高中數(shù)學(人教版)選修2-3教學設(shè)計：122組合

1、122組合教學目標：知識與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題。過程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù)與組合數(shù)Cnm之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運用組合數(shù)公式進行計算。情感、態(tài)度與價值觀：能運用組合要領(lǐng)分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力。教學重點：組合的概念和組合數(shù)公式教學難點：組合的概念和組合數(shù)公式授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與

2、順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系. 指導學生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學的真諦在于悟，只有學生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通. 能列舉出某種方法時，讓學生通過交換元素位置的辦法加以鑒別. 學生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時，可引導學生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊，即第一步僅從

3、組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題.  排列、組合問題大都來源于同學們生活和學習中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會問題的實質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)筆者觀察，有些同學之所以學習中感到抽象，不知如何思考，并不是因為數(shù)學知識跟不上，而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況，怎么做事就怎么分析

4、，若能借助適當?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說明問題.久而久之，學生的邏輯思維能力將會大大提高.教學過程：一、復習引入： 1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4排列數(shù)的

5、定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示5排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個計算公式：= 8.提出問題： 示例1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？引導觀察：示例1中不但要求選出2名同學，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學，是與順序無關(guān)的引出課題：組合二、講解新課：1組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并

6、成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合說明：不同元素；“只取不排”無序性；相同組合：元素相同例1判斷下列問題是組合還是排列（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？（2）高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽，需要進行多少場比賽？（3）從全班23人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？（4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？（5）10個人互通電話一次，共多少個電話？問題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個組合就叫相同的組合2組合數(shù)的

7、概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號表示3組合數(shù)公式的推導：（1）從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系，如下： 組 合 排列 由此可知,每一個組合都對應著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步： 考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有個； 對每一個組合的3個不同元素進行全排列，各有種方法由分步計數(shù)原理得：，所以，（2）推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分如下兩

8、步： 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)； 求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：（3）組合數(shù)的公式：或 規(guī)定: .三、講解范例：例2用計算器計算解：由計算器可得 例3計算：（1）； （2）； （1）解： 35；（2）解法1：120 解法2：120例4求證：證明：例5設(shè) 求的值 解：由題意可得： ，解得， 或或，當時原式值為7；當時原式值為7；當時原式值為11所求值為4或7或11例6 一位教練的足球隊共有 17 名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人問： (l)這位教練從這 17 名學員中可以形成多少種學員上場方案？ (

9、2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：對于（1)，根據(jù)題意，17名學員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從 17 個不同元素中選出11個元素的組合問題；對于（ 2 ) ，守門員的位置是特殊的，其余上場學員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題解： (1）由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案有 C 手 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學員中選出 n 人組成上場小組，共有種選法；第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有種選法所以教練員做這件事情的方法數(shù)有=1

10、36136（種）.例7（1）平面內(nèi)有10 個點，以其中每2 個點為端點的線段共有多少條？(2）平面內(nèi)有 10 個點，以其中每 2 個點為端點的有向線段共有多少條？解：(1）以平面內(nèi) 10 個點中每 2 個點為端點的線段的條數(shù)，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)，即線段共有 （條）.(2）由于有向線段的兩個端點中一個是起點、另一個是終點，以平面內(nèi)10個點中每 2 個點為端點的有向線段的條數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段共有（條）.例8在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 .(1）有多少種不同的抽法？(2）抽

11、出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有= 161700 （種）. (2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有=9506(種). (3）解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品兩種情況在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法

12、有+=9 604 （種） . 解法2 抽出的3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3 件的抽法種數(shù)減去3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即=161 700-152 096 = 9 604 （種）. 說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。變式：按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當選； （2）甲、乙、丙三人不能當選；（3）甲必須當選，乙、丙不能當選； （4）甲、乙、丙三人只有一人當選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當選； （6）甲、乙、丙三人至少1人當選；例9（1）6本不同的書分給甲、乙、丙3同學，每人各得2本，有

13、多少種不同的分法？解：（2）從5個男生和4個女生中選出4名學生參加一次會議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：問題可以分成2類：第一類 2名男生和2名女生參加，有中選法；第二類 3名男生和1名女生參加，有中選法依據(jù)分類計數(shù)原理，共有100種選法錯解：種選法引導學生用直接法檢驗，可知重復的很多例104名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實踐活動小組，問組成方法共有多少種？解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有，所以，一共有+100種方法解法二：（間接法）組合數(shù)的性質(zhì)1：一般地，從n個不同元素中取出個元素后，剩下個元素因為從n個不同元素

14、中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數(shù)，即：在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應”的思想證明：又 ，說明：規(guī)定：；等式特點：等式兩邊下標同，上標之和等于下標；此性質(zhì)作用：當時，計算可變?yōu)橛嬎?，能夠使運算簡化.例如=2002； 或2組合數(shù)的性質(zhì)2：+一般地，從這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有含有的組合是從這n個元素中取出m -1個元素與組成的，共有個；不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共有個

15、根據(jù)分類計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì)在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想證明： + 說明：公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與大的相同的一個組合數(shù)； 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算 例11一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）,或，；（2）；（3）例12（1）計算：；（2）求證：+解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊例13解方程：（1）；（2）

16、解方程：解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗,這樣運算量小得多.（2）原方程可化為，即，解得或， 經(jīng)檢驗：是原方程的解 例14證明：。證明：原式左端可看成一個班有個同學，從中選出個同學組成興趣小組，在選出的個同學中，個同學參加數(shù)學興趣小組，余下的個同學參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在個同學中選出個同學參加數(shù)學興趣小組，在余下的個同學中選出個同學參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例15證明：（其中）。證明：設(shè)某班有個男同學、個女同學，從中選出個同學組成興趣小組，可分為類：男同

17、學0個，1個，個，則女同學分別為個，個，0個，共有選法數(shù)為。又由組合定義知選法數(shù)為，故等式成立。例16證明：。證明：左邊=，其中可表示先在個元素里選個，再從個元素里選一個的組合數(shù)。設(shè)某班有個同學，選出若干人（至少1人）組成興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)分類（），則選法總數(shù)即為原式左邊。現(xiàn)換一種選法，先選組長，有種選法，再決定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有種，所以選法總數(shù)為種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例17證明：。證明：由于可表示先在個元素里選個，再從個元素里選兩個（可重復）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上，

18、再指定一人為副組長（可兼職）的組合數(shù)。對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個人兩種情況。若組長和副組長是同一個人，則有種選法；若組長和副組長不是同一個人，則有種選法。共有+種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例18第17屆世界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32支球隊有幸參加，他們先分成8個小組循環(huán)賽，決出16強（每隊均與本組其他隊賽一場，各組一、二名晉級16強），這支球隊按確定的程序進行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進行多少場比賽？答案是：，這題如果作為習題課應如何分析解：可分為如下幾類比賽：小組循環(huán)賽：每組有

19、6場，8個小組共有48場；八分之一淘汰賽：8個小組的第一、二名組成16強，根據(jù)抽簽規(guī)則，每兩個隊比賽一場，可以決出8強，共有8場；四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，8強中每兩個隊比賽一場，可以決出4強，共有4場；半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，4強中每兩個隊比賽一場，可以決出2強，共有2場；決賽：2強比賽1場確定冠亞軍，4強中的另兩隊比賽1場決出第三、四名 共有2場.綜上，共有場四、課堂練習： 1判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題：（1）從4個風景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？ （2）從4個風景點中選出2個，并確定這2個風景點的游覽順序，有多少種不同的方法？2名同學進行乒乓球擂臺賽，決出

20、新的擂主，則共需進行的比賽場數(shù)為（ ） 3如果把兩條異面直線看作“一對”，則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（ ） 對 對 對 對4設(shè)全集，集合、是的子集，若有個元素，有個元素，且，求集合、，則本題的解的個數(shù)為 （ ） 5從位候選人中選出人分別擔任班長和團支部書記，有 種不同的選法6從位同學中選出人去參加座談會，有 種不同的選法7圓上有10個點：（1）過每2個點畫一條弦，一共可畫 條弦；（2）過每3個點畫一個圓內(nèi)接三角形，一共可畫 個圓內(nèi)接三角形8（1）凸五邊形有 條對角線；（2）凸五邊形有 條對角線9計算：（1）；（2）10個足球隊進行單循環(huán)比賽，（1）共需比賽多少場？（2）若各隊的得分

21、互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？ 11空間有10個點，其中任何4點不共面，（1）過每3個點作一個平面，一共可作多少個平面？（2）以每4個點為頂點作一個四面體，一共可作多少個四面體？12壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13寫出從這個元素中每次取出個的所有不同的組合答案：1. （1）組合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2） 9. 455； 10. 10； 2011. ； 12. 13. ； ； ； ； 五、小結(jié) ：組合的意義與組合數(shù)公式；解決實際問題時首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時要利用分類和分步計數(shù)原理 學生探究過程：（完成如下表格） 名稱內(nèi)容分類原理分步原理定 義 相同點 不同點 名 稱排 列組 合定義 種數(shù) 符號  計算公式 關(guān)系 性質(zhì)  ，六、課