數(shù)學必修ⅱ北師大版 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 課件

1、1直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2三年三年1010考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；2.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；3.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. .31.1.直線與圓的位置關(guān)系、特別是直線與圓相切是高考的重點；直線與圓的位置關(guān)系、特別是直線與圓相切是高考的重點；2.2.常與直線與圓的位置關(guān)

2、系、圓與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)常與直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)結(jié)合結(jié)合, ,重點考查用待定系數(shù)法求直線與圓的方程；重點考查用待定系數(shù)法求直線與圓的方程；3.3.題型以選擇題和填空題為主，屬中低檔題目題型以選擇題和填空題為主，屬中低檔題目. .有時與其他有時與其他知識點交匯在解答題中出現(xiàn)知識點交匯在解答題中出現(xiàn). .41.1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系(1)(1)從方程的觀點從方程的觀點把圓的方程與直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化成一元二次把圓的方程與直線的方程聯(lián)立組成方程組，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用判別式方程，利用判別式判斷位置關(guān)系判斷位置關(guān)系. . 相離相離 相切相

3、切 相交相交位置關(guān)系位置關(guān)系0 0=0=00 0 5(2)(2)從幾何的觀點從幾何的觀點利用圓心到直線的距離利用圓心到直線的距離d d與半徑與半徑r r比較大小來判斷直線與圓的比較大小來判斷直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系. . d d 與與r r 的關(guān)系的關(guān)系 dr dr dr 位置位置 關(guān)系關(guān)系 相交相交 相切相切 相離相離6【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)“k=1”(1)“k=1”是是“直線直線x-y+k=0 x-y+k=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的的_條件條件. .(2)(2)已知點已知點M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圓是圓x x2 2+y+y2 2=r=r2

4、 2(r0)(r0)內(nèi)異于圓心的一點，則內(nèi)異于圓心的一點，則直線直線x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2與此圓的位置關(guān)系是與此圓的位置關(guān)系是_._.7【解析解析】(1)(1)當當k=1k=1時，圓心到直線的距離時，圓心到直線的距離 此時直線與圓相交；若直線與圓相交，則此時直線與圓相交；若直線與圓相交，則 解得解得 ；所以，；所以，“k=1k=1”是是“直線直線x-y+k=0 x-y+k=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1相相交交”的充分不必要條件的充分不必要條件. .(2)(2)因為點因為點M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圓是圓x x2 2+y+y2 2=r=r

5、2 2(r0)(r0)內(nèi)的一點，所以內(nèi)的一點，所以x x2 20 0+y+y2 20 0rr2 2，圓心到直線，圓心到直線x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距離的距離 所以直線與圓相離所以直線與圓相離. .答案：答案：(1)(1)充分不必要充分不必要 (2)(2)相離相離22|1|2d=1=r21 +(-1)，22|k|11 +(-1)，- 2k=rrx +y，82.2.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓設(shè)圓O O1 1:(x-a:(x-a1 1) )2 2+(y-b+(y-b1 1) )2 2=r=r2 21 1(r(r1 10),0),圓圓O O2 2:(x-a:(x-

6、a2 2) )2 2+(y-b+(y-b2 2) )2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).9【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：若兩圓相交時，公共弦所在的直線方程與兩圓的方思考：若兩圓相交時，公共弦所在的直線方程與兩圓的方程有何關(guān)系？程有何關(guān)系？提示：提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關(guān)于兩圓的方程作差，消去二次項得到關(guān)于x x、y y的二元一的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程次方程，就是公共弦所在的直線方程. .10(2)(2)判斷下列兩圓的位置關(guān)系判斷下列兩圓的位置關(guān)系. .x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0與與x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y

7、=0的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.x x2 2+y+y2 2+2x+4y+1=0+2x+4y+1=0與與x x2 2+y+y2 2-4x-4y-1=0-4x-4y-1=0的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.x x2 2+y+y2 2-4x+2y-4=0-4x+2y-4=0與與x x2 2+y+y2 2-4x-2y+4=0-4x-2y+4=0的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.11【解析解析】因為兩圓的方程可化為：因為兩圓的方程可化為：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，所以，兩圓圓心距，所以，兩圓圓心距 而兩而兩圓的半徑之和圓的半徑之

8、和r r1 1+r+r2 2=1+2=3=1+2=3；兩圓的半徑之差；兩圓的半徑之差r r2 2-r-r1 1=2-1=1=2-1=1；所以所以r r2 2-r-r1 1|O|O1 1O O2 2|r|1,1,即即k k 時，直線時，直線l與圓與圓C C相離；相離；當當 =1,=1,即即k= k= 時，直線時，直線l與圓與圓C C相切；相切；當當 1,1,即即k k 時，直線時，直線l與圓與圓C C相交相交. .222|k-0+5|k+5|d=,k +(-1)k +12|k+5|k +12|k+5|k +12|k+5|k +112-512-512-523與圓有關(guān)的弦長、中點問題與圓有關(guān)的弦長、

9、中點問題【方法點睛方法點睛】直線被圓截得弦長的求法直線被圓截得弦長的求法(1)(1)代數(shù)方法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于代數(shù)方法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長 (2)(2)幾何法：設(shè)圓的半徑為幾何法：設(shè)圓的半徑為r r，弦心距為，弦心距為d d，弦長為，弦長為l，則有：，則有：222121212|AB|= 1+k |x -x |= 1+k(x +x ) -4x x ;222() =r -d . 2l24【例例2 2】已知點已知點P(0,5)P(0,5)及圓及圓C C：x x2 2

10、+y+y2 2+4x-12y+24=0.+4x-12y+24=0.(1)(1)若直線若直線l過點過點P P且被圓且被圓C C截得的弦長為截得的弦長為 ，求直線，求直線l的方程；的方程；(2)(2)求過點求過點P P的圓的圓C C的弦的中點的軌跡方程的弦的中點的軌跡方程. .【解題指南解題指南】(1)(1)本題求直線方程，因為直線過點本題求直線方程，因為直線過點P(0,5)P(0,5)，所以只差直線的斜率，因此可利用條件求斜率；所以只差直線的斜率，因此可利用條件求斜率；(2)(2)設(shè)中點的坐標，可利用條件，尋求等式，化簡即得軌跡方設(shè)中點的坐標，可利用條件，尋求等式，化簡即得軌跡方程程. .4 3

11、25【規(guī)范解答規(guī)范解答】圓圓C C的標準方程為的標準方程為:(x+2):(x+2)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=16,=16,所以圓心坐標為所以圓心坐標為C(-2C(-2，6)6)，半徑，半徑r=4.r=4.(1)(1)當斜率不存在時，直線方程為當斜率不存在時，直線方程為x=0 x=0，圓心到此直線的距離為，圓心到此直線的距離為2 2，此時弦長為，此時弦長為 符合題意；符合題意；當直線當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+5y=kx+5，即即kx-y+5=0kx-y+5=0，又因為圓的半徑，又因為圓的半徑r=4r=4，弦長為，弦長為 圓心到直線圓心到直線

12、l的的距離為距離為解得，解得， 因此直線方程為因此直線方程為 即即3x-4y+20=0,3x-4y+20=0,綜上可知：所求直線方程為綜上可知：所求直線方程為x=0 x=0或或3x-4y+20=0.3x-4y+20=0.222 4 -2 =4 3，4 3，222|-2k-6+5|d= 4 -(2 3) =2k +1，3k=4，3x-y+5=04，26(2)(2)設(shè)弦的中點為設(shè)弦的中點為M(x,y)M(x,y)，由圓的性質(zhì)得：，由圓的性質(zhì)得： (x+2,(x+2,y-6)y-6)(x-0,y-5)=0,(x-0,y-5)=0,化簡得：化簡得：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+

13、2x-11y+30=0.因此，所求軌跡方程為：因此，所求軌跡方程為：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.CM PM=0 ，27【反思反思感悟感悟】1.1.本題第一問是已知弦長及直線過一點求直本題第一問是已知弦長及直線過一點求直線方程，因此，還需要一個條件，即只需斜率即可，應(yīng)分斜線方程，因此，還需要一個條件，即只需斜率即可，應(yīng)分斜率存在與不存在兩種情形考慮，該問題易忽略斜率不存在的率存在與不存在兩種情形考慮，該問題易忽略斜率不存在的情況；情況；2.2.解答第二問求中點的軌跡方程，其關(guān)鍵是找到一個等量關(guān)解答第二問求中點的軌跡方程，其關(guān)鍵是找到一個等量關(guān)系，

14、本題利用圓心與弦的中點的連線垂直于該弦來求解系，本題利用圓心與弦的中點的連線垂直于該弦來求解. .28【變式訓練變式訓練】已知圓已知圓C C過點過點(1(1，0)0)，且圓心在，且圓心在x x軸的正半軸上，軸的正半軸上，直線直線l:y=x-1:y=x-1被圓被圓C C所截得的弦長為所截得的弦長為 ，則過圓心且與直線，則過圓心且與直線l垂垂直的方程為直的方程為_._.【解析解析】設(shè)所求直線的方程為設(shè)所求直線的方程為x+y+m=0,x+y+m=0,圓心圓心(a,0)(a,0)，由題意，由題意知：知： 解得解得a=3a=3或或a=-1,a=-1,又因為圓心在又因為圓心在x x軸的正半軸的正半軸上，軸

15、上，a=3,a=3,故圓心坐標為故圓心坐標為(3(3，0)0)，而直線，而直線x+y+m=0 x+y+m=0過圓心過圓心(3(3，0)0)，3+0+m=03+0+m=0，即，即m=-3,m=-3,故所求直線的方程為故所求直線的方程為x+y-3=0.x+y-3=0.答案：答案：x+y-3=0 x+y-3=02 222|a-1|() +2=(a-1) ,229【變式備選變式備選】直線直線 截圓截圓x x2 2+y+y2 2=4=4得到的劣弧的弧長得到的劣弧的弧長為為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】選選C.C.因為圓因為圓x x2 2+y+y2 2

16、=4=4的圓心坐標為的圓心坐標為(0(0，0)0)，圓心到直線，圓心到直線 的距離的距離 而圓的半徑為而圓的半徑為2 2，所以該直線，所以該直線截圓所得弦長為截圓所得弦長為 所以劣弧所對的圓心角為所以劣弧所對的圓心角為 所以劣所以劣弧所對的弧長為弧所對的弧長為3x+y-2 3=0322 33x+y-2 3=0|2 3|d= 3,3+122 2 -3=2，,3234 =.23 30圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系【方法點睛方法點睛】1.1.兩圓公切線的條數(shù)兩圓公切線的條數(shù)2.2.判斷兩圓位置關(guān)系的方法判斷兩圓位置關(guān)系的方法判斷兩圓的位置關(guān)系，可根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的判斷兩圓的位置關(guān)系，可

17、根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值之間的關(guān)系求解絕對值之間的關(guān)系求解. .位置關(guān)系位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)含內(nèi)切內(nèi)切相交相交外切外切外離外離公切線條數(shù)公切線條數(shù)0 01 1 2 2 3 34 4 31【提醒提醒】利用兩圓所組成的方程組的解的個數(shù)，不能判斷內(nèi)利用兩圓所組成的方程組的解的個數(shù)，不能判斷內(nèi)切與外切、外離與內(nèi)含切與外切、外離與內(nèi)含. . 32【例例3 3】已知圓已知圓C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0，圓，圓C C2 2：x x2 2+y+y2 2+2x-+2x-2my+m2my+m2 2-3=0-3=0，m m取何值時取何值時(

18、1)(1)圓圓C C1 1與圓與圓C C2 2外切；外切；(2)(2)圓圓C C1 1與圓與圓C C2 2內(nèi)含內(nèi)含. .【解題指南解題指南】可先求出兩圓的圓心及半徑，利用兩圓外切、可先求出兩圓的圓心及半徑，利用兩圓外切、內(nèi)含與兩圓半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可求出內(nèi)含與兩圓半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可求出m m的值或取值的值或取值范圍范圍. .33【規(guī)范解答規(guī)范解答】對于圓對于圓C C1 1與圓與圓C C2 2的方程，經(jīng)配方后得的方程，經(jīng)配方后得C C1 1:(x-m):(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,C=9,C2 2:(x+1):(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2

19、2=4.=4.(1)(1)當兩圓外切時，則有當兩圓外切時，則有解得：解得：m=-5m=-5或或m=2m=2；(2)(2)當兩圓內(nèi)含時，則有當兩圓內(nèi)含時，則有解得：解得：-2m-1.-2m-1.22(m+1) +(-2-m) =3+2，22(m+1) +(-2-m) 3-2，34【反思反思感悟感悟】1.1.解決本題主要是利用兩圓的不同位置關(guān)系解決本題主要是利用兩圓的不同位置關(guān)系所滿足的圓心距與半徑的幾何關(guān)系求解；所滿足的圓心距與半徑的幾何關(guān)系求解；2.2.注意應(yīng)用圓心距與兩圓半徑和、半徑差的關(guān)系時，半徑差注意應(yīng)用圓心距與兩圓半徑和、半徑差的關(guān)系時，半徑差應(yīng)為較大半徑減去較小半徑應(yīng)為較大半徑減去較

20、小半徑. .35【變式訓練變式訓練】設(shè)圓設(shè)圓C C2 2經(jīng)過點經(jīng)過點A(4,-1)A(4,-1)且與圓且與圓C C1 1：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+2x-6y+5=0+5=0切于點切于點B(1,2)B(1,2)，求圓，求圓C C2 2的方程的方程. .【解析解析】由平面幾何知識可知：由平面幾何知識可知：C C1 1、B B、C C2 2三點共線，又三點共線，又BCBC1 1的的方程為：方程為：x+2y-5=0 x+2y-5=0，ABAB的垂直平分線方程為：的垂直平分線方程為：x-y-2=0 x-y-2=0，由，由 得得即即C C2 2(3,1)(3,1)；又；又|C|C2 2A|

21、= ,A|= ,所以所以r= r= ，圓圓C C2 2的方程為：的方程為：(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5. =5. x+2y-5=0 x-y-2=0，x=3y=1，5536【創(chuàng)新探究創(chuàng)新探究】直線與圓的位置關(guān)系的創(chuàng)新命題直線與圓的位置關(guān)系的創(chuàng)新命題【典例典例】(2011(2011江蘇高考江蘇高考) )集合集合A=(x,y)| (x-2)A=(x,y)| (x-2)2 2+y+y2 2mm2 2,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,若若AB,AB,則實數(shù)則實數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是_

22、._.【解題指南解題指南】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結(jié)合直線與圓的位置鍵是找出集合所代表的幾何意義，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，求得實數(shù)關(guān)系，求得實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍 m237【規(guī)范解答規(guī)范解答】ABAB ,A,A ,m,m2 2m m 或或m0.m0.顯然顯然BB . .要使要使ABAB , ,只需圓只需圓(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=m=m2 2(m0)(m0)與與x+y=2mx+y=2m或或x+y=2m+1x+y=2m+1有交點，即有交點，即 或或又又m m 或或m0,m0,當當

23、m=0m=0時，時，(2(2，0)0)不在不在0 x+y10 x+y1內(nèi)內(nèi). .綜上所述，滿足條件的綜上所述，滿足條件的m m的取值范圍為的取值范圍為 . .答案：答案： m,212|2-2m|m|2|1-2m|2- 2|m|,m2+ 2.22121m2+ 2.21,2+ 221,2+ 2238【閱卷人點撥閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點撥和備考建議：點撥和備考建議： 創(chuàng)創(chuàng)新新點點撥撥本題的創(chuàng)新點有以下兩點本題的創(chuàng)新點有以下兩點: :(1)(1)考查形式的創(chuàng)新，以集合的形式給出了幾何圖形，考查形式的創(chuàng)新，以集合的形式給出了幾何圖形，兩幾

24、何圖形雖常見但不落俗套；兩幾何圖形雖常見但不落俗套；(2)(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線與圓的考查內(nèi)容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線與圓的位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線與圓、直位置關(guān)系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線與圓、直線與圓環(huán)的位置關(guān)系；同時還考查分類討論思想的應(yīng)線與圓環(huán)的位置關(guān)系；同時還考查分類討論思想的應(yīng)用用. . 39備備考考建建議議 解決直線與圓的位置關(guān)系問題時，要注意以下幾點：解決直線與圓的位置關(guān)系問題時，要注意以下幾點：(1)(1)根據(jù)題設(shè)條件，合理選擇利用代數(shù)方法還是利用根據(jù)題設(shè)條件，合理選擇利用代數(shù)方法還是利用幾何方法判斷其位置關(guān)系；幾何方法判斷其位置關(guān)系

25、；(2)(2)凡是涉及參數(shù)的問題，一定要注意參數(shù)的變化對凡是涉及參數(shù)的問題，一定要注意參數(shù)的變化對位置關(guān)系的影響，以便確定是否分類討論位置關(guān)系的影響，以便確定是否分類討論. . 401.(20111.(2011廣東高考廣東高考) )已知集合已知集合A=(x,y)|x,yA=(x,y)|x,y為實數(shù)，且為實數(shù)，且x x2 2+y+y2 2=1=1，B=(x,y)|x,yB=(x,y)|x,y為實數(shù)，且為實數(shù)，且y=xy=x，則，則ABAB的元素個數(shù)為的元素個數(shù)為( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析解析】選選C.ABC.AB的元素個數(shù)等于圓

26、的元素個數(shù)等于圓x x2 2+y+y2 2=1=1與直線與直線y=xy=x的交的交點個數(shù)，顯然有點個數(shù)，顯然有2 2個交點個交點. .412.(20112.(2011江西高考江西高考) )若曲線若曲線C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0與曲線與曲線C C2 2:y(y-mx-m):y(y-mx-m)=0=0有四個不同的交點，則實數(shù)有四個不同的交點，則實數(shù)m m的取值范圍是的取值范圍是( )( )(A)( (A)( ， ) (B)( ) (B)( ，0)(0, )0)(0, )(C)(C) , , (D)(-, )( ,+)(D)(-, )( ,+)3-3333-33-333333-33342【解析解析】選選B.B.如圖如圖,C,C1 1:(x-1):(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.C C2 2:y=0:y=0或或y=mx+m=m(x+1).y=mx+m=m(x+1).當當m=0m=0時，時，C C2 2:y=0,:y=0,此時此時C C1 1與與C C2 2顯然只顯然只有兩個交點有兩個交點, ,當當m0m0時，要滿足題意，需圓時，要滿足題意，需圓(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1與直線與直線y=m(x+1)y=m(x+1)有兩交點，當圓與直線相切時，有兩交點，當圓與直線相切時，m=m= ,