實踐與探索——制成一個盡可能大的無蓋長方體

1、一個意想不到的發(fā)現(xiàn) 制成一個盡可能大的無蓋長方體課例王松萍背景介紹：制成一個盡可能大的無蓋長方體選自義務(wù)教育北師大數(shù)學(xué)七年級上冊, 內(nèi)容要求開展探究性課題教學(xué)。通過本節(jié)課的教學(xué)，我們期望讓學(xué)生經(jīng)歷" 發(fā)現(xiàn)問題 - 建立模型 - 求解- 解釋與應(yīng)用 " 的數(shù)學(xué)問題解決的基本過程； 體驗數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系， 初步形成對數(shù)學(xué)整體性的認識； 獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗， 發(fā)展思維能力， 加深理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識；通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷， 增進應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。 本節(jié)課的內(nèi)容是如何用用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體，怎樣制作使得體積較大？對我而言， 也是第一次開展

2、探究課題教學(xué)， 如何讓學(xué)生動起來？學(xué)生能進行有效的探究嗎？接近期末時，我懷著忐忑不安的心情，在這節(jié)課的教學(xué)中作了嘗試，把課堂交給學(xué)生，收到了意想不到的效果。下課了，我心中還有深深的眷戀。過程描述：一、模仿是創(chuàng)新的前奏課前每個小組（有的2 人，有的4 人）準備了多張邊長為20cm的正方形紙片，幾個盒子，一把剪刀， 上課時我也拿了一些紙和一把剪刀。同學(xué)們從前一天的準備到上課，都有點躍躍欲試的感覺。師：怎樣用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體？大家可以試試嗎？有學(xué)生在正方形紙上畫裁剪線，有學(xué)生拿剪刀剪紙，。這時看到一個學(xué)生在拆長方體盒子，我問他： 你為什么要吧盒子拆掉？他說：我要看看別人是怎么做的。

3、是啊，溫州人敢為天下先，許多創(chuàng)新不是從模仿開始的嗎？二、數(shù)據(jù)雜亂無章怎么辦在同學(xué)們完成長方體的制作后，師：誰能講講你是怎么做出長方體的，給同學(xué)們展示一下？（課堂上熱鬧起來，學(xué)生爭先恐后到實物展示臺前展示，有個學(xué)生干脆跑到講臺把自己的圖形粘貼在黑板上，同學(xué)們?nèi)滩蛔⌒α?。）我拿起其中兩個學(xué)生的作品，問：他們的做法有何相同之處？（學(xué)生很快就答出來）師：那么他們又有何不同呢？（課堂一下子安靜下來，突然一個聲音冒出來： “大小不一樣” 。同學(xué)們楞了一下，馬上表示同意，還有一位同學(xué)補充說：“應(yīng)是體積不一樣” 。）師：是什么原因造成體積不一樣？你能算出你做的長方體的體積嗎？（本來我想先告訴學(xué)生如果正方形的邊

4、長a、所折長方體的高為h，如何用他們來表示長方體的體積?？蓪W(xué)生叫我：老師別提示）教師在教學(xué)過程中，總想自己代替學(xué)生的思考，怕他們跨不了大步，設(shè)計的問題過于精細，反而不能觸動他們，有時需要“該放手時就放手”。過了一會兒，學(xué)生已有結(jié)論了。師：誰能談?wù)勛约旱南敕ǎ浚ㄅe手的人中，除了平時常舉手的，居然連謝A（學(xué)困生）也舉起了手，我趕緊給他機會。）謝：老師，我手中的正方形邊長為20cm，剪掉的小正方形的邊長為5cm，所以體積為：(2025)(2025)5500師：很好?。ㄍ瑢W(xué)們給予了熱烈的掌聲）（我們還有不同的答案，學(xué)生們紛紛報出自己的答案，老師將學(xué)生的答案寫在黑板上，數(shù)據(jù)顯得雜亂無章。 ）師：數(shù)據(jù)顯得

5、雜亂無章，怎么辦？（與學(xué)生一起用excel列成一個統(tǒng)計表、并畫了統(tǒng)計圖）邊長12345678容積324512588576500384252128800600400系列1200系列2012345678910（這里讓學(xué)生 將統(tǒng)計知識學(xué)以致用 ，而且讓學(xué)生認識到 電腦不僅是玩具，而且是“學(xué)具”、“探究的工具” 。三、來幾次虛擬剪紙師：那么怎么制作一個盡可能大的長方體呢？一直試下去嗎？沒有這么多紙怎么辦？（幾位平時善動腦筋的同學(xué)舉起了手）曾：我設(shè)剪掉的小正方形的邊長為hcm，則長方體體積為V(202 )2hh ，其中 h的變化決定了 V 的大小。給定h，可以求 V，我可以來無數(shù)次虛擬剪紙 。（多精彩的

6、回答，通過建立數(shù)學(xué)模型，從特殊到一般，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。太棒了！無須老師多言，同學(xué)的回答更能讓他們折服。掌聲又一次響起。）（我用課件展示出同學(xué)的回答，修改了統(tǒng)計表。 ）hhhhhhhhhhhahah12345678V324512588576500384252128師：同學(xué)們能否根據(jù)你們剛才所取的h 的值，判斷出 h 取什么值時， 長方體的體積會較大？生齊答： h=3師：你能從統(tǒng)計表中看出什么規(guī)律？姚：以 3 為界限， h 變小或變大，體積會變小。四、我們找到最大值了潘：好象 h=3.5時還要大。一石激起千層浪，學(xué)生馬上就提出，有沒有其他可能？（學(xué)生繼續(xù)借助計數(shù)器運算）得到如圖所示h2.533.2

7、53.53.7544.54.54.54.5V562.5588471.8125591.5585.9375576544.5544.5544.5544.5得到 h=3.25 時， V 較大。（鑒于初一學(xué)生的水平，我想就此打住，小結(jié)前面所得，可學(xué)生可不想就此罷休，他們很興奮地用計數(shù)器繼續(xù)探究，不停地有學(xué)生報出新數(shù)：h=3.2553.3 ， 3.33 接著有好幾位學(xué)生很興奮叫出來，老師，我們找到最大值了，我都有點不相信自己的耳朵，有可能嗎？）曾：老師，我用計數(shù)器驗證到h=3.33333 時，計數(shù)器已達到最大值，其他的數(shù)達不到這個值，再用h=3.333333 時，還是這個值，1所以我猜想應(yīng)該是h=3時，體

8、積最大。3王：老師， 3 1 這個數(shù)字很漂亮，肯定是它3（這不是數(shù)學(xué)的美與數(shù)學(xué)自覺嗎？）我一下子楞住了， 在腦海中搜索著如何解釋它， 三次函數(shù)求最值？怎么向?qū)W生解釋， 沒有準備， 這下子該怎么辦？眼看著就下課了，想想還是再用電腦來幫忙！700600500400系列1300系列2200100047036911111（多么無懈可擊的結(jié)論， 它出自初一學(xué)生之口， 誰說我們的學(xué)生沒有創(chuàng)造力，只要我們肯給他們機會。 ）我表揚了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，用幾何畫板畫出函數(shù)的圖象，告訴學(xué)生讀高中時，就可以證明自己的發(fā)現(xiàn)了。課后反思：1、讓學(xué)生用數(shù)學(xué)。這節(jié)課學(xué)生的出色表現(xiàn)，給了我許多的收獲和思考，通過研究如何使長方體面積盡

9、可能大的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生進一步體驗數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，初步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。2、放手讓學(xué)生大膽嘗試。通過層次性的問題陳3.1590.3643.2591.8723.3592.5483.4592.4163.5591.53.6589.8243.7587.4123.8584.2883.9580.47645763.25592.31253.26592.37593.27592.43113.28592.47823.29592.51723.3592.5483.31592.57083.32592.58553.33592.59213.34592.59083.35592.5815設(shè)，給學(xué)生自由開放的數(shù)學(xué)思維空間，教師只作適當?shù)摹包c“”撥” ，是新課程提倡的以學(xué)生自主參與學(xué)習(xí)， 把知識內(nèi)化為自己的探究熱情， 從而得出讓人出乎意料卻又情理之中的結(jié)論。3、注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng) 。把長方體面積用代數(shù)式表述出來，既是將生活問題數(shù)學(xué)化的過程。 課堂宜拉大此過程的空間。 建