循序漸進(jìn)-深化理解-談函數(shù)圖象的教學(xué)

1、初中數(shù)學(xué)循序漸進(jìn) 深化理解從初中學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題思考函數(shù)的圖象教學(xué)株洲市楓葉中學(xué) 王芬內(nèi)容提要：函數(shù)的圖象是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐列出了學(xué)生在這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中存在的困難，從認(rèn)知心理的角度分析了困難的原因所在，并提出了相應(yīng)的教學(xué)建議。關(guān)鍵詞：函數(shù)的圖象，由形到數(shù)，由數(shù)到形，數(shù)形結(jié)合。函數(shù)知識(shí)與思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)概念有著文字語(yǔ)言、符號(hào)、表格、圖形等各種表征，學(xué)生通過對(duì)函數(shù)各種表達(dá)方式的領(lǐng)會(huì)與掌握，可以達(dá)到對(duì)函數(shù)本質(zhì)思想的理解。圖象是函數(shù)的極重要的一種表達(dá)形式，它能使函數(shù)中變量間的關(guān)系直觀化、形象化，數(shù)形結(jié)合則是研究函數(shù)性質(zhì)、運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的重要思想工具。然

2、而對(duì)這一內(nèi)容學(xué)生普遍感到困難。這些困難表現(xiàn)在哪些方面？為什么會(huì)存在這些困難？如何通過教學(xué)干預(yù)幫助學(xué)生克服？這將是筆者在本文中要與各位同行探討的問題。一、 圖象學(xué)習(xí)的困難所在從與函數(shù)的圖象有關(guān)的問題的解決來看，學(xué)生的困難不外乎三個(gè)方面：由數(shù)到形的困難；由形到數(shù)的困難；數(shù)形結(jié)合的困難。下面分別進(jìn)行探討。（一） 由數(shù)到形的困難案例1 （選自湘教版八年級(jí)上冊(cè)2.1函數(shù)和它的表示法習(xí)題B組） 某一天小明從家里走路去學(xué)校，開始10分鐘，他每分鐘走60米；然后他越走越快，過了5分鐘后，他每分鐘走80米，再過6分鐘，到達(dá)了學(xué)校，小明走路的速度是時(shí)間的函數(shù)，畫出這個(gè)函數(shù)可能的圖象。對(duì)此問題，學(xué)生的反應(yīng)各有不同，

3、大致有以下幾中表現(xiàn)：大多數(shù)感到不知如何下手，反復(fù)看題對(duì)問題中給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，比如計(jì)算6010，806等；畫了一個(gè)坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)取名分鐘，縱坐標(biāo)沒取名，部分不知如何繼續(xù)下去，部分在畫一開始就上升的直線；。，學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，卻沒有學(xué)習(xí)用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象，他的表現(xiàn)很有意思：讀完第一遍題目后再細(xì)讀題目時(shí)，他列出了（10，60），（15，80），（21，？）這樣幾個(gè)數(shù)對(duì)，念叨著“這意味著圖象上有這么幾個(gè)點(diǎn)，那么21，多少呢？先不管它”。然后他開始畫圖象，他建立的坐標(biāo)系橫軸名x，縱軸名y, 都沒標(biāo)注單位，在坐標(biāo)系內(nèi)他描上前兩個(gè)點(diǎn)，然后將原點(diǎn)和所描點(diǎn)順次連結(jié)起來，以下是我指導(dǎo)他更正的過程記

4、錄：師：為什么要連上原點(diǎn)？生：開始的時(shí)候速度一定是等于零的呀，t=0時(shí)一定有的v=0的”。師：不一定，我們從開始走的時(shí)候計(jì)時(shí)，也就是說，從一開始，他的速度就是每分鐘60米。生：哦，這也是可以的。（仍舊畫不出圖象）師：你注意到了沒有，速度這個(gè)量在前10分鐘一直是保持不變的，怎樣在圖象上體現(xiàn)這一點(diǎn)呢？生：（恍然）哦，我明白了，一條水平的線，縱坐標(biāo)不變。（畫出正確的圖象）師：為什么在第二段圖象是上升的呀？生：因?yàn)榭v坐標(biāo)v會(huì)隨著時(shí)間的增加而增大呀。從上面的案例我們可以看到，除了在題意的理解方面存在困難之外，在由數(shù)到形方面，學(xué)生存在的困難有：（1）不會(huì)根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，對(duì)于用橫坐標(biāo)表示自

5、變量，用縱坐標(biāo)表示因變量這一規(guī)則并不是太熟悉；（2）對(duì)于問題中給出的已知數(shù)據(jù)對(duì)，不能轉(zhuǎn)換為用坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示；也即不會(huì)描點(diǎn)來表示問題中的的某一種狀態(tài)；（3）不會(huì)用線段的升降趨勢(shì)來描繪函數(shù)值跟隨自變量的變化而變化的趨勢(shì)；（二） 由形到數(shù)的困難也許學(xué)生用文字語(yǔ)言去描述一些熟悉的問題的函數(shù)圖象時(shí)的困難不明顯，但是轉(zhuǎn)化為用符號(hào)語(yǔ)言表征就有困難了，由形到數(shù)的困難主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1） 不能結(jié)合圖象的特征把握函數(shù)的性質(zhì)，如對(duì)一次函數(shù)，不能從直線的方向判斷一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值大小，或者是雖然知道但是并不理解為什么；（2） 不能用符號(hào)語(yǔ)言來描述圖象特征，例如，對(duì)于已知的不平行于軸和軸的直線兩點(diǎn)，

6、不能從的大小關(guān)系來判斷的大小關(guān)系，或者反之；（3） 不能對(duì)兩個(gè)函數(shù)的圖象進(jìn)行比較得出有關(guān)信息，例如不能理解曲線交點(diǎn)就是由曲線方程聯(lián)立的方程組的解，不能比較兩個(gè)函數(shù)值的大小等。（三）數(shù)形結(jié)合的困難案例2 如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是 。xy032.8解決這個(gè)問題，學(xué)生需從以下方面進(jìn)行思考，或者明白以下問題：（1）在圖象上表示什么？（2）圖象上橫坐標(biāo)小于零的點(diǎn)是哪些？你能不能畫出來？（3）所畫出來的這些點(diǎn)（位于第二象限）的縱坐標(biāo)又有什么特點(diǎn)？ 學(xué)生解決此題的困難部分在于不能回答上述這些問題，更主要的是在于不會(huì)主動(dòng)去進(jìn)行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換，也就是沒有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和自覺性，在由

7、數(shù)到形和由形到數(shù)兩種困難之外，還有就是在數(shù)與形之間進(jìn)行自如轉(zhuǎn)換的困難。二、困難原因分析如果你是一個(gè)沒有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，你就很難預(yù)計(jì)到學(xué)生會(huì)存在這些困難，同時(shí)你更加會(huì)覺得無(wú)法理解，因?yàn)榭雌饋磉@實(shí)在不是很困難的問題，數(shù)形結(jié)合不是理有助于學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的理解嗎？我們從認(rèn)知的角度去分析就會(huì)知道學(xué)生的困難是很正常的現(xiàn)象，因?yàn)?，?shù)形結(jié)合，也就意味著學(xué)生要從函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言和函數(shù)的圖形這兩種不同的心理表象出發(fā)去建構(gòu)函數(shù)概念，在學(xué)習(xí)初期，在對(duì)于函數(shù)概念及各種表達(dá)方式都還認(rèn)識(shí)很膚淺的時(shí)候這意味著又增加了一重困難，從以上三個(gè)方面來看，具體有以下原因：（1）用形來表示數(shù)，即用圖形、畫面來構(gòu)建對(duì)于知識(shí)與問題的直觀理解

8、，不符合學(xué)生的思考習(xí)慣，這也是教學(xué)中長(zhǎng)期以來存在的問題，不注重借助直觀來增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)和問題的理解，特別是不注重訓(xùn)練學(xué)生構(gòu)建直觀理解，例如小學(xué)教行程問題，多數(shù)是對(duì)問題進(jìn)行分類，教給學(xué)生各類問題的算法，學(xué)生先弄清問題的類別，再給出相應(yīng)的解答，并不是讓學(xué)生畫出行程圖來進(jìn)行分析。在本章節(jié)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于“點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示自變量的值，縱坐標(biāo)表示因變量的值，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的就是的值的變化”這一知識(shí)，學(xué)生的理解水平是低層次的，至少他們是不能用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來描述變量值的變化。（2）由形到數(shù)的困難，更多是在于學(xué)生對(duì)于符號(hào)語(yǔ)言的理解與運(yùn)用的困難造成，例如，學(xué)生知道一次函數(shù)的單調(diào)性，但是只限于用成文字語(yǔ)言表述，只有優(yōu)

9、秀學(xué)生才會(huì)去兩個(gè)自變量的大小從而比較出相應(yīng)的函數(shù)值大小，這就是用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表征方面的欠缺，是“數(shù)”本身的困難造成了由形到數(shù)的困難。（3） 在數(shù)與形之間的來回轉(zhuǎn)換是學(xué)生最感到困難的，在案例2的講解中，每一次的由數(shù)到形和由形到數(shù)，對(duì)學(xué)生來說，都是不太輕松順暢的事情，而經(jīng)過幾個(gè)回合，有學(xué)生大有轉(zhuǎn)暈了的感覺，這就是說，他們對(duì)數(shù)與形的轉(zhuǎn)換還處在一個(gè)初級(jí)加工的階段，根本沒有達(dá)到數(shù)與形統(tǒng)一起來的水平。學(xué)生對(duì)于坐標(biāo)思想的理解水平是很低的，他們不能很快建立起函數(shù)中的變量與圖象中的點(diǎn)的坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)，更難以建立起變量的變化與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)間的聯(lián)系。三、對(duì)函數(shù)圖象教學(xué)的建議與思考基于以上的學(xué)習(xí)困難，筆者認(rèn)為從下面幾個(gè)方面

10、著力會(huì)有助于函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)。（一） 深刻理解平面直角坐標(biāo)系的意義1、點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系我研究了人教版和湘教版兩種教師用書，對(duì)于該內(nèi)容的教學(xué)要求都是：了解平面直角坐標(biāo)系的概念，知道平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，能建立平面直角坐標(biāo)系，寫出平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，并能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)找到點(diǎn)。我認(rèn)為這個(gè)教學(xué)目標(biāo)相對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)來說是嫌低了，學(xué)生還應(yīng)該 對(duì)不同象限內(nèi)及坐標(biāo)軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)非常清楚，并且要對(duì)不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較，建立起點(diǎn)的位置關(guān)系與點(diǎn)的坐標(biāo)大小關(guān)系之間的聯(lián)系。2、 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)的變化間的對(duì)應(yīng)關(guān)系兩種教材都是讓學(xué)生探究點(diǎn)和圖形的水平和豎起平移和軸反射運(yùn)動(dòng)引起的坐標(biāo)的變化規(guī)律，

11、以及坐標(biāo)的變化引起的圖形的變換，而湘教版教材規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)是了解平移及軸反射公式，能寫出在平移或軸反射下點(diǎn)的坐標(biāo)，人教版的教學(xué)目標(biāo)是能用坐標(biāo)表示平移變換，研究平移與坐標(biāo)的關(guān)系，感受代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)換。我以為還必須清楚兩個(gè)問題：一、要將平移看成是一個(gè)連續(xù)的過程，而不是只形容它的起始和終止兩種狀態(tài)；二、非水平和豎起方向的平移會(huì)引起坐標(biāo)的什么變化？橫縱坐標(biāo)都發(fā)生改變時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)又是什么情形？教材大概是考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，水平和豎起的平移只會(huì)引起坐標(biāo)中一個(gè)量的改變，但是在研究函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候，是不可避免地要綜合考慮兩個(gè)量的變化，在此打下基礎(chǔ)是非常必要的。用幾何畫板能夠很清楚地演示這些過程，

12、能促進(jìn)學(xué)生的理解。（二）將畫函數(shù)的圖象作為教學(xué)的重點(diǎn) 1、 用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象由數(shù)到形是學(xué)生的薄弱之處。用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的過程，是一個(gè)由數(shù)到形的過程，也是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的過程。通過列表、描點(diǎn)、連線等具體過程，學(xué)生能對(duì)“將自變量的值與函數(shù)值分別作為圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)”這一做法產(chǎn)生深刻體驗(yàn)，加深對(duì)函數(shù)圖象意義的理解，有的教師認(rèn)為，反正后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候還要再來一遍，而這一章節(jié)只要會(huì)畫一次函數(shù)的圖象就可以了，我們看到這樣做的結(jié)果表現(xiàn)，案例1提到的那位景炎的學(xué)生，他在由數(shù)到形時(shí)就存在困難。用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象應(yīng)該作為教學(xué)的重點(diǎn)，對(duì)于畫圖象的每一個(gè)步驟，都要嚴(yán)格要求，并且對(duì)于為什么要這樣做

13、要有清晰的認(rèn)識(shí)，如何用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象，大多數(shù)學(xué)生都能說出三個(gè)步驟，但是列表如何取值，為什么要用光滑的曲線把點(diǎn)連起來，就只有少數(shù)學(xué)生能說清了。而問什么是函數(shù)的圖象，則是大多數(shù)學(xué)生都答不上來，這都是教學(xué)中應(yīng)注意的問題，此外，在本內(nèi)容教學(xué)中還應(yīng)做到下幾個(gè)方面：（1）讓學(xué)生畫不同的函數(shù)的圖象，體會(huì)到函數(shù)圖象的多樣性；（2）對(duì)比表格中各變量的增減趨勢(shì)和圖象的升降趨勢(shì)，深刻體驗(yàn)量的變化與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）判斷點(diǎn)與圖象的位置關(guān)系，體會(huì)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)的依存關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的統(tǒng)一。2、畫函數(shù)圖象的草圖（1）根據(jù)問題中對(duì)于變量的變化過程的描述畫出大致圖象，如問題2；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)的大致

14、圖象。通常要先考慮以下幾個(gè)問題：自變量和因變量的取值范圍是什么，圖象落在什么范圍？圖象是對(duì)稱的嗎？（根據(jù)學(xué)生的情況看是否作討論） 會(huì)經(jīng)過哪些特殊點(diǎn)，如是否過原點(diǎn)？與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎？交點(diǎn)是什么？因變量隨自變量的變化趨勢(shì)是什么，圖象的走向如何？當(dāng)然這里要求不宜太高，作一些簡(jiǎn)單的判斷能畫出來即可。例1：畫函數(shù)的草圖分析：自變量可以取一切實(shí)數(shù)，并且時(shí)，時(shí)故圖象過一三象限；又時(shí)，故圖象經(jīng)過原點(diǎn)；隨的增大而增大，圖象向右呈上升趨勢(shì)。（畫出草圖，略）（3）根據(jù)不充分的條件作草圖 有關(guān)函數(shù)的問題，如果與圖象有關(guān)，又沒有畫出圖形的畫，一定要求學(xué)生自己畫出相應(yīng)的圖形，而很多問題都不會(huì)給出足夠的條件畫出精確的圖形，

15、其實(shí)這種情況下，畫出草圖就可以了，畫草圖是一種很重要的基本功。例如問題3，可以不考慮b的值，只要畫出一條向右呈上升趨勢(shì)的直線即可，也可以對(duì)b的值進(jìn)行討論，畫出三條直線。對(duì)于一般的思路是，先看未確定的這個(gè)量是否會(huì)影響對(duì)問題的分析，不影響的話，可以忽略這個(gè)量，如果有影響，則分情況討論。當(dāng)然這個(gè)過程也可以反過來進(jìn)行，先畫出各種情形，發(fā)現(xiàn)并不需要，再忽略這個(gè)因素。（三）、強(qiáng)化函數(shù)圖象信息的讀取訓(xùn)練x(km)10003000y(元)y21000200030002000y1在教材和各種教輔資料中，有著大量的函數(shù)圖象信息題，其中的一些填空題和選擇題難度不大，但是可以進(jìn)行挖掘，作為訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合的良好素材。例2

16、. 某公司準(zhǔn)備與汽車租賃公司簽訂租車合同，以每月用車路程x km計(jì)算，甲汽車租賃公司每月收取的租賃費(fèi)為元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為元，若、與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中x0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費(fèi)，（1）當(dāng)月用車路程為 km時(shí)，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同；（2）當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃 汽車租賃公司的車比較合算。對(duì)這個(gè)問題，還可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：這兩家公司具體是怎樣收費(fèi)的？是只按里程收嗎？當(dāng)我在課堂上提出這個(gè)問題的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此是這毫無(wú)準(zhǔn)備，當(dāng)我再提出問題“如果行駛里程為零，那么要不要收費(fèi)”時(shí)，學(xué)生才漸漸找到正確的思路，這說明學(xué)生還沒有從圖象特征理解函數(shù)性質(zhì)的意識(shí)和能力，因此，除了在這樣的問題中訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)要求獲取信息以外，還可以借助問題素材，讓學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行充分解讀。象本例，就可以得出以下認(rèn)識(shí)：行駛里程為零時(shí)兩家公司都要收費(fèi)，但是乙汽車租憑公司收得更多；收費(fèi)是隨著里程數(shù)的增加而均勻增加，每千米甲公司收取的費(fèi)用更多；這是兩個(gè)一次函數(shù)；如果設(shè)，則有；在讀取函數(shù)圖象時(shí)，教師要有清醒的意識(shí)，那就是這是一種由形到數(shù)的訓(xùn)練，盡可能要求學(xué)生用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來對(duì)問題進(jìn)行表達(dá)，尤其是用符號(hào)語(yǔ)言。一般地，符號(hào)語(yǔ)言理解與運(yùn)用是學(xué)生的薄弱之處，這也影響了學(xué)生由形到數(shù)的轉(zhuǎn)換，而進(jìn)行上述的訓(xùn)練無(wú)疑會(huì)起到強(qiáng)化符號(hào)語(yǔ)言的表