Riemann猜想漫談(十一)

1、Riemann猜想漫談（十一）作者：盧昌海茶室邂逅Montgomery雖然得到了有關(guān)Riemannt；函數(shù)非平凡零點(diǎn)對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)的猜測(cè)性結(jié)果。但這一結(jié)果究竟有什么深意？對(duì)他來說卻還是一個(gè)謎。他覺得這個(gè)結(jié)果應(yīng)該預(yù)示著某種東西，可那究竟是什么東西呢？他毫無頭緒，這多少讓他感到有些苦惱。帶著他的研究成果，也帶著那幾分苦惱，Montgomery于1972年春天飛往美國圣路易斯參加一個(gè)解析數(shù)論會(huì)議。那趟旅行對(duì)Montgomery有著一舉數(shù)得的意義。除會(huì)議本身外，他還到Michigan大學(xué)（UniversityofMichigan）所在地安娜堡（AnnArbor）買了房子，因?yàn)榇饲安痪盟呀邮芰艘环軲ich

2、igan大學(xué)的工作（Montgomery目前仍在Michigan大學(xué)數(shù)學(xué)系）。至此，那趟旅行可以說已經(jīng)獲得了精神與物質(zhì)的雙重豐收。但在結(jié)束旅行前Montgomery還有一件事情放心不下。我們?cè)诘谌?jié)曾經(jīng)提到過Gauss有一個(gè)“壞毛病”，那就是常常不發(fā)表自己的工作，結(jié)果使得同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家在研究課題上與他“撞車”（與Guass那樣的大師玩“碰碰車”，誰的腦袋先碰破就不必說了）。無獨(dú)有偶，二十世紀(jì)的Princeton高等研究院也出了一位有同樣“壞毛病”的數(shù)學(xué)家，那便是挪威數(shù)學(xué)家AtleSelberg(1917-2019)。Selberg在Riemann猜想的研究中也有著極為重要的地位，我們?cè)诤笪?/p>

3、中將會(huì)更多地介紹他，這里就先不贅述了。讓Montgomery放心不下的就是自己會(huì)不會(huì)與Selberg“撞車”？自己的這項(xiàng)研究工作會(huì)不會(huì)不幸地在Selberg的某一疊草稿紙上已經(jīng)有了？當(dāng)然，除此之外他也很想順便聽聽這位Riemann猜想研究領(lǐng)域中的頂尖高手對(duì)自己這項(xiàng)研究的看法，尤其是想聽聽他對(duì)這項(xiàng)研究背后可能隱藏著的深義的理解。于是在返回英國前他決定在Princeton高等研究院做短暫的停留，以便會(huì)見一下Selberg。Montgomery如愿見到了Selberg。但Selberg聽完了他的工作介紹后只是禮貌地表示了興趣，卻沒有提出具體意見。不過他總算也沒有說：“干得不錯(cuò)，小伙子，但是N年前我就

4、已經(jīng)證明過這樣的結(jié)果了，還是讓Montgomery松了一口氣。見過Selberg，心事算基本了卻了，Montgomery便和他的朋友、印度數(shù)學(xué)家SarvadamanChowla(1907-2019)一同到高等研究院的FuldHall去喝下午茶。喝下午茶是一種很普通的休閑，但對(duì)Princeton高等研究院(以及其它很多美國高校及研究所)來說，卻是學(xué)術(shù)氛圍的一個(gè)重要組成部份。在這一時(shí)間里，來自世界各地、從事不同研究的學(xué)者們?cè)诓枋依锘ハ嗯收?，交流看法，往往?huì)撞擊出一些意想不到的智慧火花。Montgomery的這次下午茶就是一個(gè)很好的例子。Montgomery和Chowla正在喝茶閑聊的時(shí)候，一位物理

5、學(xué)家走了進(jìn)來。在Princeton高等研究院這樣一個(gè)科學(xué)家陣容豪華得近乎奢侈的地方，在隨便哪個(gè)角落碰上的都可能是非同小可的人物。這位漫步走進(jìn)茶室的物理學(xué)家也不例外。此人在二十世紀(jì)中葉曾因證明了量子電動(dòng)力學(xué)(QuantumElectrodynamics)的幾種形式體系彼此等價(jià)，而獲得了很高的聲譽(yù)，也為他贏得了Princeton高等研究院的終生職位。而這項(xiàng)研究還只不過是他科學(xué)生涯中許許多多研究中的一項(xiàng)。他的研究涉及到核物理、凝聚態(tài)物理、天體物理，乃至天體生物學(xué)等諸多領(lǐng)域。這位物理學(xué)家便是來自英國的FreemanDyson(1923-)。在二十世紀(jì)物理殿堂的璀璨群星中Dyson當(dāng)然遠(yuǎn)不是最杰出的，但

6、那個(gè)午后他和Montgomery的世界線在高等研究院的短暫交匯，卻是科學(xué)史上一段令人難忘的佳話，對(duì)于Riemann猜想的研究來說也是一個(gè)奇峰突起的精彩篇章。Chowla是一位交際高手，他一邊和Montgomery喝茶聊天，一邊仍能眼觀六路、耳聽八方。Dyson剛一進(jìn)門就被他發(fā)現(xiàn)了，于是他問Montgomery：“你見過Dyson嗎？”，Montgomery說沒有，Chowla就說我給你引見一下。Montgomery心想自己做的東西和Dyson八桿子都打不著，再說喝完茶就走人了，何必還要特意打擾Dyson呢？就說不必Chowla卻是一個(gè)從來不把“不”字當(dāng)成答案的家伙，Montgomery拽到了D

7、yson跟前(謝謝Chowla！)。就這樣Dyson和Montgomery攀談了起來。遵循著此類談話的固有模式，年長(zhǎng)的Dyson問起了年輕的Montgomery最近在研究什么？Montgomery就把自己對(duì)Riemann工函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布的研究敘述了一下。Dyson禮貌地聽著，他對(duì)這一領(lǐng)域并不熟悉。連本領(lǐng)域的頂尖高手Selberg都未曾發(fā)表具體看法，Montgomery也并不指望對(duì)一個(gè)物理學(xué)家的這番泛泛介紹會(huì)得到比禮貌地點(diǎn)點(diǎn)頭更多的回應(yīng)。但當(dāng)他介紹到自己所猜測(cè)的密度函數(shù)p(t)=1-sin(irt)/Ttt2(詳見第十六節(jié))時(shí)，Dyson的眼睛猛地睜大了！因?yàn)檫@個(gè)讓Montgomery找不到

8、北，甚至連Selberg也看不出端倪來的密度函數(shù)對(duì)Dyson來說卻一點(diǎn)也不陌生，那是所謂的隨機(jī)厄密矩陣(randomHermitianmatrices)本征值的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)。物理學(xué)家們研究這類東西已經(jīng)有二十年了！而且Dyson本人也早在十年前就系統(tǒng)地研究過隨機(jī)矩陣?yán)碚?，是這一領(lǐng)域公認(rèn)的先驅(qū)者之一。即使找遍整個(gè)世界，也不可能找到一個(gè)比Dyson更合適的人來和Montgomery共喝那杯下午茶了。他們的相遇本身就是一個(gè)幸運(yùn)的奇跡注一。十八.隨機(jī)矩陣?yán)碚撋頌槔碚撐锢韺W(xué)家的Dyson如何會(huì)研究起隨機(jī)矩陣?yán)碚搧淼哪?？這當(dāng)然還得從物理學(xué)說起。我們知道，在物理學(xué)上可以嚴(yán)格求解的問題是少之又少的。而且物理理論越

9、發(fā)展，可以嚴(yán)格求解的問題就越少。舉個(gè)例子來說，在Newton引力理論中二體問題可以嚴(yán)格求解，但一般的三體問題就不行注二；到了廣義相對(duì)論中連一般的二體問題也解不出了，只有單體問題還可以嚴(yán)格求解；而到了量子場(chǎng)論中更是連單體問題也解不成了（因?yàn)楦揪筒淮嬖趩误w問題了）。另一方面，現(xiàn)實(shí)物理中的體系卻往往既不是單體，也不是二體或三體，而是多體。這“多”字少則十幾、幾十（比如大一點(diǎn)的原子、分子），多則1023（千萬億億）或更多（比如宏觀體系）。很明顯，對(duì)現(xiàn)實(shí)物理體系的研究離不開各種各樣的近似方法。這其中很重要的一類近似方法就是統(tǒng)計(jì)方法，由此形成了物理學(xué)的一個(gè)重要分支：統(tǒng)計(jì)物理（statisticalphy

10、sics）。在統(tǒng)計(jì)物理中，人們不再著眼于對(duì)物理體系的微觀狀態(tài)進(jìn)行細(xì)致描述（因?yàn)檫@種細(xì)致描述不僅無法做到，而且對(duì)于確定體系的宏觀行為來說是完全不必要的），取而代之的是“系綜”（ensemble）的概念。所謂“系綜”，指的是滿足一定宏觀約束條件的大量全同體系的集合，這些體系的微觀狀態(tài)各不相同，但滿足一定的統(tǒng)計(jì)分布，而我們感興趣的體系的宏觀狀態(tài)則由相應(yīng)的物理量在這些體系上的平均值即所謂的系綜平均值所給出。在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)物理中，組成系綜的那些全同體系具有相同的哈密頓量(Hamiltonian)注三，只有它們的微觀狀態(tài)才是隨機(jī)的。但隨著研究的深入，物理學(xué)家們開始接觸到一些連這種方法也無法處理的物理體系，其

11、中一個(gè)典型的例子就是由大量質(zhì)子和中子組成的原子核。這種體系的相互作用具備了所有可以想象得到的“壞品質(zhì)”(比如耦合常數(shù)很大，不是二體相互作用，不是有心相互作用，等等)，簡(jiǎn)直可以說是“五毒俱全”。對(duì)于這種體系，我們甚至連它的哈密頓量是什么都無法確定。這樣的體系該如何處理呢？很顯然還是離不開統(tǒng)計(jì)的方法，離不開系綜的概念。只不過以前在系綜中哈密頓量是已知的，只有各體系的微觀狀態(tài)是隨機(jī)的，現(xiàn)在卻連哈密頓量也不知道了。既然如此，那就“一不做、二不休”，干脆把哈密頓量也一并隨機(jī)化了。由于在量子理論中哈密頓量可以用矩陣來表示，因此這種帶有隨機(jī)哈密頓量的系綜可以用隨機(jī)矩陣?yán)碚?randommatrixtheor

12、y)來描述。這一點(diǎn)最早是由美籍匈牙利數(shù)學(xué)及物理學(xué)家EugeneWigner(1902-2019)于1951年提出的注四。當(dāng)然，把哈密頓量隨機(jī)化不等于說對(duì)哈密頓量的結(jié)構(gòu)就沒有任何限制了。二十世紀(jì)六十年代初，與Montgomery在茶室里偶遇的這位Dyson對(duì)隨機(jī)矩陣?yán)碚撨M(jìn)行了深入研究，并在1962年一連發(fā)表了五篇非常漂亮的論文。這些論文在隨機(jī)矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展史上具有奠基性的作用。在這些論文中，Dyson證明了由隨機(jī)矩陣?yán)碚撍枋龅奈锢眢w系可以按照其在時(shí)間反演變換T的作用下的變換性質(zhì)，而分為三種類型：如果體系不具有時(shí)間反演不變性，則體系的演化算符為幺正矩陣(unitarymatrices)。如果體系

13、具有時(shí)間反演不變性，且T2=I，則體系的演化算符為正交矩陣(orthogonalmatrices)。如果體系具有時(shí)間反演不變性，且T2=-I，則體系的演化算符為辛矩陣(symplecticmatrices)。這里Dyson用演化算符U取代了哈密頓量H,這兩者之間由U=exp(-iHt)相聯(lián)系。用演化算符的好處是它的參數(shù)空間是緊致(compact)的。除了利用對(duì)稱性對(duì)體系演化算符的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類外，還有一個(gè)需要解決的問題，就是哈密頓量的分布函數(shù)。Dyson引進(jìn)的是Gauss型分布，這是數(shù)學(xué)物理中比較常見的一種分布。在這種分布下具有上述三種對(duì)稱性的系綜分別被稱為：Gauss幺正系綜(Gaussian

14、UnitaryEnsemble簡(jiǎn)稱GUE)、Gauss正交系綜(GaussianOrthogonalEnsemble簡(jiǎn)稱GOE)和Gauss辛系綜(GaussianSymplecticEnsemble簡(jiǎn)稱GSE)。Dyson在得知了Montgomery的密度函數(shù)時(shí)猛然想起的“隨機(jī)厄密矩陣”所描述的正是這三種系綜中的一種即Gauss幺正系綜的哈密頓量(因?yàn)镚auss幺正系綜的演化算符是幺正的，所對(duì)應(yīng)的哈密頓量則是厄密的)，它的幾率測(cè)度定義為Gauss型分布：P(H)dH=Cexp-tr(H2)/2(y2dH其中C為歸一化常數(shù)，H為體系的哈密頓量，為標(biāo)準(zhǔn)差(通常取為2-1/2)。有了哈密頓量，接下

15、來要關(guān)注的當(dāng)然就是能級(jí)分布。對(duì)于一個(gè)量子體系來說，能級(jí)分布無論在理論還是觀測(cè)上都是極其重要的性質(zhì)。這也是隨機(jī)矩陣?yán)碚撝形锢韺W(xué)家們最感興趣的東西之一。物理學(xué)家所說的能級(jí)用數(shù)學(xué)術(shù)語來說就是哈密頓量的本征值(eigenvalue)。那么隨機(jī)厄密矩陣的本征值是怎樣分布的呢？分析表明，一個(gè)N階隨機(jī)厄密矩陣的本征值的分布密度為：P(入1,，入N戶Cexp-2i入i2njk(入j-入k)2其中入1,，入N為本征值，C為歸一化常數(shù)。通過對(duì)這一分布密度的積分，我們可以計(jì)算出隨機(jī)厄密矩陣本征值的各種關(guān)聯(lián)函數(shù)。但是這些關(guān)聯(lián)函數(shù)的表觀復(fù)雜程度與本征值的平均間距有很大關(guān)系，因此我們要先對(duì)本征值做一點(diǎn)處理，以便簡(jiǎn)化結(jié)果。

16、這一處理所依據(jù)的是Wigner曾經(jīng)證明過的一個(gè)結(jié)果，那就是當(dāng)矩陣階數(shù)NHoog,N階隨機(jī)厄密矩陣的本征值趨近于區(qū)間-2（2N）1/2,2（2N）1/2上的半圓狀分布，即：P（入）d入=（8N-入2）1/2d入/4兀其中P（入）d入為區(qū)間（入，入+d入）上的本征值個(gè)數(shù)。這一規(guī)律被稱為Wigner半圓律（Wignersemicirclelaw）。利用這一規(guī)律，我們可以對(duì)本征值做一個(gè)標(biāo)度變換，引進(jìn)：以=入（8N-入2）1/2/4?？梢宰C明（請(qǐng)讀者自己證明），這一變換就像我們?cè)诘谑?jié)中對(duì)Riemannt；函數(shù)零點(diǎn)虛部所做的處理將零點(diǎn)的平均間距歸一化那樣，將本征值的平均間距歸一化為了A以1。在這種間距

17、歸一化的本征值下，關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式變得相對(duì)簡(jiǎn)單，其中對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果為：P2（以1,以2）=1-sin（兀|以2-以1|）/兀|以2-以1|2看到這里，大家想必也和Dyson一樣看出來了，隨機(jī)厄密矩陣本征值的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)正是我們?cè)诘谑?jié)中介紹過的，Montgomery所猜測(cè)的Riemann工函數(shù)非平凡零點(diǎn)的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)！當(dāng)然，那時(shí)候Montgomery用的不是像“對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)”這樣摩登的術(shù)語，事實(shí)上“對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)”這一術(shù)語Montgomery在與Dyson交談前連聽都沒聽說過，他自己用的是像“我正在研究零點(diǎn)間距”那樣土得掉渣的“白話文”。有些讀者可能會(huì)提出這樣一個(gè)問題，那就是哈密頓量的分布為什么要

18、選擇成Gauss型分布？對(duì)于這個(gè)問題，實(shí)用主義的回答是：Gauss型分布是數(shù)學(xué)上比較容易處理的（不要小看這樣的理由，當(dāng)問題復(fù)雜到一定程度時(shí)，這種理由有時(shí)侯是最具有壓倒性的）；稍為深刻一點(diǎn)的回答則是：Gauss型分布在固定的|H|2系綜平均值及標(biāo)準(zhǔn)差下具有最大的熵，換句話說它所描述的是在一定的約束之下具有最大隨機(jī)性的體系；但最深刻的回答卻是：我們其實(shí)并不需要特意選擇Gauss型分布！隨機(jī)矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)非常引人注目的特點(diǎn)便是：在矩陣階數(shù)NHs的極限下它的本征值分布具有普適性（即不依賴于哈密頓量的特定分布）。正是這種普適性使得隨機(jī)矩陣?yán)碚撛趶膹?fù)雜量子體系的能級(jí)分布到無序介質(zhì)中的波動(dòng)現(xiàn)象，從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)到量子混沌，從Ncoo的QCD0二維量子引力的極為廣闊的領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用。但即便把隨機(jī)矩陣?yán)碚撛谒羞@些不同尺度、不同維度、不同領(lǐng)域中的應(yīng)用加在一起，似乎也不如它與Riemannt；函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布之間的關(guān)聯(lián)來得神奇。Montgomery曾經(jīng)為不知道自己的結(jié)果預(yù)示著什么而苦惱，現(xiàn)在他知道了那樣的結(jié)果也出現(xiàn)在由隨機(jī)矩陣?yán)碚撍枋龅囊幌盗形锢憩F(xiàn)象之中。但這是解惑嗎？這與其說是解惑，不如說是一種更大的困惑。像Riemannt；函數(shù)非平凡零點(diǎn)分布這樣最純粹的數(shù)學(xué)性質(zhì)，怎么會(huì)與像復(fù)雜量子體系、無序介質(zhì)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之類的最現(xiàn)實(shí)的物理現(xiàn)象扯上關(guān)系呢？這種神奇的關(guān)聯(lián)本身又預(yù)示著什么呢？注釋