培優(yōu)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)一、1 .根式(1)根式的概念叫做根指若xn= a,則x叫做a的n次方根，其中n>1且n C N:式子%叫做根式，這里n 數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).a的n次方根的表示：xn=a?x= na (當(dāng)n為奇數(shù)且n C N時(shí))，x= ±n/a (當(dāng)n為偶數(shù)且nC N時(shí)).(2)根式的性質(zhì)fa, n為奇數(shù),(S)n=a(nC N). njan= S|aj=a, a>0, 一，a<0, n為偶數(shù).2.有理數(shù)指數(shù)哥 (1)哥的有關(guān)概念:m正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥:負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥:an=n/am(a>0, m, nCN*，且 n>1);a-m=-1m=-(a>0,

2、m, nC N*,且 n>1);an nam0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于 0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥無(wú)意義.(2)有理數(shù)聲數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)：aras= ar+s(a>0 , r, sC Q)；(ar)s= ars(a>0, r, sC Q)；(ab)=al£(a>0, b>0, rCQ).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)xy= a圖象a>1丫 '廠(chǎng)CO-11/0<a<1定義域值域R(0, 十°0 )過(guò)定點(diǎn)(0, 1)性質(zhì)當(dāng) x>0 時(shí)，y>1 ;當(dāng) x<0時(shí)，0<y<1在R上是增函數(shù)當(dāng) x>0 時(shí)，0&l

3、t;y<1 當(dāng) x<0 時(shí)，y>1;在r上是減函數(shù)二、對(duì)數(shù)如果ax= N (a>0, awl),那么數(shù)x叫做以a為底N 的對(duì)數(shù)，記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)：N I性 質(zhì)底數(shù)的限制：a>0,且aw1對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化： ax= N? logN=x 負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù),1的對(duì)數(shù)是三 項(xiàng)a1 = 0底數(shù)的對(duì)數(shù)是1： logaa=l對(duì)數(shù)恒等式：alogaN =N運(yùn)算性質(zhì)loga(M N)= logaM + logaNa>0，且 aw 1, M>0, N>0.M loga可=loggM loggNlogaMn= nlogaM(n R)換 底

4、公 式公式：logab= ?gcb(a>0,且 aw 1; c>0,且 cw1; logca'''b>0)推廣：logambn = Qlogab； log ab = T一m d ， dlogba、選擇題a>10<a<1圖 象rk.爐X(I.OJ0/ (1 剛 *6性 質(zhì)定義域：(0,十8 )值域：R過(guò)定點(diǎn)(1, 0)1 當(dāng)芻 x>1 時(shí)，y>0 0<x<1 時(shí)，y<01 當(dāng)芻 x>1 時(shí)，y<0 0<x<1 時(shí)，y>0在(。,+ 0° )上是增函數(shù)在(0,+

5、76;° )上是減函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2x2 -5x bx2 :x 6S，/、1/、1H1.設(shè)函數(shù) f(x)= ,g(x)=一 ，右22)立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A. b >12B . b <12 C . b <15f(x):二g(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)D . b>15x恒成2.函數(shù)y = f(x是R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(3+x)=f(3 x),當(dāng) xe(0, 3)時(shí) f(x)=2x ,則當(dāng) x e( -6 , -3)時(shí)，f(x)=()A. 2x 6 B. -2x 6 C.2x-6D. -2x-63 .設(shè)1 < a < b < a 2,則

6、在四個(gè)數(shù)2, log a b, log b a, log a b a 2中，最大的和最小的分別是()(A)2, log ba ( B) 2, log a b a 2( C) log a b, log ba ( D) log ab, log a b a 2二、填空x4 .已知 a > 0, f( x )= a ，貝 1 f(') + f ( -) + + f (2003)=。ax ： a2004200420045 .已知函數(shù)f(x)= lga2Tx2+(a+1 x+1的定義域?yàn)?°°,+望)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是6 .先將函數(shù)f ( x ) = in匚的圖像作

7、關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換，然后向右平移1個(gè)單位，再作關(guān)于y = x1 - x的對(duì)稱(chēng)變換，則此時(shí)的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是 。7 .已知函數(shù)y = log 1 a x2 + 2 x + ( a -1 )的值域是0, + 00 )，則參數(shù)a的值是。2三、解答題.-2x b 8 .已知定義域?yàn)?R的函數(shù)f(x)=F是奇函數(shù).2x 1 2(1)求 f (x)；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不必證明)(3)若對(duì)任意的t w R ,不等式f (t2 2t) + f(2t2 k) <0恒成立，求k的取值范圍.12.9 .已知函數(shù) f (x) =(-)，xw -1,1，函數(shù) g(x) = f (x)2af

8、 (x)+3的最小值為 h(a). 3(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù) m, n同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件： mn>3；當(dāng)h(a)的定義域?yàn)镮n, ml時(shí)，值域?yàn)?n2, m2 |?若存在，求出 m,n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由10 .函數(shù)f(x)=log2ax2+(2+2w+ 2色+ 2)在區(qū)間a + 2,2(a + 2)上恒有定義，求實(shí)數(shù) a的取 值范圍.11 .(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f (x) =lg(x+a2),其中a是大于0的常數(shù) x(1)設(shè)g(x)=x + a,判斷并證明g(x應(yīng) 71,收)內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)aW(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在2 代)內(nèi)的最小值；(

9、3)若對(duì)任意xW2,收)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍。2 ax .12. (12分)已知函數(shù) f(x)= x3+l0gl為前函數(shù)，a為吊數(shù).3 x -2(1)求a的值；(2)當(dāng)xw(3,4時(shí)，f (x)是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；1 1(3)設(shè)函數(shù)g(x) =x3 +(-)x +m ,當(dāng)m為何值時(shí)，不等式 f (x) >g(x)在xw (3,4有實(shí)數(shù)解?13. (12 分)函數(shù) y=f (x)滿(mǎn)足 lg (lgy ) =lg3x+lg (3 x), (1)求 f (x);(2)求f (x)的值域；(3)求f (x)的遞減區(qū)間.214.已知二次函

10、數(shù)g(x)=ax -2ax+b+1(a>0)在區(qū)間2, 3上有最大值4,最小值1.(I )求函數(shù)g(x)的解析式;f(x)二幽 xf(2x)-k 2x 之 0 在 x=-1,1時(shí)恒成立，求 K的取值范圍1. D2. B3.A20032試卷答案5 . a a 或 a 蕓一13x6 .y = e7.1 -近8.解(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以I一 一 1b jf (0) =0,即=0,解得 b =12 a2x 1一八從而有 f(x)=工.3 分2x 1 2x,21(2)由(1)知 f(x) =21.，22x 1由y =2x的單調(diào)性可推知 f (x)在R上為減函數(shù).3分2111(3)解

11、法一：由(1)知 f(x)=12s1 = 一1+, 222 2x 1由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式_2_2_2_2_2f(t 2t)+f(2t k)<0 等價(jià)于 f(t -2t) <-f(2t k)=f(2t +k).因f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2 2tA -2t2 +k.即對(duì)一切t R有3t2 2t k A 0,從而.2分14 =4+12k <0,解得 k < 一一 2分31 V ,1119.解析：(1)由 f(x) =(-)x,x=1,1，知 f(x) J,3 ，令 t=f(x尸3 333.1分記g(x) =y =t2

12、2at +3,貝U g(x)的對(duì)稱(chēng)軸為t = a ,故有:128 2a當(dāng)a <一時(shí)，g(x)的最小值h(a) =-393當(dāng)a之3時(shí)，g(x)的最小值h(a) =12 -6a1_ _2當(dāng)一<a <3時(shí)，g(x)的最小值h(a) = 3 a3綜述，28 2a1一 a <933.,、,21 一 7分h(a) = 3 -a 二 a :二 33126a a 至3(2)當(dāng)a之3時(shí),h(a) = 6a+12.故 m>n>3 時(shí)，h(a)在 h,m上為減函數(shù).所以h(a)在hm上的值域?yàn)閒h(m),h(n)L 9 分22h(m)=n I6m 12 =n22由題，則有

13、1;2= «2，兩式相減得6n6m=n -m，又m#nh(n) = m-6n 12 = m所以m +n =6 ,這與m > n a3矛盾.故不存在滿(mǎn)足題中條件的m ,n的值.2210.解析：設(shè) g(x)=ax +(a+2)x+2(a+2),則 f(x) = log21ax +(a+ 2)x + 2(a + 2)在區(qū)間a+2,2( a+2)上恒有定義即g(x) >0在a+2,2( a+2)上恒成立.當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=2x+4>0于2, 4上恒成立.a 2當(dāng)a>0時(shí)，g(x)的對(duì)稱(chēng)軸<0, g(x)在a+2,2(a+2)上單調(diào)增加，所以,2a，一、，一、

14、，2 一八 一g(a +2) =(a +2)(a +3a + 4) > 0 , 由 a+2>0, a2+3a+4>0,所以 aw(0,收).r ,l g(a 2) 0當(dāng) a<0 時(shí)，g(x)A0于a+2,2(a+2)上恒成立，則 <,g2(a 2) 0由 g(a+2)=(a+2)(a2 +3a+4) >0, a2 +3a+4>0,得 a +2>0,即 a a2；由 g2(a+2) =(a+2)(2a2 +5a+3) >0,得 2a2 +5a + 30 ,一 3一3解得 a一一或 a a T ,所以，-2父2<一一或一1'<

15、;2<0.22、,3綜上，a 匚(_2, _) ( _1, + *).211.解析：(I)(P證明：由(i)知：上I,令aH(III) ¥于3, 4上的每一個(gè)x的值，不等式 11恒成立，0即：I恒成立10分0由(II)知： I在R上單調(diào)遞增,12分12.(1)增函數(shù)，用定義證明.a(2)設(shè) u(x) =x + 一2 ,當(dāng) a J1,4) , x2,收)時(shí) xa由(1)知u(x)=x+2在2,收)上是增函數(shù)xf(x)=lg(x+-2)在2,收)上是增函數(shù)xaa-f (x) =lg(x+2)在2,如c)上的取小值為 f(2)=lg x2(3)對(duì)任意xw2,n)恒有f (x) >

16、;0 ,即x+a- -2 >1對(duì)xW2,n)恒成立9 ,+ 在xW2,yC)上是減函數(shù)4x2 .一 一一 一 23 2a >3x x ,而 h(x) =3x x = (x ) h(x)max =h(2) =2, a >213.13考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)綜合題；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析： (1)由 lg (lgy ) =lg3x+lg (3-x),可得 1g (lgy) =lg3x (3-x) , 0<x<3. 1gy=3x (3-x),即可得出.(2)令u=3x (3-x) =-3 (x- -) 2+,在(0,工)上單調(diào)遞增，在

17、隹，3)上單調(diào)遞2422減；而10u是增函數(shù)，即可得出f (0) <f <f 心 ,2(3)由(2)可知：函數(shù)f (x)的遞減區(qū)間為心，3) .2解答： (1)lg (lgy) =1g3x+1g (3-x),lg (lgy) =1g3x (3-x) , 0<x< 3.1gy=3x (3-x),.f (x) =y=103x(3 x), xC (0, 3).(2)令u=3x (3-x) =-32+,在(0, g)上單調(diào)遞增，在 由，3)上單調(diào)遞 2422減；而10u是增函數(shù). f (0) <f <f (1),27.f (x)的值域?yàn)?1, 1 o4 .(3)由(2)可知：函數(shù)f (x)的遞減區(qū)間為1，3).點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了 推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.214.解：(i)g(x)=a(x-1) -a+1+b，函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=12- a >0 g(x) =a(x -1) _a+1+b在區(qū)間2 , 3上遞增。:g(2) =1=依題意得c(3)=4'a a +1 + b =1a =1即 14a a +1+b=4,解得 b=0,、2. g(x)= x -2x