講義反比例函數(shù)1

1、思楷教育學生輔導講義期末復習專題：反比例函數(shù)教師：學生：時間：知識點一：反比例一»的畸k一般地,形如yk為常數(shù),k不等于零的函數(shù)稱為反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù)或叫因變量,y-也可以寫成/三以1,產(chǎn)二Lx要點詮釋：kk1、y=一中分母x的指數(shù)為1,如,y不就不是反比例函數(shù)；xx2、y=kkrO可以寫成y二丘"狀wU的形式,自變量x的指數(shù)是-1,在解決有關(guān)自x變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一條件；3、y=k七W口也可以寫成砂=此的形式,用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的xk,從而得到反比例函數(shù)的解析式.兩個變量的積均是一個常數(shù)或定值,這也是識別兩個量是否成反比例函

2、數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵.典例分析1,以下哪個等式中的y是x的反比例函數(shù)31,、yk,、yy2x-1y3x1xy6yxxx3y-2x-1)y2xA.xy12B.1yx-2C.D.17x3.假設(shè)函數(shù)y2n1xn2是反比例函數(shù),n的值是(A.土1B.-1C.1D.24.函數(shù)(k21k2xk1是反比例函數(shù),你知道k的值是多少嗎5.函數(shù)m2x1.請你探求當m取何值時：(1)該函數(shù)是正比例函數(shù)(2)該函數(shù)是反比例函數(shù)2.以下函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)的是知識點二:反M也敗像與性質(zhì)反比例函數(shù)y=(k豐0)xk的符號k>0k<0圖象yt_二°x力性質(zhì)x的取值范圍是xW0,y的取值范圍是yw0.x的

3、取值范圍是xW0,y的取值范圍是yw0.當k>0時,函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、第三象限.在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小.當k<0時,函數(shù)圖象的兩個分以分別在第二、第四象限.在每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大.1、點(3,4)在反比例函數(shù)y2m2m1的圖像上,那么此函數(shù)還過點(A.(2,6)B.(2,-6)C.(4,-3)D,(3,-4)2、反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(m,2)和(2,3),那么m的值為m型二：反比例函數(shù)的圖像帶征要點詮釋:(1)反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限;(2)假設(shè)點(a,b)在反比仞函數(shù)y=K的圖象上,

4、那么點(a,b)也在此圖象上,故反比x例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；(3)在反比例函數(shù)中由于xw0,kw0,所以yw0,函數(shù)圖象永遠不會與x軸、y軸相交,只是無限靠近兩坐標軸.典例分析：12m.1、如果反比例函數(shù)y(m為常數(shù))的圖象在第二、四象限內(nèi),那么m的取值范圍是x()1 _11A-m0B.m_C.mD.m>2 222、一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,那么函數(shù)y蛆的圖x象有()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、二象限典例分析：1k1 .函數(shù)y的圖象過點P(1,2),那么該函數(shù)圖象在其所在的每個象限內(nèi),y隨x的增加而.2 .反比例函數(shù)ykx1

5、2k,當x>0時,y隨x而增大.2_3 .反比例函數(shù)y(2m1)xm,當x>0時,y隨x的增大而增大,那么m的值是.1.4.反比例函數(shù)y的圖象上有兩點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2,那么以下結(jié)論正x確的是()>y2=2C<y2D.不能確定y1與y2的大小關(guān)系25 .點A(x1,y.,B(x2,y2)在反比例函數(shù)y一的圖象上,假設(shè)x1x2,那么y1與y2的大小x關(guān)系為().A.y1>y2B.y1y2C.y1=y2D.y1與y2的大小關(guān)系不能確定16 .右點(xby)、(地,y2)、(x3,y3)都是反比例函數(shù)y一的圖象上的點,并且xk0<

6、;x2<x3,x那么以下各式中正確的選項是()<y2<y3<y3<1C>y2>y3<y3<y217 .假設(shè)點2,y1、1,y2、1,y3都是反比例函數(shù)y的圖象上的點,那么以下各式中正確的是()>y2>y3>y1>3C>y>y2>y2>y1k8 .反比例函數(shù)yk(k>0)的圖象上的三個點(Xi,-1)(x2,2)(x3,3),那么以下成立的是()A.X1<X2<X3B.X2<Xi<X3C.X1<X3<X2D.X3<X2<Xi29.函數(shù)y一-(

7、a為常數(shù))的圖象上有三點(-4,yi)(-1,y2)(2,ya)那么函數(shù)x值yi,y2,y3的大小關(guān)系是()A.y2>y3>yiB.ya>y2>yiC.yi>y2>y3D.y3>yi>y22I0,反比例函數(shù)yx,以下結(jié)論中,不正確的選項是()A.圖象必經(jīng)過點0,2)b.y隨x的增大而減少c.圖象在第一、三象限內(nèi)d.假設(shè)xi,那么y2k3-ii.在函數(shù)y(k為常數(shù),且k0)的圖象的一支在第四象限.(I)圖象的另一支在第幾象限你能求出符合題意的k的取值范圍嗎(2)圖象上有二點(-I,yi)、一丫？、一、3,你會比擬yi、y2、y3的大小嗎42知識點:

8、反比中比01Mle的XI肩意義要點詮釋：如下圖,過雙曲線上任一點尸作巳軸、,尸軸垂線段PMPN所得矩形PMOP勺面積3二尸對,戶'=|;4|工卜|寸|.*=1上即反比例函數(shù)y-k0中的比例系數(shù)k的絕對值表示過雙曲線x上任意一點,作x軸,y軸的垂線所得的矩形的面積.如下圖,過雙曲線上一點Q向x軸或y軸引垂線,那么所得的三角形的面積S,'1AOQ的,即反比例函數(shù)y-k0中的比例系數(shù)k的絕對值的一半表示過雙曲線上22x任意一點,作x軸或y軸的垂線,并連接原點,所得的直角三角形的面積.典例分析:k1.如圖,點AB是函數(shù)y-kB作x軸的垂線,垂足分別是C和S2的大小關(guān)系不能確定AOCBO

9、D勺面積S、S2的大小關(guān)系是、B是函數(shù)y1,一的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點,AC/y軸,x交x軸于點C,BD/y軸,交x軸于點D,設(shè)四邊形ADBC勺面積=1=2<S<2>24.如圖,AB是函數(shù)y行于y軸,BC平行于x軸,ABC勺面積為S,那么1,一一,1的圖象上關(guān)于原點x)1vSv2C,S=2S>2知識點五:反比例隨析式確實定要點詮釋：k(1)、待定系數(shù)法,由于在反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)中,只有一個待定系數(shù)k,只要確定了k的值,也就確定了反比例函數(shù),因此只需給出一組x、y的對應值或圖象上點的坐k標,彳t入y1中即可求出k的值,從而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式.(2)用待定系數(shù)法求

10、反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：k設(shè)所求的反比例函數(shù)為：y2(kw0);根據(jù)條件,列出含k的方程；解出待定系數(shù)k的值；k把k值代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)k中.x典型例題：1.一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點3,4,那么其函數(shù)關(guān)系式是22mm32,假設(shè)函數(shù)y(mm)x是反比例函數(shù),求其函數(shù)解析式.點撥：反比例函數(shù)可寫成ykx1,在具體解題時應注意這種表達形式,應特別注意對k0這一條件的討論.23.：y與x成反比例,且當x2時,y2,那么當x4時,y等于().A.0.5B.2C.-224 .：yy1y2,y1與x成反比例,y2與x1成正比例,且當x1時y1*x25,時y,求x1時y的值.45 .(1)yyiy2,而

11、y1與x1成反比例,y2與X2成正比例,并且x1時,y2；x0時,y2,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；直線i：ykxb與y2x平行且過點(3,4),求i的解析式.知識點六:一次一WJR比例,故的結(jié)合k.1.函數(shù)y=與y=kx+1(kw0)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是()x.一.一.一,一.一一4m.一2.在同一坐標系中,正比例函數(shù)y=(m-1)x與反比例函數(shù)y=的圖象大致位置不可能是【解析】列表分析如下:ABCD滬知攵ok>0k>0k>0k<0k<0Ab>0且七VCl與上手盾與上手盾釬盾與b=l子盾結(jié)論XXJX【解析】列表分析如下:ABCDy=(m-1)xmA1m&l

12、t;Lm<1m>1戶=4抵/瞿m>0mA.m<0結(jié)詒可能(1時)可能(0Vm<1時,可能(m<口時)不可能【點撥】沒有明確告訴系數(shù)符號,而要求選擇確定函數(shù)圖象的大致位置的問題,在中測試題中經(jīng)常出現(xiàn).不少同學對解答這類題感到困難.以上兩例介紹一種簡便易行的方法一一列表分析法,即通過對所供選擇的圖象中代表的函數(shù)系數(shù)的符號列表分析,排除某些結(jié)論,進而得到正確答案.k一一一3 .反比例函數(shù)y與一次函數(shù)y=2X+k的圖象的一個交點的縱坐標是4,那么k的值為.4 .如圖,反比例函數(shù)yK與直線y2x相交于AB兩點,A點的橫坐標為-1,那么兩函數(shù)X圖象另一個交點B的坐標為(

13、)5 .一次函數(shù)y=3x+m與反比例函數(shù)y=m-3的圖像有兩個交點.x(1)當m為何值時,有一個交點的縱坐標為6(2)在(1)條件下,求兩個交點的坐標點撥：(1)兩個函數(shù)圖像如果有交點,那么它們的交點坐標就是兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程組的解.(2)要求函數(shù)圖像的交點坐標,解方程組即可k56 .一次函數(shù)y=2x-k的圖象與反比例函數(shù)y=x的圖象相交,其中有一個交點的縱坐標為-4,求這兩個函數(shù)的解析式.點撥：這是關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題,解此題的關(guān)鍵是要抓住兩圖象交點這個主要矛盾,它既在一次函數(shù)圖象上,又在反比例函數(shù)圖象上,從而轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組,問題得以解決.b：再二迎可義M3；血11%

14、新&近1.如圖,一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)yU的圖象交于A2,1、B1,n兩xB點.(1)求兩個函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量的取值范圍.2.如圖14,A(4,n),B(2,4)是一次函數(shù)ykxb的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點.(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及AOB的面積;求方程kxbm0的解(請直接寫出答案)；x(4)求不等式kxbm0的解集(請直接寫出答案).x3.函數(shù)y等式k1xk1x與yk?x(k1,k2為非零常數(shù))的圖象的如下圖,由圖象可知：關(guān)于x的不k2x的解集是(C.24.反比例函

15、數(shù)y3m和一次函數(shù)xykx1的圖象都經(jīng)過點Pm,3m.求點P的坐標和兩個函數(shù)的解析式;(2)假設(shè)點Aa21,y1、Ba23,y2是反比例函數(shù)圖象上的點,請比擬中與乎.5.一次函數(shù)y2x5的圖象與反比例函數(shù)yk(k0)的圖象交于第四象限的一x點Pa,3a.(1)求這個反比例函數(shù)的解析式.(2)當-6<x<-2時,求y的取值范圍是多少如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)象交于AB兩點,且A的橫坐標和點B的縱坐標都是那么陰影局部的面積是(-的圖x2.一次函數(shù)yx8和反比例函數(shù)yk的圖象在第一象限內(nèi)有兩個不同公共點xB且AOB勺面積S=24,那么該反比例函數(shù)的圖象必過點(A、A.(

16、2,4)(-1,-7)C.(1,6)(-1,7)3,直線y2x2與坐標軸交于AB兩點,反比例函數(shù)y-x的圖象與該直線交于C點,CDLx軸于點D,假設(shè)SoabSbcd,那么k值為()k4.如圖,直線y2x2與雙曲線y交于點A,與x軸、yx軸分別交于點B、C,ADLx軸于點D,如果&adbfSacob那么5.點A(0,2)和B(0,2),點P在函數(shù)y1 一的圖象上,如果PAB的面積是6,x6.那么P點的坐標是.4如圖所不,如果函數(shù)yx與y的圖象交于A、B兩點,過點x作AC垂直于y軸,垂足為點C,那么BOC勺面積為.7.k如圖,雙曲線yk(k0)經(jīng)過直角三角形0ABM邊OA勺x中點D,且與直

17、角邊AB相交于點C.假設(shè)點A的坐標為(6,4),那么4A0C勺面積為()A12B.9C.6D.48.如圖,RtABC的銳角頂點是直線yxm與雙曲線ym在第一象限的交點,且xSAOB3(1)求m的值(2)求SABC的值9.如圖,反比例函數(shù)yk的圖象經(jīng)過點AJ3,b,過點A作x軸的垂線,垂足為xB,4AO明面積是J3.(i)求k和b的值；(2)假設(shè)一次函數(shù)yax1的圖象經(jīng)過點A且與x軸交于點C,求AO境面積.C1,5,過點C的直線ykxb(k0)與510.雙曲線y5在第一象限的一支上有一點xx軸交于點Aa,0.(1)求點A的橫坐標a與k之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當該直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的另一交點

18、D的橫坐標是9時,求COA勺面積.11.：如圖,一次函數(shù)yxbb0的圖象與兩坐標軸交于A、B兩點,與函數(shù)y的圖象交于CD兩點,由點C向x軸做正線,垂足為E.知識點七:反比例函改實際運用1、某市的一處道路因受強降雨而造成1200cm3的塌方,某部隊受命來重新修建好.(1)重新修好所需的時間t(天)與每天完成的土石方V(m2)有怎樣的關(guān)系(2)部隊共有官兵60人,每天最多完成土石方300m3,預計部隊最快可在幾日內(nèi)完成(3)部隊連續(xù)工作了兩天后,天氣預報說未來的幾天還可能會有強降雨,市里要求次日完成余下的任務,需要增加多少人才能按時完成2、制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱到達60c后,再進行操作,設(shè)該材料溫度為y(C),從加熱開始計算的時間為x(分鐘),據(jù)了解,該材料加熱時,溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時,y與時間x成反比例關(guān)系(如圖),該材料操作加工前溫度為15C,加熱5分鐘后溫度到達60C.(1)分別