大物力學(xué)第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

1、運(yùn)動學(xué)運(yùn)動學(xué)研究物體位置隨時間變化的規(guī)律研究物體位置隨時間變化的規(guī)律主要內(nèi)容有：主要內(nèi)容有：三個概念：三個概念： 質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系四個物理量：四個物理量：位置矢量、位移、速度、加速度位置矢量、位移、速度、加速度第一章第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)數(shù)學(xué)知識：數(shù)學(xué)知識： 微分，積分，矢量微分，積分，矢量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)中的兩類問題：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)中的兩類問題： 第二類問題：已知質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度第二類問題：已知質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度（或加速度）以及初始狀態(tài)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程（或加速度）以及初始狀態(tài)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程（第一類問題的逆運(yùn)算）（第一類問題的逆運(yùn)算）用用積分方法積分方法求解。求解

2、。rva 第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，求質(zhì)點(diǎn)在第一類問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，求質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度和加速度，從而得知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全部任意時刻的速度和加速度，從而得知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全部情況情況用用微分方法微分方法求解；求解；avr參考系參考系對于同一種運(yùn)動，由于參照系對于同一種運(yùn)動，由于參照系選擇的不同而有不同的描寫選擇的不同而有不同的描寫運(yùn)動描述運(yùn)動描述的相對性的相對性宇宙中的一切物體都在運(yùn)動，沒有絕對靜止的物體，宇宙中的一切物體都在運(yùn)動，沒有絕對靜止的物體，這叫這叫運(yùn)動的絕對性運(yùn)動的絕對性。為了描述一個物體的機(jī)械運(yùn)動，必須選另一個物體為了描述一個物體的機(jī)械運(yùn)動，必須選另一個物體作參照物，作參

3、照物，被選被選作參照的物體稱為作參照的物體稱為參照系參照系注意注意參考系不一定是靜止的。參考系不一定是靜止的。只有參照系不能定量地描述物體的位置，要在參照系只有參照系不能定量地描述物體的位置，要在參照系上固定一個上固定一個坐標(biāo)系坐標(biāo)系，才能確定質(zhì)點(diǎn)的位置。，才能確定質(zhì)點(diǎn)的位置。常用的坐標(biāo)系有常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 和和自然自然坐標(biāo)系坐標(biāo)系等。等。(x, y, z)rzxyP直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系坐標(biāo)系(r, , )球極坐標(biāo)系球極坐標(biāo)系r位置矢量、運(yùn)動方程、位移位置矢量、運(yùn)動方程、位移1、位置矢量、位置矢量基本概念基本概念從原點(diǎn)從原點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)所在的位到質(zhì)點(diǎn)所在的

4、位置置P點(diǎn)的有向線段，叫做點(diǎn)的有向線段，叫做位置矢量位置矢量或或位矢。位矢。kzj yi xr 222zyxr rzcosrycosrxcos 說明說明位置矢量是矢量：有大小和方向；位置矢量是矢量：有大小和方向； 具有瞬時性；具有瞬時性； 具有相對性；具有相對性； 單位：米（單位：米（m）zOxyP(x,y,z)kjri2、運(yùn)動方程、運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，它相對坐標(biāo)原點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，它相對坐標(biāo)原點(diǎn)O的位置矢量的位置矢量r是隨時間變是隨時間變化的。因此，化的。因此，r是時間的函數(shù)是時間的函數(shù))(trr )()()(tzztyytxx運(yùn)動學(xué)的重要任務(wù)運(yùn)動學(xué)的重要任務(wù)之一，就是找出各之一，就是找出各種具

5、體運(yùn)動所遵循種具體運(yùn)動所遵循的運(yùn)動軌道方程。的運(yùn)動軌道方程。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，在坐標(biāo)系中描繪的曲質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，在坐標(biāo)系中描繪的曲線稱為線稱為運(yùn)動的軌跡運(yùn)動的軌跡。軌跡是直線：軌跡是直線：直線運(yùn)動直線運(yùn)動軌跡是曲線：軌跡是曲線：曲線運(yùn)動曲線運(yùn)動x z y z( t ) y( t )x( t ) r( t )P( t )03、位移、位移定義定義把由始點(diǎn)到終點(diǎn)的把由始點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段有向線段定義為質(zhì)點(diǎn)定義為質(zhì)點(diǎn)的位移矢量，簡稱位移。的位移矢量，簡稱位移。它是描述質(zhì)點(diǎn)它是描述質(zhì)點(diǎn)位置變化的物理量位置變化的物理量。計算計算1221rrrrrr kzzjyyixxkzjyixkzjyixrrr)()()()()

6、(12121211122212 xyzOP11rP22rr 位移與路程的區(qū)別位移與路程的區(qū)別位移是矢量：是指位置矢量的變化位移是矢量：是指位置矢量的變化路程是標(biāo)量：是指運(yùn)動軌跡的長度路程是標(biāo)量：是指運(yùn)動軌跡的長度速度速度1、平均速度、平均速度1212ttrrtrv xyzO)(11tr)(22trr 2瞬時速度瞬時速度定義：平均速度的極限值稱為瞬定義：平均速度的極限值稱為瞬時速度，簡稱速度時速度，簡稱速度dtrdvtrtlim0 dtdzvdtdyvdtdxvzyx3、關(guān)于速度的說明、關(guān)于速度的說明速度是矢量，有大小和方向速度是矢量，有大小和方向勻速運(yùn)動：速度為恒量勻速運(yùn)動：速度為恒量變速運(yùn)動

7、：速度為變量變速運(yùn)動：速度為變量速度具有瞬時性；速度具有瞬時性； 具有相對性；具有相對性； 單位：單位：ms s-1-1 1、平均加速度、平均加速度速度的增量與所用時間的比速度的增量與所用時間的比值叫做質(zhì)點(diǎn)的平均加速度值叫做質(zhì)點(diǎn)的平均加速度1212ttvvtva 2、瞬時加速度、瞬時加速度定義：平均加速度的極限值稱定義：平均加速度的極限值稱為瞬時加速度，簡稱加速度為瞬時加速度，簡稱加速度rdtrddtvdtvat 220lim 222222dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxxxyzO2v1vv 加速度加速度3、說明、說明1)加速度是矢量，有大小和方向加速度是矢量，

8、有大小和方向 勻變速運(yùn)動：勻變速運(yùn)動： 加速度為恒量加速度為恒量非勻變速運(yùn)動：加速度為變量非勻變速運(yùn)動：加速度為變量2)加速度具有瞬時性加速度具有瞬時性3) 具有相對性具有相對性4) 單位：單位： ms-2 例、一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為例、一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為 x = 4t 2, y = 2t + 3,其中其中x和和y 的單位是米的單位是米，t 的單位是秒的單位是秒。試求：（試求：（1）運(yùn)動軌跡；（）運(yùn)動軌跡；（2）第一秒內(nèi)的位移；（）第一秒內(nèi)的位移；（3）t = 0 和和 t = 1兩時刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。兩時刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。區(qū)別？各代表什么運(yùn)動？有無和00dtvddtvd)(0tr)(tr

9、tn總路程：nnnttvs)(ttdttv0)(rdtvrd位移： ttdtvdtvrdr0一般形式：ttdtvrtr00)(速度公式：ttdtavtv00)()()()(trtvta加速度為恒矢量時的運(yùn)動方程加速度為恒矢量時的運(yùn)動方程問題：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，其加速度問題：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，其加速度a為恒量為恒量在在t=0=0時，質(zhì)點(diǎn)的時，質(zhì)點(diǎn)的r0 ，v0，求在任意時刻求在任意時刻t，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、位移和速度。，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、位移和速度。1速度速度 tvvdtavd00t avv02位移和位置矢量位移和位置矢量 dtt avdtvrd 020021tatvrr tavvtavvtav

10、vzzzyyyxxx000200200200212121tatvzztatvyytatvxxzzyyxx 曲線可以運(yùn)動分解為幾個垂直方向的運(yùn)動。曲線可以運(yùn)動分解為幾個垂直方向的運(yùn)動。當(dāng)物體同時參與兩個或多個運(yùn)動時，其總的運(yùn)當(dāng)物體同時參與兩個或多個運(yùn)動時，其總的運(yùn)動乃是各個獨(dú)立運(yùn)動的合成結(jié)果。動乃是各個獨(dú)立運(yùn)動的合成結(jié)果。3、運(yùn)動的疊加原理或運(yùn)動的獨(dú)立性原理、運(yùn)動的疊加原理或運(yùn)動的獨(dú)立性原理勻速和勻加速直線運(yùn)動疊加勻速和勻加速直線運(yùn)動疊加平拋運(yùn)動平拋運(yùn)動斜拋運(yùn)動斜拋運(yùn)動初速度初速度vx0=v0cosvy0= v0sin初始位置初始位置x0=0y0=0加速度加速度ax=0ax= -g2220cos

11、2xvgxtgy 軌跡方程軌跡方程 20021 sin cosgttvytvx 運(yùn)動方程運(yùn)動方程水平方向：勻速運(yùn)動水平方向：勻速運(yùn)動豎直方向：豎直上拋運(yùn)動豎直方向：豎直上拋運(yùn)動 軌跡為拋物線軌跡為拋物線d0速度速度vx= v0cosvy= v0sin g t兩體相遇問題：軌道相交問題質(zhì)點(diǎn)1：軌道方程為)(1tr質(zhì)點(diǎn)2：軌道方程為)(2tr兩個質(zhì)點(diǎn)相交的條件兩個質(zhì)點(diǎn)相交的條件：)()(21trtr分量表示：)()()()()()(212121tztztytytxtx空中打靶：書上例題（p18)相對運(yùn)動相對運(yùn)動研究的問題研究的問題: : 在兩個參考系中考察同在兩個參考系中考察同一物理事件，會有不同

12、的表示形式。一物理事件，會有不同的表示形式。小船運(yùn)動小船運(yùn)動以地球?yàn)閰⒄障狄缘厍驗(yàn)閰⒄障档厍虻厍蛟铝猎铝烈蕴枮閰⒄障狄蕴枮閰⒄障堤柼栐铝猎铝恋厍蜍壍赖厍蜍壍纑r S uyO(x)SxyOy o r P位移的相對性位移的相對性roor Prr 速度的相對性速度的相對性trtootr V V：絕對速度：絕對速度VV：相對速度：相對速度u u：牽連速度：牽連速度trtootrttt limlimlim000速度合成速度合成vuv dtrdv tdrdv 因?yàn)橐驗(yàn)閐tvddtuddtvd加速度的相對性加速度的相對性aaar假設(shè)兩個體系中的時間是一致的。（非相對論）例題、例題、一男孩乘坐一鐵路平

13、板車，在平直鐵路上行駛，其加速度一男孩乘坐一鐵路平板車，在平直鐵路上行駛，其加速度為為a，他沿車前進(jìn)的斜上方拋出一球，設(shè)拋球時對車的加速度的影，他沿車前進(jìn)的斜上方拋出一球，設(shè)拋球時對車的加速度的影響可以忽略，如果使他不必移動他在車中的位置就能接住球，則響可以忽略，如果使他不必移動他在車中的位置就能接住球，則拋出的方向與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？拋出的方向與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？aV0 解：拋出后車的位移：解：拋出后車的位移：20121attvx 球的位移：球的位移：20200221)cos( )sin(gttvytvvx 小孩接住球的條件為：小孩接住球的條件為： x1= x2; y=0tvgt

14、tvat)(cos21 )(sin210202 兩式相比得：兩式相比得： gaga1tg tg 宇宙中心地球ersrreo evH rso svH rseovvvH r哈勃定律：哈勃定律：p11圓周運(yùn)動的角速度圓周運(yùn)動的角速度1、定義：、定義：角坐標(biāo)隨時間的變化率角坐標(biāo)隨時間的變化率dtd 2、角速度與線速度的關(guān)系、角速度與線速度的關(guān)系 rsrrtrtsvttlimlim00r xSR三維空間中：三維空間中：sinrv 單位：弧度/秒rv/定義角速度的方向：右手螺旋定則：rv說明：1、r 和是徑向和橫向單位矢量。1| |r2、r 和是的函數(shù)，會隨位置而改變。r 平面極坐平面極坐標(biāo)標(biāo)位矢：rtr

15、tr )()(rr r xyjtyitxtr)()()(jttrittrtr)(sin)()(cos)()(abxytbtytatxsin)(cos)(12222byax直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系abxy)(tr cos1)(eepr極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系極坐標(biāo)中的速度表示：) (tr)(ttrrtrtVt0lim)(rrr0 )(rrtrr其中)(trrttrrtrtvt)( )(lim)(0vrvdtdrrdtdrr徑向速度：rdtdrvr橫向速度：rdtdrv利用矢量求導(dǎo)公式推導(dǎo)極坐標(biāo)中的速度和加速度公式。rtrtr )()(rr r r r r lim0tdtrdtr rdtdrr rvdtr r

16、ddtrdv) (dtrdrrdtdr速度：加速度：dtrddtr rddtvda)() (dtdrrrdtrdrr r )2( )(2 rrrrr例：轉(zhuǎn)盤上沿徑向運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在勻速轉(zhuǎn)動（角速度為）的水平轉(zhuǎn)盤上從t0開始自中心出發(fā)以恒定速率u沿半徑運(yùn)動，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡，速度，加速度。軌跡方程：)(uutr阿基米德螺線速度rruv加速度22urra勻速圓周運(yùn)動中的向心加速度的證明勻速圓周運(yùn)動中的向心加速度的證明:vA v v 是是v 的方向的變化所引的方向的變化所引起的起的。 t0,B A, 0 v方向垂直于方向垂直于vA，指向圓心，指向圓心由二個相似等腰三角形，有由二個相似等腰三角形，有0

17、A,tvAB,t+ tvBRvBvRv _ABvvRAB_ t0,AB長趨向長趨向AB弧長。弧長。RvdtdsRvRtvatt200tBAlimvlim an=v2/R，法向加速度，法向加速度，指向圓心。指向圓心。一般的圓周運(yùn)動中的速度和加速度：一般的圓周運(yùn)動中的速度和加速度：rr 為常數(shù)0r 0r )2( )(2 rrrrrarrr rv速度加速度2 rrra anrv 2dtdvrrva向心加速度：rvan2切向加速度：dtdvae e enen自然坐標(biāo)系edtdvevan2例題：已知子彈的軌跡為拋物線，初速為v0， 出射角為, 求在拋物線頂點(diǎn)和落地點(diǎn)的曲率半徑。改變速率的方向改變速率的方向改變速率的大小改變速率的大小 曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 ).0(),()(kkyxMxfy處的曲率為在點(diǎn)設(shè)曲線,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo.1,kDMDM使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上