高等數(shù)學(xué)下曲線曲面積分

1、第十章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 格林公式高斯公式與斯托克斯公式第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” k

2、kkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱(chēng)此極限為函數(shù)在曲線或第一類(lèi)曲線積分.),(zyxf稱(chēng)為被積函數(shù)， 稱(chēng)為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxf

3、d),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf(5)對(duì)稱(chēng)性與二重積分類(lèi)似(0)( , )( , )(

4、 , )(0,2),LL xxxf x yf x y dsf x y dsf x y關(guān)于 為奇函數(shù)關(guān)于 為偶函數(shù)L關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)輪換對(duì)稱(chēng)性1( , )( , ) ( , )( , )2LLLf x y dsf y x dsf x yf y x ds(6)可將重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣到曲線弧上tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分說(shuō)明說(shuō)明:(1)因此積分限必須滿(mǎn)足!xd

5、ydsdxyo(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 計(jì)算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10

6、 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例2. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱(chēng)性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例3. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka

7、)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線例例4. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱(chēng)性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22r

8、r)(),(ttf內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱(chēng)性2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2

9、222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(

10、yxQyxPyxF2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱(chēng)此極限為函數(shù)或第二類(lèi)曲線積分第二類(lèi)曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱(chēng)為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱(chēng)為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1

11、(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類(lèi)曲線積分的特例.說(shuō)明說(shuō)明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd ( ),( )Qtt連續(xù),存在, 且有如果曲線 L 的方程為),()(

12、bxaxy則有( , )( , )LP x y dxQ x y dy ,( ) + ,( ) ( )baP xxQ xxxdx例例1. 計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點(diǎn)xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 計(jì)算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaax

13、(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則yxo例例3. 計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d510

14、4(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類(lèi)曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(例

15、例4. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧

16、LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計(jì)算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQ

17、Pdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第十章 LD區(qū)域 D 分類(lèi)單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一一、 格林公式格林公式 其中L是的取正向的邊界曲線

18、( )( )( )baF x dxF bF a說(shuō)明： （1）格林公式對(duì)光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立；（2）在一定條件下可以用二重積分計(jì)算曲線積分，也 可以用曲線積分計(jì)算二重積分。（4）幾何應(yīng)用： 正向閉曲線正向閉曲線L L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D D 的面積的面積LxyyxAdd21（在格林公式中，取,Py Qx則有2DLdxdyxdyydx)（3）對(duì)于復(fù)連通區(qū)域D，公式右端應(yīng)包括D的全部邊 界的曲線積分，且邊界的方向?qū)來(lái)說(shuō)都是正方向。LDyQxPyxyPxQdddd推論推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢

19、圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例1.設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則利用格林公式 , 得yxxyxLdd22yPxQ022xx0d dDx y 0？例例2. 計(jì)算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye2sin

20、22(1),Lxdxxydy例3.計(jì)算其中L是曲線sinyx上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)( ,0)的一段。lxyAOLD解解：添加, lD為L(zhǎng)l與圍成的封閉區(qū)間2sin22(1)Lxdxxdy22sin22(1)sin22(1)L llxdxxdyxdxxdy0()sin2DQPdxdyxdxxy 40Dxydxdy 22 例例4. 計(jì)算,dd22Lyxxyyx其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos20222

21、22rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針?lè)较?1D, 對(duì)區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPy

22、xudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyPLyQxPdd與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 yx說(shuō)明說(shuō)明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助

23、線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;yA xoL例例5. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則例例5. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(y

24、xyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx積分與路徑無(wú)關(guān)例6.計(jì)算2222Lyxdxdyxyxy其中L為自點(diǎn)A(-1,0)沿21yx至B(2,3)的弧段（如圖）xy0( 1,0)A (2,3)BC解：由題知CD(0, 1) 22222,( , )(0,0)()QyxPx yxxyy構(gòu)造一個(gè)單連通域G，積分在G內(nèi)與路徑2222LACCDDByxdxdyxyxy1232222011112112dydxdyyxy 3arctan2則G無(wú)關(guān)，內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式LyQxPdd2. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).yPxQ在

25、D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分 第十章 oxyz一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類(lèi)似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n

26、 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). SzyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類(lèi)曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱(chēng)此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSz

27、yxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類(lèi)似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分yxD),(kkkyxk)(說(shuō)明說(shuō)明:zyDzyzyxx),(

28、),(zxDzxzxyy),(),(或可有類(lèi)似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. yxD例例1. 計(jì)算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2. 計(jì)算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)

29、上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 xozy例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?yxD則 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd

30、202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類(lèi)似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系四、兩類(lèi)曲面積分

31、的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos類(lèi)似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè)意分割和在

32、局部面元上任意取點(diǎn),0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類(lèi)曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對(duì) 的任 則稱(chēng)此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積二二. 定義定義.引例中, 流過(guò)有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱(chēng)為Q 在有向曲面上對(duì)對(duì) z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱(chēng)為R 在有向曲面上對(duì)對(duì) x, y 的曲面積分的曲面積分.稱(chēng)為P 在有向曲面上對(duì)對(duì)

33、y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫(xiě)成如下向量形式3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn), 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yx

34、zyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyDzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQxzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明說(shuō)明: 如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxRyxdd),(zyx),(xzy),(yxz例例1. 計(jì)算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解解: 利用對(duì)稱(chēng)性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:222

35、1aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對(duì)稱(chēng)性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計(jì)算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxD

36、yxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr四、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系四、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫(huà)令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)yxz1

37、11例例4. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n221cosyxx例例5. 計(jì)算曲面積分其中解解: 利用兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxy

38、xDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz面積分第一類(lèi) (對(duì)面積)第二類(lèi) (對(duì)坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分)(2) 積分元素投影第一類(lèi)： 面積投影第二類(lèi)： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類(lèi)曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時(shí)，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”)類(lèi)似可考慮在 yoz 面及

39、zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣一、高斯公式一、高斯公式二、通量與散度二、通量與散度 高斯公式 通量與散度 第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 例例1. 用Gauss 公式計(jì)算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)

40、sin(用柱坐標(biāo))zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 例例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyxhozyx解解: 作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 1,記h1所圍區(qū)域?yàn)?則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yx

41、zyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)定義定義: 設(shè)有向量場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向 則稱(chēng)曲面, 其單位法向量 n, SnAd為向量場(chǎng) A 通過(guò)有向曲面 的通量(流量) .在場(chǎng)中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱(chēng)為向量場(chǎng) A 在點(diǎn) M 的散度.記作AdivzRyQxP三、通量與散度三、通量與散度內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充