中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)

1、中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-1-中考專題復(fù)習(xí)全等三角形知識點總結(jié)一、全等圖形、全等三角形：1.全等圖形：能夠完全的兩個圖形就是全等圖形。2.全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的、分別相等。3.全等三角形：三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。說明：全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。這里要注意：(1)周長相等的兩個三角形，不一定全等；(2)面積相等的兩個三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定(1) 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(

2、“邊邊邊”或“”)。(2)兩邊和它們的火角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“”):(3) 兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“一(4)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角角邊”或2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或注意：兩邊一對角(SSA)和三角(AAA)對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。3.性質(zhì)1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對應(yīng)中線相等。5、全等三角形

3、面積相等。6、全等三角形周長相等。(以上可以簡稱：全等三角形的對應(yīng)元素相等)三、角平分線的性質(zhì)及判定：性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等。判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的基本方法步驟：-2-1.確定已知條件(包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、-3-高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2.回顧三角形判定公理，搞活還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題）。全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不例 1.如圖，求

4、證：如圖，在ABC中，BE是 ZABC 的平分線,定全等。A,F,E,B四點共線，ACCE,BDACFBDE。例 2.21DF,AEBF,ACBD。-4-C。例 3.在BC上，BEBF,連接AE,EF和CF如圖，在ABC中，ABBC,ABC90。o求證：AEF為AB延長線上一點，點ECF。例 4.如圖，AB/CD,AD/BC,求證:ABCD。ADBE，垂足為D。求證:-5-例 7.ABAC如圖，在PBPC。ABC中，ABAC,12,P為AD上任意一點。求證:例 5.如圖，AP,CP分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交丁點P。求證：BP為MBN的平分線。例 6.如圖， D是ABC的邊B

5、C上的點， 且CDAB,ADBBAD,AE是ABD的中線。 求證：AC2AE。-6-選擇題:1.能使兩個直角三角形全等的條件是（）A.兩直角邊對應(yīng)相等 B.一銳角對應(yīng)相等2.根據(jù)下列條件，能畫出唯一 ABC 的是（）同步練習(xí)C.兩銳角對應(yīng)相等D.斜邊相等A.AB3,BC4,CA8C.C60：,B45：,AB4B.AB4,BC3,A30D.C90：,AB63.如圖，已知 1CD;BA.4 個2,ACAD,增加下列條件：ABAE;BCE。其中能使 ABCAED 的條件有（）B.3 個 C.2 個 D.1 個-7-4.如圖，12,CD,AC,BD交丁 E 點，下列不正確的是（）B.CEDED 等?。?/p>

6、）D.無法確定、填空題：6.如圖，在 ABC 中,CD:AD2:3,AC7.如圖，已知 ABAEB100,ADBC90：,ABC 的平分線 BD 交 AC 丁點D,且10cm，則點 D 到 AB 的距離等丁mRCDC,ADBC,E,F是 BD 上的兩點，且 BE30，貝 UBCF;A.DAECBE5.如圖，已知 ABCD,BCAD,B23：,則卜卜在A.67B.46，C.23EAB 是等腰三角形AD-8-8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則 CBD 的大小為匚MAgE9.如圖，在等腰 RtABC 中，C90：,ACBC,AD 平分 BAC 交 BCT10.如圖， 點D,E

7、,F,B在同一條直線上， AB/CD,AE/CF， 且 AECF,若 BD10,BF2,WJEF三、解答題：11.如圖，ABC 為等邊三角形，點M,N分別在BC,AC上，且 BMCN,AM 與 BN 交丁Q點。求AQN的度數(shù)。AB 丁 E,若 AB10,則 BDE 的周長等丁-9-12.如圖，ACB90：,ACBC,D 為 AB 上一點，AECD,BFCD,交 CD 延長線丁 F 點。求證：BFCE。中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-10-答案例 1.思路分析：從結(jié)論ACFBDE入手，全等條件只有ACBD;由AEBF兩邊同時減去 EF 得到 AFBE,乂得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可

8、以是 CFDE,也可以是 AB。由條件ACCE,BDDF可得ACEBDF90：，再加上AEBF,ACBD，可以證明 ACEBDF，從而得到 AB。解答過程：.ACCE,BDDFACEBDF90；在RtACE與RtBDF中AEBFACBDRtACERtBDF(HL)ABAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF與BDE中AFBEABACBDACFBDE(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告

9、訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路。例 2.思路分析：直接證明21C比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明2且1C。也可以看成將 2“轉(zhuǎn)移”至 U。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將AD延長交BC丁F,則構(gòu)造了FBD可以通過證明三角形全等來證明 Z2=ZDFB 可以由三角形外角定理得 ZDFBW1+ZC。解答過程：延長AD交BC丁F在ABD與FBD中ABDFBD.BDBDABDFBD(ASA2DFBADBFDB90乂，.DFB1C21Co中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-11-解題后的思考：由丁角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)

10、全等三角形。例 3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等：關(guān)鍵是要找到這兩個三角形。 以線段 AE 為邊的 ABE 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)90到 CBF 的位置,而線段 CF 正好是 CBF 的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞＝獯疬^程：ABC90；,F為AB延長線上一點ABCCBF90在ABE與CBF中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利丁尋找全等三角形，而且有利丁找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找

11、或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例 4.思路分析：關(guān)丁四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接ACAB/CD,AD/BC12,34在ABC與CDA中12ACCA43ABCCDA(ASA)ABCD。解題后的思考:例 5.思路分析:中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-12-連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。要證明“BP為MBN的平分線”，可以利用點 P 到BM,BN的中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-13-距離相等來證明，故應(yīng)過點 P 向BM,BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“AP,CP分別是MAC和NCA的平分線”，也需要作出點

12、 P 到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P作PDBM丁D,PEAC丁E,PFBN丁FAP平分MAC,PDBM丁D,PEAC丁EPDPE.CP平分NCA,PEAC于E,PFBN于FPEPF.PDPE,PEPFPDPF.PDPF,且PDBM于D,PFBN于FBP為MBN的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例 6.思路分析： 要證明“AC2AE”， 不妨構(gòu)造出一條等丁2AE的線段， 然后證其等丁 AC。因此，延長 AE 至 F,使 EFAE。解答過程：延長AE至點F,使EFAE,連接

13、DF在ABE與FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDF.ADFADBEDF,ADCBADB乂.ADBBADADFADC.ABDF,ABCDDFDC在ADF與ADC中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC乂AF2AE中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)-14-AC2AE。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例 7.思路分析：欲證ABACPBPC,不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由丁結(jié)論中是差，故用兩邊之差小丁第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段ABAC。而構(gòu)造ABAC可以采用“截長”

14、和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取ANAC，連接PN在APN與APC中ANAC12APAPAPNAPC(SAS)PNPC/在BPN中，PBPNBNPBPCABAC,即 A 卜 ACPB-PG法二：延長AC至M，使AMAB,連接PM在ABP與AMP中ABAM12APAPABPAMP(SAS)PBPM,-在PCM中，CMPMPCABACPBPC。中考專題復(fù)習(xí)全等三角形（含答案）-15-解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等丁一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等丁另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等丁另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等丁較長線段，稱為“補短”小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處同步練習(xí)的答案、填空題：.6.47.70：8.90：三、解答題：11. 解：、AB