t6-近獨(dú)立粒子的最概然分布

1、第六章第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布近獨(dú)立粒子的最概然分布 基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的描述熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的描述 等概率原理等概率原理 三種分布三種分布6 6-1 -1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述一一. .粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 粒子：指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 例：氣體中的分子 金屬中的離子和電子 輻射場(chǎng)中的光子 粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。 如果粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述稱為量子描述。rrppppqqqq,

2、321321：廣義動(dòng)量廣義坐標(biāo)）；（rrpppqqq,2121）；：（rrpppqqq,2121空間 設(shè)粒子的自由度數(shù)r（能夠完全確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目），粒子在任一時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（或者微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）由2r個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量確定：二二. .粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述 粒子的能量是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)： 如果有外場(chǎng)，粒子的能量還是外場(chǎng)的函數(shù)。由2r個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量張成的2r維直角坐標(biāo)空間：空間 空間中任何一點(diǎn)代表力學(xué)體系中一個(gè)粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)稱為粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在空間中移動(dòng)，描畫(huà)出一條軌跡。 1.

3、1.三維自由粒子三維自由粒子自由度：3；空間維數(shù)：6zmppymppxmppzyx321 ：廣義動(dòng)量能量：)(21222zyxpppm能量球面半徑：mr2zqyqxq321 ：廣義坐標(biāo)三三. .例子例子dtdAA 以一維自由粒子為例，以 為直角坐標(biāo)，構(gòu)成二維的 空間，設(shè)一維容器的長(zhǎng)度為 ，粒子的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 可以用 空間在一定范圍內(nèi)的一點(diǎn)代表:xpx,L),(xpxOxpxL),(xpx能量：222212xmmp2.線性諧振子自由度： 1空間維數(shù)：2xmp：廣義動(dòng)量能量橢圓122222mxmpxp; xq ：廣義坐標(biāo) 質(zhì)量為m的粒子在彈性力 作用下,將在原點(diǎn)附近作圓頻率 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為線性諧

4、振子。AxfmA3. 轉(zhuǎn)子質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)下的能量：)(21222zyxm坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示:cossinrx sinsinry cosrz oxyzA考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)被具有固定長(zhǎng)度的輕桿輕桿系于原點(diǎn)O時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)。 sinsincoscoscossinrrrxcossinsincoscossinrrrysincosrrz)sin(21222222rrrm0r )sin(2122222rrm考慮質(zhì)點(diǎn)和原點(diǎn)的距離保持不變 ，于是：自由度：2空間維數(shù)：4廣義坐標(biāo)：)20( ),0( 21qq廣義動(dòng)量： sin22221mrppmrpp;2 )sin1(212222IMppI能量：如何出來(lái)的？能量的形

5、式和轉(zhuǎn)子的對(duì)稱性有關(guān)。轉(zhuǎn)子的拉格朗日量： )() sin(21 )()(2122222222rVrrmrVzyxmVTL sin222mrLpmrLp轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2 mrI 廣義動(dòng)量的形式和轉(zhuǎn)子的拉格朗日量有關(guān)。平面內(nèi)：在方向，因此軸向在標(biāo)，可以使得角動(dòng)量方行對(duì)比）。適當(dāng)選擇坐力學(xué)中的角動(dòng)量守恒進(jìn)（注意和量子和方向都不隨時(shí)間改變是一個(gè)守恒量，其大小 角動(dòng)量沒(méi)有力矩，轉(zhuǎn)子的總對(duì)之間為中心力，因此由于輕桿沒(méi)有質(zhì)量，故 yxAz prMAOOA0 2pIpppI2 )sin1(212222z方向的角動(dòng)量：pmrmrxyyxmypxpLxyz sincos )(2222IMILz22 22rpMOAz6

6、6-2 -2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子性與波動(dòng)性）德布羅意關(guān)系(1924年)：不確定性關(guān)系（1925年）kp ;hpq其中sJ10626. 6234h都稱為普朗克常數(shù)。 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)來(lái)描述的，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)往往可以由一組量子數(shù)來(lái)表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。 微觀粒子不可能同時(shí)有確定的動(dòng)量和坐標(biāo),經(jīng)典描述失效微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng) 微觀粒子的能量是不連續(xù)的,分立的能量稱為能級(jí)。 如果一個(gè)能級(jí)的量子態(tài)不止一個(gè)，該能級(jí)就稱為簡(jiǎn)并的。 一個(gè)能級(jí)的量子態(tài)數(shù)稱為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度。 如果一

7、個(gè)能級(jí)只有量子態(tài)，該能級(jí)稱為非簡(jiǎn)并的。 普朗克常數(shù)的量綱： 時(shí)間能量=長(zhǎng)度動(dòng)量=角動(dòng)量具有這樣量綱的一個(gè)物理量通常稱為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個(gè)作用量子常作為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。一、自旋一、自旋電子(質(zhì)子、中子等)具有內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋）和內(nèi)稟磁矩內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋）和內(nèi)稟磁矩,關(guān)系為：自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影（比如說(shuō) z 軸）只能取兩個(gè)值:;21SzmS在外磁場(chǎng)中的勢(shì)能為BmeBmmeBBUSzz2量子數(shù)（磁）稱為自旋21Sm Sme二、線性諧振子二、線性諧振子, 2 , 1 , 0 );21(nnn圓頻率為 的線性諧振子的能量可能值為所有能級(jí)等間距，

8、均為 ,每一個(gè)能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的，即簡(jiǎn)并度為1。三、轉(zhuǎn)子三、轉(zhuǎn)子, 2 , 1 , 0 ) 1(22lllMIlll2) 1(2基態(tài)非簡(jiǎn)并，激發(fā)態(tài)簡(jiǎn)并，簡(jiǎn)并度：12 l轉(zhuǎn)子的能量:IM22量子理論要求: 固定l，角動(dòng)量在空間任意方向上（比如說(shuō) z 軸）的投影:稱為磁量子數(shù) , 1, ;lllmmMz轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由l和m兩個(gè)量子數(shù)表征。 ),(lmY 轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即量子態(tài)用球諧函數(shù) 描寫(xiě)，它由l和m兩個(gè)量子數(shù)表征，l稱為角動(dòng)量量子數(shù)，一般為非負(fù)整數(shù)。 四、自由粒子四、自由粒子一維自由粒子：, 2 , 1 , 0 ,xxnnL 考慮處于長(zhǎng)度為 的一維容器中自由粒子。采用周期性邊界條件，其德布羅意

9、波長(zhǎng) 滿足：L, 2, 1, 0,2 ,2xxxxnnLkk：又 ,：得 代入德布羅意關(guān)系式xxkp, 2, 1, 0 ;22 22222xxxnnnLmpx:由此得到能量基態(tài)能級(jí)為非簡(jiǎn)并，激發(fā)態(tài)為二度簡(jiǎn)并。xxnLp2 三維自由粒子zzyyxxnLpnLpnLp222, 2, 1, 0,zyxnnn 考慮處于長(zhǎng)度為L(zhǎng)的三維容器中自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 假設(shè)此粒子限制在一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方盒子中運(yùn)動(dòng)，仿照一維粒子的情形，該粒子在三個(gè)方向動(dòng)量的可能值為：量子數(shù)：3個(gè)zyxnnn,3222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyxn能量的可能值為222zyxnnn能量值決定于： 比如對(duì)于：12

10、22zyxnnn,222m有六個(gè)量子態(tài)與之對(duì)應(yīng)，) 1 , 0 , 0() 1, 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 1, 0( )0 , 0 , 1 ()0 , 0 , 1(基態(tài)能級(jí)為非簡(jiǎn)并，激發(fā)態(tài)為6度簡(jiǎn)并。:的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到相差為1，因此在且相鄰兩個(gè)是一一對(duì)應(yīng)的，與內(nèi)運(yùn)動(dòng)，顯然，容器考慮粒子在宏觀大小的 xxxxxxxpdpppnnpLV3xxdpLdn2:的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到在同理yyyypdppp，yydpLdn2zzdpLdn233)2(hdpdpVdpdpdpdpLdndndnzyxzyxzyx:的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到在zzzzpdppp:自由粒子的量

11、子態(tài)數(shù)為的范圍內(nèi)，到到到內(nèi)，動(dòng)量在表征，因此容器）（或者三個(gè)量子數(shù)由動(dòng)量的三個(gè)分量由于自由粒子的量子態(tài) zzzyyyxxxzyxzyxdpp，pdpp，pdpppLV、n、nn、p、pp3進(jìn)一步理解這個(gè)式子，我們?cè)诳臻g中引入相格的概念。 首先，注意到 是空間中的一個(gè)體積元；zyxzyxdpdpVdpdpdpdpL3 其次，普朗克常數(shù)h的量綱： h=時(shí)間能量=長(zhǎng)度動(dòng)量 h3=長(zhǎng)度3動(dòng)量3h3是空間中的一個(gè)體積，稱之為一個(gè)相格。 進(jìn)一步說(shuō)明： 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)必須遵守不確定性關(guān)系，不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)，所以量子態(tài)不能用空間的一點(diǎn)來(lái)描述，如果硬要沿用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量描述量子態(tài)，那么一個(gè)狀態(tài)

12、必然對(duì)應(yīng)于空間中的一個(gè)體積元（相格），而不是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)體積元稱為量子相格。hpqrrrhppqq113hdpdpVdpdndndnzyxzyx右邊表示在空間中以h3為單位的相格的個(gè)數(shù)，左邊表示量子態(tài)的數(shù)目。一個(gè)相格h3 內(nèi)只有一個(gè)量子態(tài) 自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù)：如果自由度為r，相格大小為：對(duì)動(dòng)量采用球坐標(biāo)：cossinsincossinppppppzyxopxpypzddpdpdpdpdpzyxsin2dppDdpphV)(423：積分對(duì) 20:,0:4sin020 ddddpdhVphdpdpVdpdndndnzyxzyx323sin:自由粒子的量子態(tài)數(shù)為的范圍內(nèi)，到到方向

13、在到在大小內(nèi)，動(dòng)量體積 d，ddp，ppV:自由粒子的量子態(tài)數(shù)為到在大小內(nèi)，動(dòng)量體積dp，ppVD(p)表示單位動(dòng)量大小間隔范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)，稱為動(dòng)量空間的態(tài)密度。對(duì)非相對(duì)論性的自由粒子，有：mp22dpmpd22dmhVdD21233)2(2)( 表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，稱為能量態(tài)密度，簡(jiǎn)稱為態(tài)密度。 )(D:自由粒子的量子態(tài)數(shù)為到在大小量能內(nèi)，體積，dV 注意： 以上討論沒(méi)有考慮自旋，并且考慮到是非相對(duì)論性的粒子。 如果粒子的自旋不為零，比如電子自旋為1/2，光子自旋為1，由于自旋角動(dòng)量在動(dòng)量方向上的投影有兩個(gè)可能值（前面已提到，自旋角動(dòng)量在空間中的任意一個(gè)方向的投影有兩個(gè)可

14、能值），也就是說(shuō)，有兩個(gè)不同的狀態(tài)，因此上面的量子態(tài)數(shù)公式需乘以2：dmhVdD21233)2(22)(6 6-3 -3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一一. .相關(guān)概念相關(guān)概念;1NiiE1 1. .系統(tǒng)系統(tǒng)熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中研究的對(duì)象都是由大量微觀粒子構(gòu)成的系統(tǒng)。2.2.近獨(dú)立粒子近獨(dú)立粒子我們現(xiàn)在只討論：近獨(dú)立的全同粒子構(gòu)成的系統(tǒng) （適用于第六七八章內(nèi)容）粒子之間的相互作用很弱，可以忽略系統(tǒng)的能量為單個(gè)粒子的能量之和：N為系統(tǒng)的粒子的總數(shù));,(外場(chǎng)參量iiiipq二二. . 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述3.3.全同粒子全同粒子粒子的質(zhì)量、電荷、自

15、旋都相同。4.4.系統(tǒng)的微觀狀態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)指構(gòu)成系統(tǒng)的所有粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 假設(shè)系統(tǒng)有N個(gè)粒子，每一個(gè)粒子的自由度為r，第i個(gè)粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量來(lái)描述： 當(dāng)組成系統(tǒng)的N個(gè)粒子在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都確定時(shí)，也就確定了整個(gè)系統(tǒng)的在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 因此，確定系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要2Nr個(gè)變量。;,21riiiqqqriiippp,21 一個(gè)粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在空間中用一個(gè)點(diǎn)表示； 由N個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)在某時(shí)刻的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在空間中用N個(gè)點(diǎn)表示； 如果交換兩個(gè)代表點(diǎn)在空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。 經(jīng)典力學(xué)中，全同粒子是可以分辨

16、的（因?yàn)榻?jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)是軌道運(yùn)動(dòng)，原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。形象描述： 121.1.微觀粒子的全同性原理微觀粒子的全同性原理三三. . 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子力學(xué)描述系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子力學(xué)描述微觀粒子的波粒二相性（微觀世界的基本特征）不確定性關(guān)系微觀粒子不是軌道運(yùn)動(dòng)全同的微觀粒子不可分辨2.2.量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)的微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)的微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？全同的粒子可以分辨全同的粒子不可分辨確定每一個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)確定每一粒子的量子態(tài)（1924年，印度人玻色（Bose）首次

17、提出）（定域系統(tǒng)）（非定域系統(tǒng)） 一個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則（幾乎普遍適用）： 由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子； 由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子； 由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費(fèi)米子。 He H H421原子為玻色子原子，原子，b）玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子。 如：光子、介子等。a）費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子。 如：電子、質(zhì)子、中子等。3.3.玻色子與費(fèi)米子玻色子與費(fèi)米子 He H H332原子為費(fèi)米子原子，原子，例子： 費(fèi)米子遵從泡利不相容原理泡利不相容原理: 在含有多個(gè)全同近獨(dú)立費(fèi)米子的系統(tǒng)，占據(jù)一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的費(fèi)米子不可能超過(guò)一個(gè)。 玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。4.4.

18、玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng): 由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成； 特點(diǎn)：處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。 玻色系統(tǒng): 由不可分辨的全同近獨(dú)立的玻色粒子組成； 特點(diǎn)：不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。 費(fèi)米系統(tǒng): 由不可分辨的全同近獨(dú)立的費(fèi)米粒子組成； 特點(diǎn)：受泡利不相容原理的約束，即處在同一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)最多只能為1個(gè)粒子。 設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成，粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè)，如果這兩個(gè)粒子分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)時(shí)，試分別討論系統(tǒng)各有那些可能的微觀狀態(tài)？量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài) 31AB2AB

19、3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA對(duì)于玻爾茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）可有9種不同的微觀狀態(tài)：量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA4AA5AA6AA對(duì)于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)：量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)31AA2AA3AA對(duì)于費(fèi)米系統(tǒng)，可以有3個(gè)不同的微觀狀態(tài)：粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3玻耳茲曼系統(tǒng)A BA BA BABBAABBAABBA玻色系統(tǒng)A AA AA AAAAAAA費(fèi)米系統(tǒng)AAAAAA分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù)分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù) 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)基

20、礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)。 量子統(tǒng)計(jì)力學(xué) 在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)稱為量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)。兩者在統(tǒng)計(jì)上的原理上相同，區(qū)別在于對(duì)微觀粒子的描述。力學(xué)（經(jīng)典力學(xué)或量子力學(xué)）+統(tǒng)計(jì)學(xué)原理=統(tǒng)計(jì)力學(xué)（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)） 6-4 6-4 等概率原理等概率原理 系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)：指熱力學(xué)中討論的系統(tǒng)的狀態(tài)，即熱力學(xué)宏觀態(tài)，由一組參量表示，如總粒子數(shù)N、總能量E、體積V。 為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒(méi)必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化，只要知道各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計(jì)方法求微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理的根本問(wèn)題。例1：孤立系統(tǒng)的總粒子數(shù)N （不是

21、開(kāi)系）、總能量E （外界不做功也不傳熱）、體積V （外界不做功）不變。 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)：參考6-3所講述的內(nèi)容。 在經(jīng)典力學(xué)中，系統(tǒng)由2Nr個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量描述。 在量子力學(xué)中，確定系統(tǒng)每一個(gè)粒子的量子態(tài)（定域系統(tǒng)） 或者，確定每一個(gè)量子態(tài)上有多少個(gè)粒子（非定域系統(tǒng)）例2：和大熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)的總粒子數(shù)N （是閉系） 、溫度T （和大熱源接觸） 、體積V （外界不做功）不變。 為什么需要這個(gè)原理？為什么需要這個(gè)原理？：。 對(duì)于處于平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)由N、E、V 確定，但系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是大量的，并且發(fā)生著復(fù)雜的變化，在相同的宏觀條件下，沒(méi)有理由

22、認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大一些，很自然認(rèn)為，這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。 也就是說(shuō)，對(duì)于孤立系統(tǒng)，在相同的宏觀條件下，系統(tǒng)的各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。等概率原理： 等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)合理的基本假設(shè)，該原理不能從更基本的原理推出，也不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證，它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實(shí)際相符而得到肯定。 正確性？正確性？6 6-5 -5 分布與微觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù)一一. . 分布分布 設(shè)有一個(gè)系統(tǒng)，由大量的近獨(dú)立粒子構(gòu)成，具有確定的N、E、V ，對(duì)于確定的宏觀狀態(tài)下，如果系統(tǒng)的粒子按能級(jí)作如下排列： 能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)： , , , ,21l , , ,

23、,21l , , , ,21laaa滿足限制條件：數(shù)了每一個(gè)能級(jí)上的粒子稱為一個(gè)分布，它給出把數(shù)列,laEaNalllll 給定了一個(gè)分布，只能確定處在每一個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是兩個(gè)性質(zhì)不同的概念。 微觀狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運(yùn)動(dòng)特征。 例如：在某一能級(jí)上，假設(shè)有3個(gè)粒子，這三個(gè)粒子是如何占據(jù)該能級(jí)的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)是什么樣的，我們需要確定。 本節(jié)的主要任務(wù)是：在給定的一個(gè)分布下，計(jì)算系統(tǒng)的微在給定的一個(gè)分布下，計(jì)算系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)觀狀態(tài)數(shù)。 同一個(gè)分布對(duì)于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài)數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論。 涉及到

24、的數(shù)學(xué)就是高中的排列組合問(wèn)題排列組合問(wèn)題。 玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，若對(duì)粒子加以編號(hào)，則 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 的 個(gè)量子態(tài)時(shí)，是彼此獨(dú)立、互不關(guān)聯(lián)的。lall二二. . 玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)lalallllallN!lallllaN!llallalllBMaNaNll!.分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： 玻色系統(tǒng)的粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)能容納的粒子個(gè)數(shù)不受限制。12345lall)!1(lla三三. . 玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 首先 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)可能方式為： 考慮到粒子的不可分辨性，交換 個(gè)粒子不產(chǎn)生新的狀態(tài)；同時(shí)，在上圖中

25、，交換 個(gè)量子態(tài)(注意固定一個(gè)量子態(tài))也不產(chǎn)生新的微觀狀態(tài)，因此，在上式中，要除以粒子的交換數(shù)和量子態(tài)的交換數(shù)，故得：)!1( !/)!1(llllaa 將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： la) 1(llllllEBaa)!1( !)!1(. 費(fèi)米系統(tǒng)的粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)，相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中挑出 個(gè)來(lái)為粒子所占據(jù)，有 種可能的方式。 lalllla)!( !/ !llllaa四四. . 費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 將各能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：lllll

26、DFaa)!( !.:1個(gè)盒子1簡(jiǎn)單理解：簡(jiǎn)單理解：:2盒子個(gè)2:l盒子個(gè)l個(gè)球放入1a個(gè)球放入2a個(gè)球放入la 1.1.玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不受到限制，因此問(wèn)題就是：數(shù)不受到限制，因此問(wèn)題就是： 2.2.玻色系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不玻色系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不受到限制，因此問(wèn)題就是：受到限制，因此問(wèn)題就是： 3.3.費(fèi)米系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不費(fèi)米系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個(gè)量子態(tài)上粒子數(shù)不會(huì)超過(guò)會(huì)超過(guò)1 1，因此問(wèn)題就是：，因此問(wèn)題就是：N個(gè)個(gè)完全不相同完全

27、不相同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？N個(gè)個(gè)完全相同完全相同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？N個(gè)個(gè)完全相同完全相同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？對(duì)所有能級(jí) ; 1lla五五. .經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件則稱滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡(jiǎn)并性條件。 如果在玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)中，任一能級(jí)上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級(jí)的量子態(tài)數(shù)，即：lllllEBaa)!1( !)!1(.lllllllaaa!)2)(1(llalal!.NBMlllllDFaa)!( !.llllllaa!) 1() 1(llalal!.NBMlall!.

28、NBMDFEB!1 N 在玻色和費(fèi)米系統(tǒng)中， 個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) 上的 個(gè)量子態(tài)時(shí)本來(lái)是有關(guān)聯(lián)的，但在滿足經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略（這也是經(jīng)典極限條件稱為非簡(jiǎn)并性條件的原因）。這時(shí)，全同性的影響只表現(xiàn)在因子 上。1lla0hpqrrrhppqq0110h 對(duì)于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對(duì)坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)量總存在一定的誤差，假設(shè)：六六. .經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)這時(shí)經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用一個(gè)點(diǎn)表示，而必須用一個(gè)體積元表示，該體積元的大小為：它表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格，這里 由測(cè)量精度決

29、定，它最小值為普朗克常數(shù)，在經(jīng)典物理學(xué)中，它沒(méi)有下限。 現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元 ，以 表示運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處在 內(nèi)的粒子所具有的能量， 內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為 ，這樣， 個(gè)粒子處在各 的分布可表示為 。lalllNllrlh0能級(jí)：簡(jiǎn)并度：粒子數(shù)：,21l,21laaa,00201rlrrhhh體 積 元: ,21l 由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個(gè)相格內(nèi)的粒子個(gè)數(shù)不受限制，所以經(jīng)典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以與分布 相應(yīng)的經(jīng)典系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：lalalrlllclhaN 0.!玻耳茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)經(jīng)典系統(tǒng)lallllBMaN! .)!1( !)!1(.lllllEBaa)!( !

30、.lllllDFaalallllclhaN) ( ! ! 0微觀狀態(tài)數(shù) 對(duì)于不同的分布，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。 可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。 6 6-6 -6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 等概率原理：對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾率是相等的。一一. 最概然分布最概然分布 微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最概然分布。 下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 玻耳茲曼系統(tǒng)真正的應(yīng)用是：定域系統(tǒng) （固體的統(tǒng)計(jì)物理問(wèn)題：順磁性固體；固體的熱容量問(wèn)題）的整數(shù)是遠(yuǎn)大于1 );1(ln!lnmmmm斯特令公式：三三. 玻玻耳耳茲曼分布茲曼分布二

31、二. 條件極值和拉格朗日乘法條件極值和拉格朗日乘法參見(jiàn)：陳傳璋等，數(shù)學(xué)分析下冊(cè)P196。lalllBMlaN!.lllllaaNln!ln!lnlnllllllaaaNNln) 1(ln) 1(lnlnllllllaaaNNlnlnln這些不完全是獨(dú)立的，必須滿足兩個(gè)約束條件：; 0llaN0lllaE引入兩個(gè)拉格朗日不定乘子 和 ，定義拉格朗日函數(shù)：0lllaFaLlallllllaaaNNFln) 1(ln) 1(lnlnlllllaEaNFL;llaNlllaE即：有極值等價(jià)于F有極值，有極值的必要條件為：0)ln(lllaleall lllllllaaaaFlnlnlnln1ln以上是微觀狀態(tài)數(shù)有極值的的必要條件，下面驗(yàn)證，這個(gè)極值也是極大的：llllaa)ln(ln0)()ln(ln22llllllaaaallllaaFalnln是極大值;llleNlllleE玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為 的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)：ssefs;sseNssseE上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布玻耳茲曼系統(tǒng)