§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)

1、一、線性空間的定義一、線性空間的定義 二、線性空間的簡單性質(zhì)二、線性空間的簡單性質(zhì)12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律而且這兩種運算滿足一些重要的規(guī)律, ,如如 引例引例1 1空間空間Pn，定義了兩個向量的加法和數(shù)量乘法：，定義了兩個向量的加法和數(shù)量乘法： 在第三章在第三章2中，我們討論了數(shù)域中，我們討論了數(shù)域P上的上的n維向量維向量0()()()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即

2、 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f xg xg xf x 引例引例2 2數(shù)域數(shù)域P上的一元多頂式環(huán)上的一元多頂式環(huán)Px中，定義了兩個多中，定義了兩個多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法，而且這兩種運算項式的加法和數(shù)與多項式的乘法，而且這兩種運算( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x() ( )( )( )kl f xkf xlf x( ( )( )( )( )k

3、f xg xkf xkg x設設V是一個非空集合，是一個非空集合，P是一個數(shù)域，在集合是一個數(shù)域，在集合V中中定義了一種代數(shù)運算，叫做定義了一種代數(shù)運算，叫做加法加法：即：即對，對， ,V 在在V中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為 的的和和，記為，記為 ；在；在P與與V的元素之間還的元素之間還與定義了一種運算，叫做定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法數(shù)量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個元素中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱與它們對應，稱為為 的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積，記為，記為 如果加法和數(shù)量乘如果加法和數(shù)量乘k與.k法還滿足下述規(guī)則，則稱法還滿足

4、下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域為數(shù)域P上的上的線性空間線性空間：加法滿足下列四條規(guī)則：加法滿足下列四條規(guī)則： 對對 ,V都有都有V中的一個元素中的一個元素，使得，使得 1 ()()k lkl 數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則： ()klkl 在在V中有一個元素中有一個元素0，對，對,0V有有（具有這個性質(zhì)的元素（具有這個性質(zhì)的元素0稱為稱為V的的零元素零元素） 數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則 :; ;（稱為稱為 的的負元素負元素） 0 ()(),V ()kkk3 線性空間的判定：線性空間的判定：注：注：1 凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也凡滿足以上八

5、條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也2線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量，線性空間也稱，線性空間也稱向量空間向量空間但這里的向量不一定是有序數(shù)組但這里的向量不一定是有序數(shù)組稱為稱為線性運算線性運算就不能構(gòu)成線性空間就不能構(gòu)成線性空間 運算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合運算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者若集合對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px 均為數(shù)域均為數(shù)域 P上的線性空間上的線性空間例例2數(shù)域數(shù)域 P上的次數(shù)小于上的次數(shù)小于 n 的多項式的全體，再添的多項式的全體，再添用用 表示表示

6、m nP的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域 P上的一個線性空間，上的一個線性空間，法構(gòu)成數(shù)域法構(gòu)成數(shù)域 P上的一個線性空間，常用上的一個線性空間，常用 Pxn表示表示上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數(shù)量乘上零多項式作成的集合，按多項式的加法和數(shù)量乘1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3數(shù)域數(shù)域 P上上 矩陣的全體作成的集合矩陣的全體作成的集合, ,按矩陣按矩陣mn 例例5全體正實數(shù)全體正實數(shù)R，logbaabkk aaabab kk aa判斷判斷 R是否構(gòu)成實數(shù)域是否構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間上的線性空間 .1) 1) 加法與數(shù)量乘法

7、定義為：加法與數(shù)量乘法定義為： ,a bRkR 2) 2) 加法與數(shù)量乘法定義為：加法與數(shù)量乘法定義為： ,a bRkR 例例4任一數(shù)域任一數(shù)域 P 按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個按照本身的加法與乘法構(gòu)成一個數(shù)域數(shù)域P上的線性空間上的線性空間1）R不構(gòu)成實數(shù)域不構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間. . 不封閉，如不封閉，如 12212log12 R 2) R構(gòu)成實數(shù)域構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間 首先，首先，R ，且加法和數(shù)量乘法對，且加法和數(shù)量乘法對R是封閉的是封閉的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一確定唯一確定 解：解：,a bRababR , ,且且 ab 唯

8、一確定；唯一確定； 事實上事實上, , 其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； a R， 1a R，且，且 111aaaa 即即a 的負元素是的負元素是 ；1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklkl ak aaaakla;()()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R構(gòu)成實數(shù)域構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間上的線性空間 ;()()k ak b即即n階方

9、陣階方陣A的實系數(shù)多項式的全體，則的實系數(shù)多項式的全體，則V關于矩陣關于矩陣例例6令令 ( )( ) ,n nVf A f xR xAR 的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實數(shù)域的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間證：根據(jù)矩陣的加法和數(shù)量乘法運算可知證：根據(jù)矩陣的加法和數(shù)量乘法運算可知( )( )( ),( )( )f Ag Ah Akf Ad A其中，其中，,( ), ( ) kRh x d AR x又又V中含有中含有A的零多項式，即零矩陣的零多項式，即零矩陣0，為，為V的零元素的零元素.以以 f(x) 的各項系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項式記為的各項系數(shù)的相反數(shù)為系數(shù)作成的多項式記為f(x

10、) ，則，則 f(A)有負元素有負元素f(A). 由于矩陣的加法與數(shù)由于矩陣的加法與數(shù)乘滿足其他各條，故乘滿足其他各條，故V為實數(shù)域為實數(shù)域R上的線性空間上的線性空間.1、零元素是唯一的零元素是唯一的. . 2、 ，的負元素是唯一的，記為，的負元素是唯一的，記為- - V 證明：假設證明：假設 有兩個負元素有兩個負元素 、 ，則有，則有利用負元素，我們定義利用負元素，我們定義減法減法： 01010202證明：假設線性空間證明：假設線性空間V有兩個零元素有兩個零元素01、02，則有，則有0()()()0 0,0() 兩邊加上兩邊加上 即得即得 0 0 0； (0)0kkkk兩邊加上兩邊加上 k；即得；即得k 00 ;( 1 )1( 1 )(1 1)00 兩邊加上兩邊加上 即得即得 ( 1); ()()kkkk 即得即得 兩邊加上兩邊加上 k().kkk 00,00, ( 1),()kkkk 3、 0(01),證明：證明：4、如果如果k0，那么，那么k0或或 0. 111()()00.k kkkk證明：假若則證明：假若則0,k 練習：練習：1 1、P P273273：習題：習題3 31 1）2 2）4 4）2 2、證明：數(shù)域、證明：數(shù)域P上的線性空間上的線性空間V若含有一個非零若含有一個非零向量，則向量，則V一定含有無窮多個向量一定含有無窮多個向量. .證：設證：設,0V且