高等數學課件：D2_1導數的概念（第一章）

1、第二章微積分學的創(chuàng)始人: 德國數學家 Leibniz 微分學導數導數描述函數變化快慢微分微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具 (從微觀上研究函數)導數與微分導數思想最早由法國數學家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數學家 Newton一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續(xù)性的關系四、函數的可導性與連續(xù)性的關系五、單側導數五、單側導數第一節(jié)第一節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 導數的概念導數的概念 第二章 一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為)(tfs 0t則 到 的

2、平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時

3、速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、導數的定義二、導數的定義定義定義1 . 設函數)(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )

4、(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數若的某鄰域內有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數導數. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 運動質點的位置函數)(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 說明說明: 在經濟學中, 邊際成本率,邊際勞動生產率和邊

5、際稅率等從數學角度看就是導數.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數在開區(qū)間 I 內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數就稱函數在 I 內可導. 的導數為無窮大 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求函數Cxf)(C 為常數) 的導數. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函數)N()(

6、nxxfn.處的導數在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明：說明：對一般冪函數xy ( 為常數) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數xxfsin)(的導數. 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2co

7、s(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )1(lnxh例例4. 求函數xxfln)(的導數. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 證明函數xxf)(在 x = 0 不可導. 證證:hfhf

8、)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可導在即xx例例6. 設)(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、三、 導數的幾何意義導數的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0

9、)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1111例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(1

10、31xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 處可導在點xxf)(四、四、 函數的可導性與連續(xù)性的關系函數的可導性與連續(xù)性的關系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點 x 處可導,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數)(xfy 在點 x 連續(xù) .注意注意: 函數在點 x 連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點0 x的某個右右 鄰域內五、五、 單側

11、導數單側導數)(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導數導數,0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數有定義,存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2. 函數在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右右 導數存在0 x定理定理3. 函數)(xf)(xf在點

12、0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數)(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導,)(baCxf在開區(qū)間 內可導,),(ba在閉區(qū)間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 導數的實質:3. 導數的幾何意義:4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比

13、的極限;切線的斜率;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 函數 在某點 處的導數)(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數 ,)(0 xf 是數值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導函數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設)(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導?解解:由題設)0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準

14、則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導, 且0)0( f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5. 設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數在 x = 0 連續(xù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè) P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 牛頓牛頓(1642 17

15、27)偉大的英國數學家 , 物理學家, 天文學家和自然科學家. 他在數學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分. 1665年他提出正流數 (微分) 術 , 次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成流數術與無窮級數一書 (1736年出版). 他還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等 .萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)德國數學家, 哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學藝雜志上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 . 他還設計了作乘法的計算機 , 系統(tǒng)地闡述二進制計數法 , 并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 .備用題備用題 解解: 因為1. 設)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以.