( ) ( )( )y nx nh nh n12( )( )h nh n 兩個兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的單位沖激( (脈沖脈沖) )響響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激( (脈沖脈沖) )響應(yīng)的卷積。響應(yīng)的卷積。 由于卷積運算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后由于卷積運算滿足交換律，因此，系

21、統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。次序可以調(diào)換。結(jié)論：結(jié)論：12211221( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x n( )y n1( )h n2( )hn( )x t( )y t1( )h t2( )h t( )x n( )y n2( )h n1( )h n( )x t( )y t1( )h t2( )h t產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：系統(tǒng)必須是系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；系統(tǒng)；所有涉及到的卷積運算必須收斂。所有涉及到的卷積運算必須收斂。如如：( )x t平方平方乘乘22(

22、 )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4 ( )y tx t若交換級聯(lián)次序，即成為：若交換級聯(lián)次序，即成為： 又如：若又如：若 ，雖然系統(tǒng)雖然系統(tǒng)都是都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)。當(dāng) 時，如果交換時，如果交換級聯(lián)次序，則由于級聯(lián)次序，則由于 不收斂，因而也是不不收斂，因而也是不允許的。允許的。12( )( )(1),( )( )h nnnh nu n( )1x n ( )( )x nu n( )1x n 1( )h n2( )hn0( )0y n 顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是顯然與原來是不等價的。因為系統(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。4. 卷積運算還有如下性質(zhì)：卷積運算還有如下性質(zhì)

23、：若若 ，則，則( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt卷積積分滿足微分、積分及時移特性：卷積積分滿足微分、積分及時移特性：( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )tttx th tx th ty txdh tx thdyd若若 ，則，則 若若 ，則，則( )( )( )x nh ny n000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn卷積和滿足差分、求和及時移特性：卷積和滿足差分、求和及時移特性：恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)

24、可以簡化卷積的計算：( )( )( )x nh ny n( )( )( ) ( )( )nnnkkkx kh nx nh ky k 若若 ，則，則 ( )(1)( )( )( )(1)( )(1)x nx nh nx nh nh ny ny n將將 微分一次有微分一次有: :( )x t( )( )()x tttT( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根據(jù)微分特性有根據(jù)微分特性有: :02T2Tt( )h tT2TT2T( )y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t(

25、 )y t( )( )ty tyd利用積分特性即可得利用積分特性即可得: :二二. .LTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)1. 記憶性：記憶性： LTI 系統(tǒng)可以由它的單位沖激系統(tǒng)可以由它的單位沖激/ /脈沖響應(yīng)來表征，脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激都應(yīng)在其單位沖激/ /脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。( )( ) ()ky nx k h nk則在任何時刻則在任何時刻 ， 都只能和都只能和 時刻的輸入有關(guān)，時刻的輸入有關(guān)，和式中只能有和式中只能有 時的一項為非零，因此必須有：時的一項為非零，因此必須有： 根

26、據(jù)根據(jù) ，如果系統(tǒng)是無記憶的，如果系統(tǒng)是無記憶的，n( )y nnkn()0,h nkkn即：即：( )0,0h nn所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：沖激響應(yīng)為：( )( )( )( )h nknh tkt 如果如果LTI系統(tǒng)的單位沖激系統(tǒng)的單位沖激/ /脈沖響應(yīng)不滿足上述要脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是求，則系統(tǒng)是記憶的記憶的。2. 可逆性：可逆性： 如果如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個恒等系統(tǒng)。統(tǒng)。( )( )( )( )

27、( )( )x nh nkx nx th tkx t當(dāng)當(dāng) 時系統(tǒng)是時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)恒等系統(tǒng)。1k 此時，此時，( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有：( )( )( )( )( )( )h tg tth ng nn例如：例如：延時器是可逆的延時器是可逆的LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)， ，其逆系統(tǒng)是其逆系統(tǒng)是 ，顯然有：，顯然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，其逆，其逆系統(tǒng)是系統(tǒng)是 ，顯然也有：，顯然也有：( )( )h nu n( )( )(1)g nnn( )

28、( )( ) ( )(1)( )(1)( )h ng nu nnnu nu nn3. 因果性：因果性： 由由 ，當(dāng)，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時，時，在任何時刻在任何時刻 ，都只能取決于，都只能取決于 時刻及其時刻及其以前的輸入，即和式中所有以前的輸入，即和式中所有 的項都必須為零，的項都必須為零，即：即：( )( ) ()ky nx k h nkn( )y nnkn()0,h nkkn( )0,0h nn或或: 對連續(xù)時間系統(tǒng)有對連續(xù)時間系統(tǒng)有: :這是這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。( )0,0h tt但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。但

29、差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由 ，若若 有界，則有界，則 ; ;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要 求求 必有界，由必有界，由( )( ) ()ky nh k x nk( )x n()x nkA( )y n( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，必須有可知，必須有:( )nh n 對連續(xù)時間系統(tǒng)，相應(yīng)有對連續(xù)時間系統(tǒng)，相應(yīng)有: ( )h t dt 這是這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：5. LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 在工程實際中，也

30、常用單位階躍響應(yīng)來描述在工程實際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對 或或 所產(chǎn)生所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有的響應(yīng)。因此有: :( )u t( )u n( )( )( )( )( )( )s tu th ts nu nh n( )( )( )( )tds thdh ts tdtLTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。 ( )( )( )( )(1)nks nh kh ns ns n2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 在工程實際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模

31、型在工程實際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分分方程方程或差分方程?；虿罘址匠獭?一一. .線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation ）00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均為常數(shù)均為常數(shù)( Causal LTI Systems Described by Different

32、ial and Difference Equations ) 求解該微分方程，通常是求出求解該微分方程，通常是求出通解通解 和和一個特一個特解解 ，則，則 。特解。特解 是與輸是與輸入入 同類型的函數(shù)，通解同類型的函數(shù)，通解 是齊次方程的解，是齊次方程的解，即即 的解。的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個特征方程：次方程建立一個特征方程： 求出其特求出其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解的形式為：式為：( )pyt( )hy t( )( )( )phy tyty t( )pyt( )x t( )hy t0( )0k

33、Nkkkd y tadt00Nkkka1( ),kNthkky tC e其中其中 是待定的常數(shù)。是待定的常數(shù)。kC 要確定系數(shù)要確定系數(shù) ，需要有一組條件，暫且稱為，需要有一組條件，暫且稱為附附加條件加條件。僅僅從確定待定系數(shù)。僅僅從確定待定系數(shù) 的角度來看，這一的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。給出附加條件的時刻都可以是任意的。 當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)零輸入系統(tǒng)零輸入零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒有輸零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在

34、沒有輸入，即入，即 時，時， 。此時，微分方程就蛻。此時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的次解必須為零，這就要求所有的 都為零。都為零。kCkC( )0 x t kC( )0y t 可以證明：當(dāng)這組可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號加入的時刻零附加條件在信號加入的時刻給出時，給出時，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不果的和時不變的。變的。 也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的附加條件的值必須全部為零值必須全部為零，因此

35、，因此， LCCDE具有一組零附加具有一組零附加條件時，才能描述線性系統(tǒng)。條件時，才能描述線性系統(tǒng)。 在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為零初始零初始條件條件。結(jié)論：結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述具有一組全部為零的初始條件可以描述一個一個因果因果的的LTI系統(tǒng)。這組條件是：系統(tǒng)。這組條件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L如果一個因果的如果一個因果的LTI系統(tǒng)由系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的初始是靜止的或或最初最初是松弛的。是松弛的。如果如果LCCD

36、E具有一組具有一組不全為零的初始條件不全為零的初始條件，則可，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的增量線性的。二二. . 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特特解解 和通解，即齊次解和通解，即齊次解 來進(jìn)行，其過程與解來進(jìn)行，其過程與解微分方程類似。微分方程類似。00()()NMkkkka y nkb x nk( )p

37、yn( )hy n 要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加附加條件條件。同樣地，。同樣地，當(dāng)當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始具有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的。對于差分方程，還可以將其改寫為：對于差分方程，還可以將其改寫為：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka( )x n( 1), ( 2), ()yyyNL L(0)y 可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不僅要知道所有的，不僅要知道所有的 ，還要知道還要知道 ，這就是一組，這就是一組初始條初始條件

38、件，由此可以得出，由此可以得出 。進(jìn)一步，又可以通過。進(jìn)一步，又可以通過 和和 求得求得 , ,依次類推可求出依次類推可求出所有所有 時的解。時的解。(0)y(0)y( 1), ( 2), (1)yyyNL L(1)y0n 若將差分方程改寫為：若將差分方程改寫為：1001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka 則可由則可由 求得求得 ，進(jìn)而由，進(jìn)而由 可求得可求得 ，依次可推出，依次可推出 時的解。時的解。 由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程遞歸方程（recursive equation）。）。(1), (2),

39、()yyy N(0),y(0)y(1), (2), (1)yyy N ( 1)y 0n 當(dāng)當(dāng) 時，差分方程變?yōu)椋簳r，差分方程變?yōu)椋?,0kak00( )()Mkkby nx nka 此時此時, ,解方程不再需要迭代運算，因而稱為解方程不再需要迭代運算，因而稱為非遞非遞歸方程歸方程（nonrecursive equation）。）。顯然，此時方顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，其中程就是一個卷積和的形式，其中 此時，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)此時，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 是有限長的是有限長的, ,因而因而把這種方程描述的把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為FIR（Finite Impulse Respons

40、e）系統(tǒng)系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為稱為IIR（Infinite Impulse Response）系統(tǒng)系統(tǒng), ,此時系此時系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的序列。統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的序列。0( ),0nbh nnMa( )h n FIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類系統(tǒng)中兩類很很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。都存在很大的差異。 由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與與輸入信號相同的函數(shù)形式，即特解完全輸入信號相同的函數(shù)

41、形式，即特解完全是由輸是由輸入信號決定的，因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)入信號決定的，因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為稱為受迫響應(yīng)受迫響應(yīng)或或強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)。齊次解所對應(yīng)的部分。齊次解所對應(yīng)的部分由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)自然響應(yīng)。 增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和和零輸入零輸入響應(yīng)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此它。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有關(guān)，屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了

42、受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。包含有一部分自然響應(yīng)。三三. .由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示（Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE） 由由LCCDE 描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運算來實現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運本運算來實現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運算關(guān)系，就會更加形象直觀；另一方面算關(guān)系，就會更加形象直觀；另一方面, , 分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)很重要很重要的的目的是為了設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng)目的是為了

43、設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng), , 用圖形用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, , 將對系統(tǒng)的特性仿真、硬件將對系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實現(xiàn)具有重要意義?；蜍浖崿F(xiàn)具有重要意義。 不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實現(xiàn)一個系不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不統(tǒng)時帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會有差異。度等方面都會有差異。 1. 由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：系統(tǒng)的方框圖表示： 由由 可看出：可看出：方程中包括三種基本運算：乘系數(shù)、相加、移位方程中包括三種基本運算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）（延遲）

44、。這些運算可用以下符號表示：。這些運算可用以下符號表示：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nkaaababD( )x n(1)x n若令若令 , ,則則0( )()Mkkw nb x nk101( )( )()Nkky nw na y nkaDDD( )x n( )w n0b1b2b1MbMbDDD( )w n( )y n01/a1a2a1NaNa直接直接型型據(jù)此可得方框圖：據(jù)此可得方框圖：0( )()Mkkw nb x nk 將其級聯(lián)起來將其級聯(lián)起來, ,就成為就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具描述的系統(tǒng)，它具有與差分方程完全相同的運算功能。顯然有與差分方程完全相同的

45、運算功能。顯然, , 它可以它可以看成是兩個級聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級聯(lián)的次序看成是兩個級聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級聯(lián)的次序, , 并將移位單元合并，于是得到：并將移位單元合并，于是得到：直接直接型型DDD( )x n( )y n0b1b2b1NbNb01/ a1a2a1NaNa 2. 由微分方程描述的由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：系統(tǒng)的方框圖表示： 由由 看出它也包括三種基本看出它也包括三種基本運算：微分、相加、乘系數(shù)。運算：微分、相加、乘系數(shù)。 但由于微分器不僅在工程實現(xiàn)上有困難，而且對但由于微分器不僅在工程實現(xiàn)上有困難，而且對誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分誤差及噪聲極為

46、靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。器而不用微分器。 將微分方程兩邊同時積分將微分方程兩邊同時積分 N 次，即可得到一個積次，即可得到一個積分方程：分方程：00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt()()00( )( )NNkNkkNkkka ytb xt1()()001( )( )( )NNkN kkN kkkNy tb xta yta( )w t ( )w t( )y t1/Na1Na2Na1a0a( )x t( )w tNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型對此積分方程完全按照差分方程的辦法有對此積分方程完全按照差分方程的辦法有：( )x t( )y

47、t1/Na1Na2Na1a0aNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型通過交換級聯(lián)次序，合并積分器可得直接通過交換級聯(lián)次序，合并積分器可得直接型：型： （Singularity function） 例如例如: :以下信號的面積都等于以下信號的面積都等于1 1，而且在，而且在 時，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。時，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。02.5 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 在第一章中介紹單位沖激時，開始將在第一章中介紹單位沖激時，開始將 定義定義為為 顯然是不嚴(yán)密的，因為顯然是不嚴(yán)密的，因為 在在不連續(xù)。進(jìn)而采用極限的觀點，將不連續(xù)。進(jìn)而采用極限的觀點，將 視為視為 在在 時的極限。但這種定義或描述時的極

48、限。但這種定義或描述 的方法的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因為有許多不同的函在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因為有許多不同的函數(shù)在數(shù)在 時都表現(xiàn)為與時都表現(xiàn)為與 有相同的特性。有相同的特性。( )( )du ttdt( )u t0t( ) t( ) t0( ) t0( ) t( ) t01t( ) t021t( )( )( )r ttt0241t( )( )r tr t01t 1teu t01tsintt 之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因為之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因為 是一個理想化是一個理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱為的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)。通常采用在卷積。通常采用在卷積或積分運算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定

49、義奇異函數(shù)?；蚍e分運算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。( ) t一一. . 通過卷積定義通過卷積定義( ) t 從系統(tǒng)的角度從系統(tǒng)的角度, ,可以說可以說 是一個恒等系統(tǒng)的是一個恒等系統(tǒng)的 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng), ,因此，因此， 這這就是就是在卷積運算下在卷積運算下 的定義。的定義。( ) t( )( )( )x tx tt( ) t( ) t根據(jù)定義可以得出根據(jù)定義可以得出 的如下性質(zhì)：的如下性質(zhì)： 00( )( )( )( )( )( )()( )()x ttx ttttttttt 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有( )1x t ( )( )() ( )( )1x ttx tdd ( )1t dt

50、 由此定義可得：由此定義可得： ()( )() ( )()gttgtdgt 若若 ，則有：，則有：0t (0)( ) ( )ggd 二二. . 通過積分定義通過積分定義( ) t 積分表達(dá)式積分表達(dá)式 也可以作為也可以作為在積分運算下的定義，這就是在積分運算下的定義，這就是分配函數(shù)分配函數(shù)的定義方法。的定義方法。(0)( ) ( )gg tt dt( ) t 此式即可作為在積分運算下此式即可作為在積分運算下 的定義式。的定義式。( ) t 據(jù)此定義又可以推出：據(jù)此定義又可以推出： 若若 是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則 ，因此，因此 是偶函數(shù)是偶函數(shù)， 即：即： ( )g t(0)0g( ) t( )

51、()tt( )()gx t若令若令 ，代入積分定義式就有，代入積分定義式就有： 這就是卷積運算下的定義。這就是卷積運算下的定義。( )() ( )( )( )x tx tdx tt ( )f tt( )0tt若若 ，則可推出，則可推出12( )( )tf ttf t12( )( )( )f tf tCt因此，若有因此，若有 , ,則則(0) (0)( ) ( ) ( )(0) ( ) ( )gfg t f tt dtfg tt dt( ) ( )(0) ( )f ttft 根據(jù)積分下的定義有：根據(jù)積分下的定義有：三三. . 單位沖激偶及其他奇異函數(shù)單位沖激偶及其他奇異函數(shù) 理想微分器的單位沖激響應(yīng)應(yīng)該是理想微分器的單位沖激響應(yīng)應(yīng)該是 的的微分，微分，記為記為 ，從卷積運算或，從卷積運算或LTI系統(tǒng)分析的角系統(tǒng)分析的角度應(yīng)該有：度應(yīng)該有：( ) t1( )( )du ttdt1( )( )( )dx tu tx tdt0t(1)