多面體外接球半徑常見的求法上課講義

1、多面體外接球半徑常見求法知識(shí)回顧：定義1:若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2:若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、公式法例1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)

2、球面上，9且該K梭枉的體積為-，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為8小結(jié)本題是運(yùn)用公式R2r2d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.32小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.三、補(bǔ)形法例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3,則其外接球的表面積是.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑

3、為R,則有2RJa2b2c2.變式1：變式2:三棱錐OABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，且OAOB2OC2a,則三棱錐OABC外接球的表面積為（）A.6a2B.9a2C.12a2d.24a2四、尋求軸截面圓半徑法COBA圖3例4正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為J2,SSA、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化

4、的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).變式1:求棱長(zhǎng)為a的正四面體P-ABC的外接球的表面積變式2：正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2蚯。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。c變式1：底面邊長(zhǎng)為J3的正三棱柱外接球的體積為3,則該三棱柱的體積為3五、確定球心位置法在矩形ABCD中，AB4,BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角A125A.12BACB.D,則四面體1259C.ABCD的外接球的體積為1251256.變式1：三棱錐PABC中，底面則此三棱錐外接球的半徑為()ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PAL底面ABC，且PA2,A.42B.45C.21.如圖，已知四棱錐PABCD,PB±AD.，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面