高中數(shù)學(xué)必修5知識點總結(jié)(史上最全版)

1、高中數(shù)學(xué)必修5知識點第一章 解三角形1 三角形三角關(guān)系：A+B+C=180 ; C=180° -（A+B）;2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<c7、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c2 2ac cos ，3、三角形中的基本關(guān)系：sin (AB) sinC, cos(AB)cosC, tan (A B)tanC,.A BCA B.CA BCsincos ,cossin,ta ncot2222 224、正弦定理:在C中，a、b、c分別為角、 、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有abc2R.sinsinsin C5、正弦定理的變形公式:化角為邊：

2、a2Rsin , b2Rsi n,c2Rsin C ；化邊為角：sina.,sinbsin Cc2R2R '2R ' a: b: c sin:sin :sin C ；a bcabcsinsinsin C sinsinsin C6、兩類正弦定理解三角形的問題： 已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角 已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）c2 a2 b2 2abcosC8、余弦定理的推論：cosb22a，cos 2bc2c2ac2.2 2 a b c cosC -2ab（余弦定理主要解決的問題：1.已知兩邊和

3、夾角，求其余的量。2.已知三邊求角）成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是C的角 、C的對邊，則：若a2b22c ,則C90o;若 a2 b2 c2，則 C 90o;若a2b2c2，則 C90o 9、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)注：正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)CDA B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C D兩點，并測得/ ACB=75, / BCD=45,/ ADC=30, / ADB=45（A、B、C D在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo) A B之間的距離。（本題解答過程

4、略）11、三角形面積公式：12、三角形的四心：垂心 三角形的三邊上的高相交于一點重心一一三角形三條中線的相交于一點（重心到頂點距離與到對邊距離之比為2:1）外心一一三角形三邊垂直平分線相交于一點（外心到三頂點距離相等）內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點（內(nèi)心到三邊距離相等）13、 請同學(xué)們自己復(fù)習(xí)鞏固三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式及輔助角公式（和差角、倍角等）。附加：輅殊角的三角曲數(shù)值角度0o14列120*135 0150 flISO *270 43(S0 n«的弧度oa64V32Jj5 J1"?rsin疔01212100COS w1X丸22i01>冷-I0tan 00T1廠

5、-1返00第二章數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù).3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.5、 遞增數(shù)列：從第 2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+i>an）6、 遞減數(shù)列：從第 2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+i<an）7、 常數(shù)列：各項相等的數(shù)列（即:an+i=an）.8、擺動數(shù)列：從第 2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.9、 數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式.10、 數(shù)列的遞推公式：表示任一項a1與它的前一項an 1 （或前幾項）間的

6、關(guān)系的公式.11、如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.符號表示：an 1 an d。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法： an an 1 d(n 2, d為常數(shù))2an an 1 an 1 (n 2) an kn b(n,k為常數(shù)12、 由三個數(shù)a , b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為a與b的a c等差中項.若b，則稱b為a與c的等差中項.213、 若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則an冃 n 1 d .14、通項公式的變形：4 am n md: aann 1 d: dan a1n 1 ；

7、15、若右an1 :danaman是等差數(shù)列，且是等差數(shù)列，且2n），則 2a16.等差數(shù)列的前n項和的公式：Sh，則aapQi.nnq 1 -d . 2Siaia2Lan17、等差數(shù)列的前 n項和的性質(zhì)：若項數(shù)為2n n *，則S2n n耳 0 1 ，且s奇nd,ans偶an 1若項數(shù)為2n 1 n*，則 S2n 12nS奇nan ， $禺n1 an )18、如果一個數(shù)列從第lan，且% %a，S 的（其中2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比符號表示:會出現(xiàn)值為0的項；同號位上的值同號）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：q （

8、注：等比數(shù)列中不an anq(n 2,q為常數(shù),且 0) an a n 1 a n 1 ( n 2 , an an 1 an 1 0 ) an cqn（c,q為非零常數(shù)）. 正數(shù)列 an成等比的充要條件是數(shù)列 logx an （ x 1）成等比數(shù)列.19、在a與b中間插入一個數(shù) G，使a , G , b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項.若G2 ab，則稱G為a與b的等比中項（注：由G2 ab不能得出a , G , b成等比，由 a , G , bG2ab)20、若等比數(shù)列an的首項是q，公比是q，則ann 1aq n mn 1a n21、通項公式的變形：|anamq : da.q: q n

9、 1n :a1a paq n m a nqa m22、 若 an 是等比數(shù)列，且 m n p q （ m、n、p、q ），貝U am an ap aq ；* 2若an是等比數(shù)列，且2n p q （n、p、q ），則anna q 123、 等比數(shù)列an的前n項和的公式：Sna1 1 qn1 q印 a.q1 qSiai a2 Lan24、對任意的數(shù)列 an的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：as1a1 (n 1)Sn Sni( n 2)注:an ai n id nd ai d （ d可為零也可不為零宀為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）7若 d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）. 等差 an前n項和

10、Sn An2 Bn d n2 a1 d n9可以為零也可不為零7為等差2 2 2的充要條件7若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件 非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：1. 等差數(shù)列的前n項和為Sn ,在d 0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法： 一是求使an 0,an 1 0，成立的n值；二是由Snn2 d）n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.2. 數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列陶=口 + (尿.1加=- d二£兀+色（初芒0時為一

11、次函數(shù)）等比數(shù)列n-171% =叱=Q§y = a （指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項和公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列川（科一 1）,川2仇葉=力1+2圧=?料十2| B汁"斗（雷羊0時為二次函數(shù)）等比數(shù)列“鴿丁 V鳥y二討（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前 于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。3例題：1、等差數(shù)列億中，"幾二'：1則二分析：因為是等差數(shù)列，所以 是關(guān)于n的一次函數(shù)，n項和看成是關(guān)1,11 A一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m） ,（m,n）,（m+n,"匕 ）三點共線，所以利用每兩點形

12、成直線斜率相等，即'1 w ；1 飛，得：=0 (圖像如上)，這里利用等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列中，1'，前n項和為匚，若刊二匸，n為何值時°最大?分析：等差數(shù)列前 n項和I可以看成關(guān)于d 2 (&、n的二次函數(shù) ，:=-上的離散點，根據(jù)題意,則因為欲求已最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為9 + 17213是拋物線八 =【"即當(dāng)；一上時，最大。例題：3遞增數(shù)列"，對任意正整數(shù) n, I "一 恒成立，求丄分析：1一構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列 '-遞增得到：一&

13、quot; 對于一切恒成立，即出：恒成立，所以-一I _對一切、- 丁恒成立，設(shè)/-，則只需求出；的最大值即可，顯然有最大值，所以丄的取值范圍是：:構(gòu)造二次函數(shù)，看成函數(shù)h '，它的定義域是二!，因為是遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為人4*0),拋物線對稱軸2，因為函數(shù)f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增,就看動軸與在疋A =已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸1A 3 一 < 為此時B點比A點咼。于是，-，得- '4. 如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前n項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：1丄,3丄,.

14、(2 n 1)丄，242n5. 兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差di, d2的最小公倍數(shù).6. 判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對于n>2的任意自然a數(shù)，驗證an an i(-)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法：驗證an 122an 1anan 2 (an 1a.an 2)n N 都成立。am 07. 在等差數(shù)列 an中，有關(guān)S的最值問題：當(dāng)a1 >0,d<0時，滿足的項數(shù)am 10am 0m使得sm取最大值.(2)當(dāng)a1 <0,d>0時，滿足的項

15、數(shù)m使得sm取最小值。在解am 10含絕對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。附：數(shù)列求和的常用方法2.裂項相消法：適用于C為常數(shù)；部分無理1. 公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。其中 an是各項不為0的等差數(shù)列,anan 1數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例題：已知數(shù)列an的通項為an=1n(n求這個數(shù)列的前n項和S.1)anbn其中 an是等差數(shù)列,bn是各項不為0的等比數(shù)列。解：觀察后發(fā)現(xiàn)1:an=n1n 1Sna1a2an1、 ,111 1 、(1-)(-)( )2 23n n 111n 13.錯位相減法 ：適用于例題：已知數(shù)列a n的通項公式為an n 2n，求這

16、個數(shù)列的前 n項之和q。解：由題設(shè)得:Sia1a?a3an1Sia1a?a3an即 sn = 1 212 22 3 2n 2n把式兩邊同乘2后得2sn=1 222 23 3 2n 2n用-，即:sn = 1 212 22 3 23n 2n4*22Sn=1 22 23 3 24Sn22232nn 2n 1- Sn2(11 22n1 2n 2n 12n1(1 n)2n 1(n 1)2n 14.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1):1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2 n-1)=)13231)4)12221)(2n1)5)n(n 1) n n 1n

17、(n 2)2)6) n 2 ；pq(Pq)1附加：重點歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中m, n, p,q N ）類別 項八、等差數(shù)列an等比數(shù)列an定義an 1andan 1q an通項公anain1 dan 1naq式anamnm dann mamq前n項o n da.n qn n 11d2nd qs a 111nqa1 anq q 1q1 q和Sn 21 la等差（比）中項2an 1aan 2an 12anan2公差danamm nn manq am（比）dnmm n p qamana paqm n pqam ana paqm n 2paman 2apm n2 pam ana p5m , S2

18、m 5m , S3m S2m丄 成等差T Em T3m m，Tm 工m丄成等比數(shù)列，公性質(zhì)數(shù)列，公差為md （ Sn是前n項和）2比為qm（Tn是前n項積）am , am k , am 2k , L仍然是等差數(shù)列，am, am k , am2k,L仍然是等比數(shù)其公差為kd列,其公比為qkk b是等差數(shù)列bak是等比數(shù)列（b 0）d0,Z7印0時，q1,Z，0 q 1,；單調(diào)性d0,760 時，q1, ，0 q 1,Z ；d0,常數(shù)列q 1為常數(shù)列；q 0為擺動數(shù)列2. 等差數(shù)列的判定方法：(a,b,d為常數(shù)).定義法：若an i an d 1(2).等差中項法：若2an i a. a. 2 &

19、#187;an為等差數(shù)列.通項公式法：若an an b.前n項和法：Sn an2 bn3. 等比數(shù)列的判定方法：(k，q為非零常數(shù))an 1.定義法：若q、an(2) .等比中項法：若an 12 an an 2an為等比數(shù)列.(3) .通項公式法：若an kqn.前n項和法：Sn k kqn第三章不等式、不等式的主要性質(zhì)：(1 )對稱性：a b b a(2 )傳遞性：a b,b c a c(3)加法法則：a b a c b c ；(4 )同向不等式加法法則：a b,c d a c b d(5)乘法法則：a b,c0 acbc; ab,c 0acbc(6 )同向不等式乘法法則：a b0,c d0

20、 acbd(7)乘方法則：ab 0 anbn(nN *且n1)(8)開方法則：ab 0 n an b(nN *且n1)(9)倒數(shù)法則：a1b,ab 01ab一、兀二次不等式ax2 bx c0和ax2 bx c0(a0)及其解法000yax2 bx cy2 axa(xbx cyax2 bx ca(x x1 )(xX2)Xi)(XX2)二次函數(shù)y ax2bx c1 r /J1（a 0）的圖象vu兀次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2 bx c 0b無實根Xi,X2(XiX2)XiX2a 0的根2aax2 bx c 0bxxx1或 x x2XXR（a 0）的解集2aax2 bx c 0xx x x2

21、（a 0）的解集1.一元二次不等式先化標(biāo)準(zhǔn)形式（a化正）2 .常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式,ab稱為正數(shù)a、b的a,b是正數(shù)，那么1、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則 乞衛(wèi)稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),2幾何平均數(shù).2、 基本不等式（也稱均值不等式）：若a 0均值不等式：如果1a b a b 2 ab即；ab（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取” ”號）.23、平均不等式:a、b為正數(shù)），即a b2注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等(當(dāng)a = b時取等)丄 1a b2 b24、常用的基本不等式：a2 b2 2ab a,b

22、 R : ab - 一 a,b R ； 2aba 0,b 0 a2 b22a b ,a,b22225、極值定理：設(shè) x、y都為正數(shù)，則有:2s若x y s （和為定值），則當(dāng) x y時，積xy取得最大值.若xy p （積為定4值），則當(dāng)x y時，和x y取得最小值2 p 四、含有絕對值的不等式1絕對值的幾何意義:| x |是指數(shù)軸上點x到原點的距離;x21是指數(shù)軸上 為,x2兩點間的距離；代數(shù)意義:|a|02、如果a 0,則不等式:|x| a；|x| a4、解含有絕對值不等式的主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結(jié)：分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，

23、則學(xué) 0 f (x)g(x) 0 ；平 0 g(x)g(x)f(x)g(x) 0g(x) 0指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x) ag(x)(a 1) f(x) g(x) ； af(x)ag(x) (0 a 1) f (x) g(x)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x)loga f(x) loga g(x)(a 1) g(x)f(x)g(x)f (x) 0log a f(x) loga g(x)(0 a 1) g(x) 0f(x) g(x)高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣 小于取下邊，大于取上邊”2 2例題：不等式a 3x 2）（x 4）x 3A. 1<x w 1 或 x > 2C.

24、x=4 或3<x w 1 或 x > 2“從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個彎;0的解為（B. x< 3 或 1< x< 2D. x=4 或 x< 3 或 1 w x< 2六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法七、線性規(guī)劃1、 二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對2、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組.3、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x, y，所有這樣的有序數(shù)對x, y構(gòu)成的集合.4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線x y C 0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點Xq , y0 若0,XqyoC0，則點 若0,xoyoC0，則點xo,yo在直