大學(xué)高等數(shù)學(xué)_12空間曲線及平面方程

1、 第七七章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

2、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxo二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時(shí)當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz M機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222a

3、ayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求空間曲線 :)(tx)(ty)(tz)( t繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點(diǎn)點(diǎn) M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度 后到點(diǎn) , ),(zyxM則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . 例如例如, 直線1xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方

4、程為4)(4222zyxxzoy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如又如, xoz 面上的半圓周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200說(shuō)明說(shuō)明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲

5、線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

6、返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) P324 題 1，2，7（展示空間圖形）P324 題1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3)zxyo oaoa222azx222ayx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P324 題2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yz2x3思考思考: :by 對(duì)平面交線情況如何?,3時(shí)當(dāng)b交線情況如何?,3時(shí)當(dāng)bP324 題2(2

7、)19422yx3y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P325 題 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P324 3，4，5，6, 8作業(yè)作業(yè)第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx備用題備用題求曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 1zyx解：解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 2yz 0 x,它與所給平面的機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第五節(jié)一、平面的點(diǎn)法式方

8、程平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 平面及其方程 第七七章 zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kji例例1.1.求過三點(diǎn),1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914z

9、yx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說(shuō)明說(shuō)明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0

10、 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

11、下頁(yè) 返回 結(jié)束 特殊情形特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求

12、通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己練習(xí)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄

13、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此有例例4. 一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyB

14、xA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo0M例例6.解解: 設(shè)球心為求內(nèi)切于平面 x + y

15、+ z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0212121CCBB

16、AA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(1111CBAn 思考與練習(xí)思考與練習(xí)P330 題4 , 5, 8第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P330 2 , 6 , 7 , 9)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx備用題備用題求過點(diǎn) 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平

17、面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡(jiǎn)得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第六節(jié)一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間直線及其方程 第七七章 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(0000zyxM2. 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程故有說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零

18、.mxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)直線方程為s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解解:先在直線上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,

19、得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2L1L二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212

20、121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. . 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為(參考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s20101

21、12kjis 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別有特別有:L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: 取已知平面的法向量421zyx則直線的對(duì)稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂

22、 ) 1,3,2(nn例例3. 求過點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121c

23、osssss 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P335 3，4，5，7，9 P335 題2, 10習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí))1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設(shè)直線解：解：,2上在因原點(diǎn)LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點(diǎn)及 的平2L面的法向量為則所求直線的方向向量方法方

24、法1 利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以O(shè)Asn2121112kjikji333一直線過點(diǎn) 且垂直于直線 又和直線備用題備用題nOA2L2s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與L2 的交點(diǎn) .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB則有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0

25、000,2yzyx將代入上式 , 得由點(diǎn)法式得所求直線方程而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課一一、 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 二、二、實(shí)實(shí)例分析例分析機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間解析幾何 第七七章 一一、內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間平面空間平面一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zy

26、x點(diǎn)0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點(diǎn); 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:2. .線面之間的相互關(guān)系線面之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBx

27、A021nn021nn2121cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式：0CpBnAm面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

28、 結(jié)束 3. 相關(guān)的幾個(gè)問題相關(guān)的幾個(gè)問題(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)點(diǎn)的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為(3) 點(diǎn)2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(000

29、0zyxML機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二、實(shí)實(shí)例分析例分析例例1. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線提示提示: 所求直線的方向向量可取為利用點(diǎn)向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點(diǎn) (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21nnskji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 241312zyx例例2. 求直線與平面062zyx的交點(diǎn) . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.tztytx2432t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求過點(diǎn)( 2 , 1 ,

30、3 ) 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直線交點(diǎn) P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點(diǎn)),(7371372P最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過已知點(diǎn)且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.提示提示：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)一平面平行于已知直線0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 417211