走向高考】高三數(shù)學(xué)人教a版一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化：第10章 第5節(jié)古典概型與幾何概型

1、第十章第五節(jié)一、選擇題1、是不重合平面，a、b是不重合的直線，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A“假設(shè)ab，a，那么b是隨機(jī)事件B“假設(shè)ab，a，那么b是必然事件C“假設(shè)，那么是必然事件D“假設(shè)a，abP，那么b是不可能事件答案D解析b，故A錯(cuò)；b或b，故B錯(cuò)；當(dāng)，時(shí)，與可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C錯(cuò)；如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么此二直線必平行，故D為真命題2(文)(2021·宿州質(zhì)檢)一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6，將這顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，那么三次點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A B C D答案A解析連續(xù)拋擲三次共有

2、63216(種)情況，記三次點(diǎn)數(shù)分別為a、b、c，那么ac2b，所以ac為偶數(shù)，那么a、c的奇偶性相同，且a、c允許重復(fù)，一旦a、c確定，b也唯一確定，故a，c共有2×3218(種)，所以所求概率為，應(yīng)選A(理)(2021·皖南八校聯(lián)考)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球，如果從中任取兩個(gè)球，那么恰好取到兩個(gè)同色球的概率是()A B C D答案C解析P.3(文)(2021·河北衡水中學(xué)第五次調(diào)研)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABC150°，假設(shè)在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率為()AB1CD1答案D解析如圖，當(dāng)

3、點(diǎn)P落在圖中陰影局部時(shí)，P到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離都大于1，P1.(理)(2021·河北邯鄲二模)甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，那么恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是()ABCD答案A解析第一種情況：甲安排在第一天，那么有A12種；第二種情況：甲安排在第二天，那么有A6種；第三種情況：甲安排在第三天，那么有A2種，所以所求概率為.4(文)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，那么動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率為()ABCD答案C解析由題意可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于扇形ABD內(nèi)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|

4、<1，根據(jù)幾何概型可知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率為，應(yīng)選C(理)(2021·石家莊質(zhì)檢)在圓的一條直徑上，任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦，那么其弦長(zhǎng)超過(guò)該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率為()ABCD答案C解析如圖，設(shè)圓的半徑為r，圓心為O，AB為圓的一條直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為M，假設(shè)CD為圓內(nèi)接正三角形的一條邊，那么O到CD的距離為，設(shè)EF為與CD平行且到圓心O距離為的弦，交直徑AB于點(diǎn)N，所以當(dāng)過(guò)AB上的點(diǎn)且垂直于AB的弦的長(zhǎng)度超過(guò)CD時(shí)，該點(diǎn)在線段MN上移動(dòng)，所以所求概率P，選C5(2021·石家莊市質(zhì)檢)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生01之間的均

5、勻隨機(jī)數(shù)a，那么使關(guān)于x的一元二次方程x2xa0無(wú)實(shí)根的概率為()ABCD答案C解析方程x2xa0無(wú)實(shí)根，那么14a<0，a>，故所求概率P.6(文)(2021·湖南)事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為，那么()ABCD答案D解析由題意知AB>AD，如圖，當(dāng)點(diǎn)P與E(或F)重合時(shí)，ABP中，ABBP(或AP)，當(dāng)點(diǎn)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有AB>AP，AB>BP，由題中事件發(fā)生的概率為知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)E、F恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2AF2(AB)2AD2，解得()2，即，應(yīng)選D(理)(2021&#

6、183;武昌區(qū)聯(lián)考)假設(shè)從區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的比不小于4的概率為()ABCD答案C解析設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x，y，那么由條件知0<x<2,0<y<2，y4x或x4y，那么所求概率P.二、填空題7(2021·銀川模擬)將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，那么直線axby0與圓(x2)2y22相交的概率為_答案解析圓心(2,0)到直線axby0的距離d<時(shí)，直線與圓相交，b>a，滿足b>a的共有15種情況，因此直線axby0與圓(x2)2y22相交的概率為P.8在區(qū)間1,5和2,4分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，那么方程1表示焦

7、點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，m>n.由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P(m，n)，求P點(diǎn)落在陰影局部的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，p.9(文)在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，那么直線yk(x2)與圓x2y21有公共點(diǎn)的概率為_答案解析直線與圓有公共點(diǎn)，1，k.故所求概率為P.(理)(2021·大連、沈陽(yáng)聯(lián)考)假設(shè)利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)不等的隨機(jī)數(shù)a和b，那么方程x2有不等實(shí)數(shù)根的概率為_答案解析方程x2化為x22x2b0，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，8a8b>0，a>b，如圖可知，所求概率P.三、解答題10(文)設(shè)平面

8、向量am(m,1)，bn(2，n)，其中m、n1,2,3,4(1)請(qǐng)列出有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果；(2)記“使得am(ambn)成立的(m，n)為事件A，求事件A發(fā)生的概率解析(1)有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個(gè)(2)由am(ambn)得m22m1n0，即n(m1)2由于m、n1,2,3,4，故事件A包含的根本領(lǐng)件為(2,1)，(3,4)，共2個(gè)又根本領(lǐng)件的總數(shù)為16，故所求的概率為P

9、(A).(理)(2021·北京東城區(qū)統(tǒng)一檢測(cè))袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依次被編號(hào)為1、2、3、6，設(shè)編號(hào)為n的球重n26n12(單位：g)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響)(1)從袋中任意取出一個(gè)球，求其重量大于其編號(hào)的概率；(2)如果不放回地任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率解析(1)假設(shè)編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào)，那么n26n12>n，即n27n12>0.解得n<3，或n>4.所以n1,2,5,6.所以從袋中任意取出一個(gè)球，其重量大于其編號(hào)的概率P.(2)不放回地任意取出2個(gè)球，這兩個(gè)球編號(hào)的所有可能情形為(不分取出的先后次序)：1,2；

10、1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.共有15種設(shè)編號(hào)分別為m與n(m，n1,2,3,4,5,6，且mn)的球的重量相等，那么有m26m12n26n12，即有(mn)(mn6)0.所以mn(舍去)，或mn6.滿足mn6的情形為：1,5；2,4，共2種故所求事件的概率為.一、選擇題11(文)(2021·煙臺(tái)模擬)在一個(gè)盒子中有編號(hào)為1,2的紅色球2個(gè)，編號(hào)為1,2的白色球2個(gè)，現(xiàn)從盒子中摸出兩個(gè)球，每個(gè)球摸到的概率相同，那么摸出的兩個(gè)球中既含有2種不同顏色又含有2個(gè)不同編號(hào)的概率是()ABCD答案C解析設(shè)紅色球?yàn)?/p>

11、A1，A2，白色球?yàn)锽1，B2，從中任取2個(gè)球，那么所有不同的取法有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6種不同取法，其中顏色不同且編號(hào)不同的情形有(A1，B2)，(A2，B1)2種，所求概率P，應(yīng)選C(理)(2021·東營(yíng)模擬)在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，那么構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為()ABCD答案B解析從6個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)有C15種不同取法，其中能構(gòu)成梯形的情形有6個(gè)，所求概率P.12(2021·北京海淀期末)一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張

12、卡片隨機(jī)排成一行，假設(shè)卡片按從左到右的順序排成“1314”，那么孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為()ABCD答案A解析先從4個(gè)位置中選一個(gè)排4，再?gòu)氖Ｏ挛恢弥羞x一個(gè)排3，所有可能的排法有4×312種，滿足要求的排法只有1種，所求概率為P.13(2021·遼寧撫順二中期中)在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，其規(guī)那么如流程圖所示，那么能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率是()ABCD答案B解析畫出可行域如下圖，正方形內(nèi)部面積為2，圓內(nèi)部面積為，由幾何概型的概率公式得P.14(文)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作兩個(gè)半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰

13、影局部的概率是()A1BCD答案A分析在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)落在陰影局部的概率屬于幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是求陰影局部的面積，如圖設(shè)陰影局部?jī)蓧K的面積分別為S1、S2，OAR，那么S12(S扇形DOCSDOC)，S2S扇形OABSDS1.解析設(shè)圖中陰影面積分別為S1，S2，令OAR，由圖形知，S12(S扇ODCSODC)2·()2，S2S扇形OABSDS1R2·()2，所求概率P1.點(diǎn)評(píng)1.當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；2利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的計(jì)算，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)

14、系中表示所需要的區(qū)域(理)在區(qū)間(0,1)上任取兩個(gè)數(shù)，那么兩個(gè)數(shù)之和小于的概率是()ABCD答案C解析設(shè)兩數(shù)為x、y，那么0<x<1,0<y<1，滿足xy<的點(diǎn)在圖中陰影局部，所求概率為P，應(yīng)選C .二、填空題15(2021·南京模擬)在集合A2,3中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B1,2,3中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，那么點(diǎn)P落在圓x2y29內(nèi)部的概率為_答案解析點(diǎn)P的取法有2×36種，點(diǎn)P在圓內(nèi)部，那么m2n2<9，m2，n1或2.所求概率P.16(2021·河南南陽(yáng)三聯(lián))f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(

15、x)0，f (x)g(x)<f(x)g(x)，f(x)axg(x)，那么關(guān)于x的方程abx2x0(b(0,1)有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為_答案解析f(x)axg(x)，ax，f (x)g(x)<f(x)g(x)，g(x)0，()(ax)axlna<0，即lna<0，0<a<1.又，a，即a.關(guān)于x的方程abx2x0(b(0,1)有兩個(gè)不同實(shí)根，210ab25b>0，即0<b<，故所求概率為P.三、解答題17(2021·西北工業(yè)大學(xué)附中六模)關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)設(shè)集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分別

16、從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取的點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的是概率解析(1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對(duì)稱軸為x，要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且1，即2ba.假設(shè)a1，那么b1；假設(shè)a2，那么b1,1；假設(shè)a3，那么b1,1.事件包含根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是1225，所求事件的概率為P.(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2ba且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)闃?gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切?/p>

17、局部由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，所求事件的概率為P.18(文)盒子內(nèi)裝有10張卡片，分別寫有110的10個(gè)整數(shù)，從盒子中任取1張卡片，記下它的讀數(shù)x，然后放回盒子內(nèi)，第二次再?gòu)暮凶又腥稳?張卡片，記下它的讀數(shù)y.試求：(1)xy是10的倍數(shù)的概率；(2)xy是3的倍數(shù)的概率解析先后取兩次卡片，每次都有110這10個(gè)結(jié)果，故形成的數(shù)對(duì)(x，y)共有100個(gè)(1)xy是10的倍數(shù)的數(shù)對(duì)包括以下10個(gè)：(1,9)，(9,1)，(2,8)，(8,2)，(3,7)，(7,3)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，(10,10)故“xy是10的倍數(shù)的概率為P10.1.(2)xy是3的倍數(shù)，只要x是3的倍數(shù)，或y

18、是3的倍數(shù)，由于x是3的倍數(shù)且y不是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)有21個(gè)，而x不是3的倍數(shù)且y是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)有21個(gè)，x是3的倍數(shù)且y也是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)有9個(gè)故xy是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)有2121951(個(gè))故xy是3的倍數(shù)的概率為P20.51.(理)袋子中放有大小和形狀相同的小球假設(shè)干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.設(shè)事件A表示“ab2”，求事件A的概率；在區(qū)間0,2內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y，求事件“x2y2>(ab)2恒成立的概率解析(1)由題意可知：，解得n2.(2)將標(biāo)號(hào)為2的小球記作