求離心率的取值范圍解題策略

1、求離心率的取值范圍策略圓錐曲線共同的性質(zhì)：圓錐曲線上的點到一個定點F和到一條定直線 L(F不在定直線L上)的距離之比是一個常數(shù)e。橢圓的離心率；：'；：，雙曲線的離心率:;，拋物線的離心率壬。求橢圓與雙曲線離心率的范圍是圓錐曲線這一章的重點題型。下面從幾個方面淺談如何確定橢圓、雙曲線離心率 范圍。利用曲線的范圍，建立不等關(guān)系例1.設(shè)橢圓F IN"的左右焦點分別為：、E,如果橢圓上存在點 P,使一廠，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)尸(心刃因為/片F(xiàn)F： = 9呼，所以PF、丄F& 如爍=一1將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,可解得工刃嚴但由橢圓范圍及凸尸瑪=9CT 4no

2、<3r1 a2c2 -a2b22?PO<5l s得c2閔艮FA應(yīng)-只A2 <a 從而得仝出>=-<!a 2(2所四日¥ je的取1(jJ A 0,0 A 0)例2 .雙曲線在右支上存在與右焦點、左準線長等距離的點，求離心率值范圍。解：設(shè)：在雙曲線右支上，它到右焦點的距離*:等于它到左準線的距離.際l_. =MN ' M (1十叭、苑=工a曠_總1忑三召£14 血又總> 11 <1 +二、利用曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造不等關(guān)系例3 直線L過雙曲線寧-二-：的右焦點，斜率k=2。若L與雙曲線的兩個交點分別在左、右兩支上,求雙曲

3、線離心率的取值范圍。解：如圖1，若 -，貝U L與雙曲線只有一個交點；若則L與雙曲線的兩交點均在右支上,v - >>2a,b2 >4a2,c2 >5a2aa例4.已知Fi、F2分別是雙曲線-討的左、右焦點，過Fi且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、AF2BB兩點。若 ABF2是銳角三角形，求雙曲線的離心率的取值范圍。解：如圖2,因為 ABF2是等腰三角形，所以只要/角即可，即/ AF2Fi<45°則俎 三、利用定義及圓錐曲線共同的性質(zhì)，尋求不等關(guān)系例5 已知雙曲線I： 1的左右焦點分別為7【，點P在雙曲線的右支上，且 -J ' 'I,求此雙

4、曲線的離心率 e的取值范圍。2解：因為P在右支上，所以"I-"-又7 得八"'_所以-又：'例6 已知雙曲線-的左、右焦點分別是 Fi、F2, P是雙曲線右支上一點，P到右準線的距離為 d，若d、|PF2|、|PFi|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。2聞K I解：由題意得 I網(wǎng)八I繆卜已卜啊。又因為P在右支上，所以凸卜陰|=2PES礙昭=蘭na|尸巧1上£口得Zf-氛即2r- 1,-11四、利用判斷式確定不等關(guān)系例7 例1的解法一：解：由橢圓定義知 |昭卅再|(zhì)=加n|F對+|網(wǎng)“2|閃|W滬心又由糾P九=、卸lf出碼冷碼盡&q

5、uot;4云則可得|砒|P耳|二2（/ -凸這樣，|昭|與馮|是方程-2«»+2-?）=0兩個實根,因此A = 4-82-c2）02 Ca 1n 電= 川2二小乎因此總亂1）盲-宀血0）例8 設(shè)雙曲線與直線-相交于不同的點 A、B。求雙曲線的離心率 e的取值范圍。解:解得0 a s吃且"1的取值范IS是（半八/5）q（J5,p）通過以上各例可以看出，在解決求圓錐曲線離心率的取值范圍”的問題，若能根據(jù)題意建立關(guān)于 a、b、c的不等式，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e的不等式進行求解。練習(xí)2x21、設(shè)橢圓a1（a>b>0 ）的兩焦點為F1、F2，長軸兩端點為 A、B ,

6、若橢圓上存在一點 Q,使/ AQB=120V3o,求橢圓離心率e的取值范圍。（2e<1).2x22、設(shè)橢圓a2 y b21（a>b>0 ）的兩焦點為 F1、F2，若橢圓上存在一點Q,使/ F1QF2=120o,求橢圓離心率 e的取值范圍。（一63e 1)3、橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點 F1的直線交橢圓于 P、Q兩點，且0P丄OQ ,、51求橢圓的離心率e的取值范圍。（2e 1)。4、（ 2000年全國高考題）已知梯形 ABCD中,| AB|= 2|CD|，點E分有向線段AC所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當"4時，求雙曲線離心率的取值范圍。2建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線方程為也/ - = l(a>0,b>0)b，設(shè)蛆7心E©呼C牙h）、其中是梯形的高，由定比分點公式得，把C、E兩點坐標分別代入雙曲線方程得兩式整理得，從而建立函數(shù)關(guān)系式+ 2，由已知33一 *篤得，廠+25、已知雙曲線上存在P、Q兩點關(guān)于直線對稱，求雙曲線離心率的取值范圍。PQ中