導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用的題型與方法

1、第17講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一、專題綜述導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面懲潤(rùn)腐物瘞睞板房賴。1. 導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于n次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。I®副溝MSB愛僵譴凈。2. 關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。3. 導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，

2、應(yīng)引起注意。1. 二、知識(shí)整合導(dǎo)數(shù)概念的理解.2. 利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對(duì)法則進(jìn)行了證明。殘鷲樓言爭(zhēng)函撤酣敘®I。3. 要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。（2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。4. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)

3、變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。配銅極額鎮(zhèn)檜豬哉錐。也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f（a）,a=f（x）;然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)（y'Q,中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)（P'x）;最后求y'pP'x,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解一一求導(dǎo)一一回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。強(qiáng)貿(mào)攝爾霽斃痍磚鹵虎。三、例題分析2x例1-y=f(x)=axbx£1x1在x=1處可導(dǎo)，貝Ua=b=r2一x思路：y=f(x)=*、ax+bx£

4、1x1在x=1處可導(dǎo)，必連續(xù)limf（x）=1x）1-limf(x)=a+bf(1)=1a+b=1例2.已知f（x）在x=a處可導(dǎo)，且f'（a）=b,求下列極限:x12-f(a3h)-f(a-h)f(ah)-f(a)lim;(2)limh)。2hh0h分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。養(yǎng)挎篋awa類蔣薔。f(a3h)-f(a-h)f(a3h)-f(a)f(a)-f(a-h)解：(1)lim=limh02h12h:.f(a3h)-f(a)：

5、.f(a)-f(a-h)=limlimh02hh2h3：.f(a3h)-f(a)1：.f(a-h)-f(a)=limlim2h03h2h0-h31=-f'(a)-f'(a2bf(a+h2)f(a)f(a+h2)f(a)lim=limzhh-ohhT：h2h22、禮頃'h2一ahi0m=f，(a)°=0說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。廈礴懇蹣駢日寺盍繼騷。例3.觀察(xn)'=nxn。(sinx)=cosx,(cosx)'=sinx,是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函

6、數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若f(x)為偶函數(shù)f(x、x)-f(x)f(x)=f(x)令lm=f(x)xT.：xf(-xx)-f(-x)f(xr.x)-f(x)f(x)=lim-=lmx0,x.x0-f(x)f(x-：x)-f(x)=啊0-_=f(x)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證：f=f(-x)=f(x)(-x)=-可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)2x例4.(1)求曲線y=在點(diǎn)(1,1)處的切線萬程；x1tTo(2)您動(dòng)曲線萬程為S=+2t2,求t=3時(shí)的速度。t2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（X0,y

7、0）處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S（t）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。煢楨廣蛔解選塊網(wǎng)淚解：（1）2(x21)2x2x22x2(x21)2=(x21)22-2y'|x=0,即曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率k=042x因此曲線y=在（1,1）處的切線萬程為y=1x1(2)S'=f亍)+(2t2)'=!2+4t=-W+M+4tt2t4t2t3，12_26S|t_3=十+12=11。-92727例5.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間(1)y=f(x)=x3_x2-2x+5(2)y=12xk(3)y=+xx(k0)2(4)y=2xlna解：(1)y'=3x2x2=(3x+2)(x1)x在(q,

8、-2)U(1,十必)時(shí)y'0322x*(-,1)y<0e,-),(1,+氣(-，1)133一、x21一一(2)y=.(,0),(0,+氣x(3)x(-二，-k)(k,二)y0x(-k,0)(0,k)y，：0e,-k),(k,+*)(4,0),(0,k)。（4）y'=4x=_-定義域?yàn)椋?,+兇）xxx（0,1）y：0x（1，二）y022例6.求證下列不等式(3)2xx:ln(1x)：x22x-x(0，二)2(1x)2xsinxjinx(0，項(xiàng)x_sinx<tanx_xx在(0,2)證：(1)f(x)=ln(1+x)(x1f(0)=0f(x)=-1x1xx2-10x1

9、y=f(x)為(0,+°o)上xw(0,+司f(x)0恒成立2.x,、-ln(1x)x-g(x)=x22x-1n1(x)g(0)=02(1x)4x24x-2x21g(x)=1-4(1x)22x24(1x2)°g(x)在(0,+8)上2一x(0,+*)x-ln(1+x)>0恒成立2(1x)f(x)>x二cosx(x-tanx)f(x)=sinx/xx(0,)cosx0xtanx：02x(0,5)f(x):0(0,2八31f(2)2xsinxji(3)令f(x)=tanx-2x+sinxf(0)=0f(x)=sec2x-2cosx2、(1cosx)(cosxsinx

10、)2cosx兀(0,)轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)x(0,5)f(x)0tanx-xx-sinx例7.利用導(dǎo)數(shù)求和：(1)&=1+2工+3亍+以宜5h0/硅坤今；分析：這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。公式(xn)'=nxn?？陕?lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡(jiǎn)捷。解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，S*=1+2+3+''十村=1弗(評(píng)+D2當(dāng)x豐1時(shí)，1-X兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得Lrer3Z1一S十l)x*+林"*即一.'：'-(1項(xiàng)(2).。+氏)"=1+C：X+C：J+,+C：1,兩邊都

11、是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得忽(l+x)z=M+2C：x+3C；尸+小駕廣】。令x=1得"一"?即=C：+2C；+3C：+-+占/.月，21。例8.設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=Jxln(x+a)(x(0,十°°)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力解：f(x)=1-1(x0).2.xxa當(dāng)a0,xA0時(shí)f'(x)A0=x2+(2a4)x+a2>0.f(x)：0=x2(2a-4)xa2：0(i) 當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0,有x2+(2a4)+a2>0.即f'(x)

12、A0,此時(shí)f(x)在(0,危)內(nèi)單調(diào)遞增.22(ii) 當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x#1,有x+(2a4)x+a>0,即f(x)0，此時(shí)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，因此,函數(shù)f(x)在(0,+*)內(nèi)單調(diào)遞增(iii) 當(dāng)0<a<1時(shí)，令f'(x)A0,即x2+(2a_4)x+a2A0.解得x<2a2(1a,或x>2a+2、：'1a.因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2_a_2Vna)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2a+2jla,十*)內(nèi)也單調(diào)遞增.令f(x)<0,即x2+(2a-4)x+a2<0，解得2-a-2Ji-acx&l

13、t;2-a+2jl_a.因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-2J'=a,2a+2.JW)內(nèi)單調(diào)遞減.例9.已知拋物線y=x2-4與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為11和12。(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線11與|2的夾角。分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解(1)由方程組2y=x-4,解得A(-2,0),B(3,5)y=x2,(2)由y'=2x，則y'|x=_2=H,y'|x=3=6。設(shè)兩直線的夾角為0,根據(jù)兩直線的夾角公式，C4610c10tan所以=arctan1+(Y)W2323說明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就

14、是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。xea_例10.(2001年天津卷)設(shè)a0,f(x)=+辰是R上的偶函數(shù)。ae(I)求a的值；(II)證明f(x)在(0,e)上是增函數(shù)。x.ea1解：(I)依題怠，對(duì)一切x=R有f(x)=f(x)，即+=+ae,aeae1x1、_'(a-)(e-x)=°對(duì)一切xR成立，ae12一由此得到a=0,a=1,又.a0,.a=1。a(ii)證明：由f(x)=ex+e,得f'(x)=exe"=e'(e2x1),當(dāng)x在(0,危)時(shí)，有e"(e2x1)>0，此時(shí)f'(x)0。f(x

15、)在(0,e)上是增函數(shù)。1. 四、04年高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型集錦(全國(guó)卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()2. A(：，；)B(兀，2兀)C駕,5；)D(2兀，3兀)(全國(guó)卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g(壬蘭)<(b-a)ln2.贛叢媽尊為H債蛭練浮(天津卷9)函數(shù)y=2sin(2x)(xw0,n)為增函數(shù)的區(qū)間是67.5二5二3. (A)0'3叫2'，12(C)3,6(D)6，F(xiàn)(天津卷20)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值。討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(II)過點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。(江蘇卷10)函數(shù)f(x