隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述

1、.1第12章隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述教材：盛驟等概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版).2目錄(一) 隨機(jī)過程的分布函數(shù)族12.1 隨機(jī)過程的概念12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述12.3 泊松過程及維納過程(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征(三) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征正態(tài)隨機(jī)過程的概念正態(tài)隨機(jī)過程的概念.312.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念對(duì)熱噪聲電壓的重復(fù)觀測(cè)對(duì)熱噪聲電壓的重復(fù)觀測(cè)一個(gè)實(shí)例：熱噪聲電壓一個(gè)實(shí)例：熱噪聲電壓在一段時(shí)間內(nèi)對(duì)熱噪聲電壓進(jìn)行觀測(cè)是隨機(jī)試驗(yàn)。觀測(cè)結(jié)果將得到某種形式的v-t函數(shù)圖象，可能是 中的任意一個(gè)。12( ),( ),( ),kv tvv tt在相同條件下，獨(dú)立、重復(fù)的觀測(cè)，所

2、有可能的結(jié)果構(gòu)成一個(gè)函數(shù)族：12( ),( )( ,)kv ttv tv在給定的時(shí)刻 觀測(cè)熱噪聲電壓V, 它是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值是中的任意一個(gè)。12( ),( ), ( ),jjkjtv tv tvjt.4(2)在一段時(shí)間內(nèi)，其樣本空間在隨時(shí)間變化，其分布也隨時(shí)間變化(1)在某一時(shí)刻tj，電壓V是一個(gè)隨機(jī)變量，有其樣本空間：12( ),( ), ( ),jjkjtv tv tv理論上任意時(shí)刻V的取值都有一個(gè)分布熱噪聲電壓現(xiàn)象的特點(diǎn)熱噪聲電壓現(xiàn)象的特點(diǎn)研究對(duì)象是隨時(shí)間演化的隨機(jī)現(xiàn)象(動(dòng)力學(xué))。對(duì)這種現(xiàn)象的研究，需要用一族隨機(jī)變量：12 ( ),( )(),kVVtV tt隨機(jī)過程的研究對(duì)象隨機(jī)

3、過程的研究對(duì)象12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.5設(shè) 是一無限實(shí)數(shù)集，我們把依賴于參數(shù) 的一族(無限多個(gè))隨機(jī)變量稱為隨機(jī)過程，記為tTT( ),X t tT這里對(duì)每一個(gè)給定的 是一個(gè)隨機(jī)變量，T 叫做參數(shù)集., ( )t X t隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念參數(shù)參數(shù)t 通常就是時(shí)間變量；也可以不是時(shí)間，但可以當(dāng)作時(shí)間變量看待通常就是時(shí)間變量；也可以不是時(shí)間，但可以當(dāng)作時(shí)間變量看待12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.6隨機(jī)過程相關(guān)概念隨機(jī)過程相關(guān)概念( ),X t tT隨機(jī)過程隨機(jī)過程：( )X t稱為 時(shí)刻過程的過程的狀態(tài)狀態(tài)(隨機(jī)的)t(1)對(duì)于一切 所有可能取值的全體稱為隨機(jī)過程

4、的狀態(tài)空間狀態(tài)空間.,( )tT X t(3)t時(shí)刻對(duì)X進(jìn)行一次觀測(cè)，得到 (實(shí)數(shù))，就說t時(shí)刻過程處于狀態(tài)過程處于狀態(tài)( )X txx(2)對(duì)隨機(jī)過程 在T上進(jìn)行一次全程觀測(cè)上進(jìn)行一次全程觀測(cè)，( ),X t tT( ),x ttT得到函數(shù) ，稱為隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)或樣本曲線樣本函數(shù)或樣本曲線。(4)熱噪聲電壓熱噪聲電壓可用隨機(jī)過程 來描述. ( ),0V t t 狀態(tài)空間為(,) 觀測(cè)得到的電壓-時(shí)間函數(shù) 是該隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù).( ),0kv t t 12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.7隨機(jī)過程舉例隨機(jī)過程舉例拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，樣本空間是S=H,T, 現(xiàn)借此定義隨機(jī)過程：

5、cos,( )tX tt，當(dāng)出現(xiàn)H,當(dāng)出現(xiàn)T,(,)t 樣本曲線樣本曲線參數(shù)集,()T 狀態(tài)空間(,) 樣本函數(shù)族cos , t t)()(txtXiiptcost2/12/1t時(shí)刻的分布律無論是在某時(shí)刻t進(jìn)行觀測(cè)還是全程連續(xù)觀測(cè)，結(jié)果都有投幣試驗(yàn)決定.12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.8隨機(jī)過程舉例隨機(jī)過程舉例拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，樣本空間是S=H,T, 現(xiàn)借此定義隨機(jī)過程：cos,( )tX tt，當(dāng)出現(xiàn)H,當(dāng)出現(xiàn)T,(,)t 可將此隨機(jī)過程改寫為tYtYtX)1 (cos)(THY出現(xiàn)出現(xiàn) , 0 , 1其中,),(t,X對(duì)Y和t的依賴，決定了X是一個(gè)隨機(jī)過程. 確定了Y之后，即可確

6、定任意時(shí)刻和全程的觀測(cè)結(jié)果.任意時(shí)刻下，觀測(cè)目的是X取什么值；全程的情況下，觀測(cè)目的是X(t)的函數(shù)形式.12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.9隨機(jī)過程舉例隨機(jī)過程舉例樣本曲線樣本曲線（只畫出兩條）狀態(tài)空間：(, )a a考慮：cos( ),(,)tX tta 式中 是正常數(shù)， 是 上服從均勻分布的隨機(jī)變量。, a(0,2 )隨機(jī)相位正弦波當(dāng) 在 內(nèi)隨機(jī)的取一個(gè)值 ，可得樣本函數(shù)：(0,2 )i)cos()(iitatx12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.10在測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離時(shí)，存在隨機(jī)誤差，以 表示在時(shí)刻t的測(cè)量誤差，則 是一個(gè)隨機(jī)過程。狀態(tài)空間( ) t( ),0t t(,)

7、以X(t)表示在時(shí)間間隔(0, t內(nèi)，120急救電話臺(tái)接到的呼叫次數(shù)。( ),0X t t 是一個(gè)隨機(jī)過程，其狀態(tài)空間為0,1,2,考慮拋擲一顆骰子的試驗(yàn).(1)設(shè) 是第n次(n1)拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n=1,2,的不同值， 是不同的隨機(jī)變量，因而 構(gòu)成一隨機(jī)過程(稱伯努利過程或伯努利稱伯努利過程或伯努利隨機(jī)序列隨機(jī)序列)。狀態(tài)空間1,2,3,4,5,6nXnX1,nXn (2)設(shè) 是前n次(n1)拋擲中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)， 也是一隨機(jī)過程。狀態(tài)空間1,2,3,4,5,6nY1,nY n 隨機(jī)過程舉例隨機(jī)過程舉例12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.11隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分類連續(xù)型隨機(jī)過程：任

8、意時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)變量；離散型隨機(jī)過程：任意時(shí)刻的狀態(tài)是離散型隨機(jī)變量.連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過程: 參數(shù)集T是區(qū)間;離散參數(shù)隨機(jī)過程或稱隨機(jī)序列：參數(shù)集是離散的.按狀態(tài)或參數(shù)的離散與否進(jìn)行分類按狀態(tài)或參數(shù)的離散與否進(jìn)行分類也可以按不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系進(jìn)行也可以按不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系進(jìn)行分類分類12.1 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程的概念.1212.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述給定隨機(jī)過程 , 對(duì)于每一個(gè)固定的 ，隨機(jī)變量 的分布函數(shù)一般與t有關(guān)，記為( ),X t tTtT( )X t( , )( ),XFx tP Xxxt R稱為隨機(jī)過程 的一維分布函數(shù), 而 稱

9、為一維分布函數(shù)族。( ),X t tT( , ),XFx t tT(一) 隨機(jī)過程的分布函數(shù)族隨機(jī)過程的分布函數(shù)族一維分布函數(shù)族概念一維分布函數(shù)族概念由隨機(jī)過程 的n個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量構(gòu)成的n維隨機(jī)變量( ),X t tT12( ),( ),() ),nXX ttX t，其分布函數(shù)為12121122( ,; ,( ), ) ( ),( )Xnnnnx xx t ttP X tFX txxX tx,1,2,iinx R1212( ,; , ,), Xnnix xx t tttTF稱為n維分布函數(shù)族n n維分布函數(shù)族概念維分布函數(shù)族概念.13(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征 是隨機(jī)過

10、程的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻所有樣本函數(shù)在時(shí)刻 t 的函數(shù)值的平均值的函數(shù)值的平均值，通常稱這種平均為集平均或統(tǒng)計(jì)平均。( )Xt集平均集平均(統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均)給定隨機(jī)過程 ，固定 ， 是一個(gè)隨機(jī)變量， t 時(shí)刻的均值(數(shù)學(xué)期望)，記為( ),X t tTtT( )X t( )( )XtE X t稱 為隨機(jī)過程 的均值函數(shù)。( )Xt( ),X t tT均值函數(shù)均值函數(shù)均值函數(shù) 表示了隨機(jī)過程在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心.( )Xt12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.14方差函數(shù)方差函數(shù)22( )( )Var( )( )( ) XXXtDtX ttEX t標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)2( )( )XX

11、tt表示t時(shí)刻X(t)取值偏離對(duì)于均值 的平均偏離程度。( )Xt均方值函數(shù)均方值函數(shù))()(22tXEtX(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.15(自自)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)121212( , )( , )( )( )XXXt tRt tE X t X tR相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)用以描述隨機(jī)過程自身相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)用以描述隨機(jī)過程自身在在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系。兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系。(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述( (自自) )協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)1

12、21212( ,)( ,)Cov( ),( )XXXt tCt tX tX tC1122( )( )( )( )XXEX ttX tt)()()()(2121tXEtXEtXtXE.16數(shù)字特征之間的關(guān)系數(shù)字特征之間的關(guān)系可見，均值函數(shù)均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)可被看作是最主要的兩個(gè)最主要的兩個(gè)數(shù)字特征數(shù)字特征。刻畫了隨機(jī)過程的主要統(tǒng)計(jì)特性主要統(tǒng)計(jì)特性。二階矩過程的概念二階矩過程的概念如果對(duì)每一個(gè) ，隨機(jī)過程 的二階矩 都存在，則稱它為二階矩過程。tT( ),X t tT2( )E Xt121212,( )()()XXXXttCtRttt22( , )( )( , )( )XXXXt tRtC

13、t tt),()(2ttRtXX二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總存在。(只要證明相關(guān)函數(shù)是收斂的即可)(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述22)()()(XEXEXD.17設(shè)A, B是兩個(gè)隨機(jī)變量. 試求隨機(jī)過程 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). 如果A, B是相互獨(dú)立的，且 AN(0,1), BU(0,2), 問 的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？( ),(,)tX tAtB ( )X t221 212()t tBE AABtABt22(0,1)( )0,( )1,()( )1( )NE AD AE ADAAE AA,B相互獨(dú)立()( ) ( )0E AB

14、E A E B解：根據(jù)均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的定義、利用期望的性質(zhì)，可得()( )( )(XE AtBtE AE Bt均值函數(shù)121212()( )( )(,)XRtE X t X tE AttB AtB自相關(guān)函數(shù)( )1Xt121 24( , )3Xt tt tR于是，)()()()(221221BEABEttAEtt3/4)()(, 3/1)(, 1)()2 , 0(22BEBDBEBDBEUB(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.182200cos() ( )cos()02adtdatf1/(2 ), 02 ;0, ( )f其他解： 的

15、概率密度利用隨機(jī)變量函數(shù)期望的計(jì)算方法可得( )( ) cos()cos()XtE X tE ataEt均值函數(shù)(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述求隨機(jī)相位正弦波：的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). )2 , 0( ),( ),cos()(UttatX.19221212102( , )( )( )cos()cos() ( )Xt tE X t X ttfRatd221022122021221cos()cos()cos (2 cos()4cos()22)tattdattdattt自相關(guān)函數(shù)222( )( , )( )2XXXatt tRt方

16、差函數(shù)(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.20若隨機(jī)過程 的每一個(gè)有限維分布都是正態(tài)分布，亦即對(duì)任意整數(shù)n1及任意 , 服從n維正態(tài)分布，則該隨機(jī)過程稱為正態(tài)隨機(jī)過程.( ),X ttT12, ,ntTtt 21( ),( ),)()ntX tX tX正態(tài)隨機(jī)過程的概念正態(tài)隨機(jī)過程的概念設(shè) ，其中A, B是相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量， 是實(shí)常數(shù). 試證明 是正態(tài)過程. 并求它的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). cossin,(,( )tBt tTX tA 2(0,)N( )X t是A,B的線性組合，解：對(duì)任意 itTcoss)in(ii

17、iXtBttA故 也服從正態(tài)分布.( )iX t故X(t)是正態(tài)過程。(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述對(duì)任意的n, 根據(jù)n維正態(tài)分布的性質(zhì)(第4章)可知21( ),( ),)()ntX tX tX服從n維正態(tài)分布。(因?yàn)橐驗(yàn)?的任意線性組合仍是的任意線性組合仍是A,B的線性組合，仍服從一維正態(tài)分布的線性組合，仍服從一維正態(tài)分布)(),.,(),(21ntXtXtX.21由題意可知：( )( )()0E AE BE AB( )cossincos( )sin( )0XtE AtBttE AtE B同理22()E B222()( ) ( )(

18、 ),E AD AE AD A1212(),( )XRt tE X t X t1212()sincossincos()tBttAABtE2212121222121212()(sinsincoscossin() ()sinsincoscoscos()ttttttEE AEABttttBtt(二) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.22(三) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征設(shè)X(t), Y(t)是依賴于同一參數(shù) 的隨機(jī)過程，對(duì)于不同的 ， tTtT是不同的二維隨機(jī)變量，則( ), ( )X t Y t( ), (

19、),X t Y ttT稱為二維隨機(jī)過程。二維隨機(jī)過程的概念二維隨機(jī)過程的概念給定二維隨機(jī)過程 ，( ), ( ),X t Y ttT1212, , ; , ,nmtt t ttt是T中任意兩組實(shí)數(shù)，n+m維隨機(jī)變量1212,( ); (), ( ),( ), (),( ),)nmX tY tY tY tX tX t的分布函數(shù)12121212( ,; ,; , ;,)nnmmx t ttyF x xtytyt,1,2, ;1,2,ijyinxjmR其中稱為此二維隨機(jī)過程的n+m維分布函數(shù)(或隨機(jī)過程X(t)與Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(shù).)二維隨機(jī)過程的二維隨機(jī)過程的n+mn+m維分布函數(shù)的概

20、念維分布函數(shù)的概念12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.2312( ),( ),() ),nXX ttX t21( ( ), ( )() ),mYttY tY若與相互獨(dú)立則，隨機(jī)過程X(t)與Y(t)相互獨(dú)立. (m+n維分布函數(shù)可分離變量)兩隨機(jī)過程相互獨(dú)立的概念兩隨機(jī)過程相互獨(dú)立的概念互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)1212,( ) ( )()XYtE X t Y tRt互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)121122,( )( ) ( )()( ) XYXYtEX tttY ttC1212(),( )( )XYXYttRtt不相關(guān)的判據(jù)不相關(guān)的判據(jù)若對(duì)任意 ，恒有12,t tT12,()0XYtCt則

21、稱隨機(jī)過程X(t)與Y(t)是不相關(guān)的。(三) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述仍指的是線性不相關(guān).24三個(gè)隨機(jī)過程的和三個(gè)隨機(jī)過程的和( )( )( )( )W tX tY tZ t( )( )(WXYZtttt均值函數(shù)均值函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1212( , )( )( )WRt tE W t W t111222121212121212121212( )( )( )( )( )( )()()() ()()() ()(),),(,XXXYXZYXYYYZZXZYZZtttEX tY tZ tX tY tZ tRt

22、RtRtRtRtRtRtRtttttttRt(三) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述.2512.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程增量的概念增量的概念給定二階矩過程 ，我們稱隨機(jī)變量 為隨機(jī)過程 在區(qū)間 上的增量。( ),0X t t ( )( ),0X tX sst( )X t( , s t獨(dú)立增量過程的概念獨(dú)立增量過程的概念獨(dú)立增量過程的概念獨(dú)立增量過程的概念如果對(duì)任意選定的正整數(shù)n和任意選定的0120nttttn個(gè)增量：21101( )( ),( )(,),( )()nnX tX tX tX tX tX

23、t相互獨(dú)立，則稱 為獨(dú)立增量過程。( ),0X t t 齊次的齊次的(或稱時(shí)齊的或稱時(shí)齊的)獨(dú)立增量過程的概念獨(dú)立增量過程的概念對(duì)任意實(shí)數(shù)h, 若增量 與 具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性平穩(wěn)性。這樣的獨(dú)立增量過程稱為稱為齊次的或時(shí)齊的齊次的或時(shí)齊的。()()X thX sh( )( )X tX sts只依賴于時(shí)間差即在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量是相互獨(dú)立的。在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增量是相互獨(dú)立的。.2612.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程獨(dú)立增量過程的協(xié)方差函數(shù)獨(dú)立增量過程的協(xié)方差函數(shù)( )( )( )( )( )( )Y tY sX tX sE X tX s令( )( )

24、( )( )XY tX tE X tX tt，則有如下結(jié)論：若X(t)是獨(dú)立增量過程，且X(0)=0, 則X(t)的協(xié)方差函數(shù)為() (,) ( )XCsE Y s Y tt ( )(0) ( )( )( )E Y sYY tY sY s ( )( )0YE Y tt22( )( ) ( ) ( )(YYXD tE Y tE YDttt(1)(0)0X(0)0Y若則(2)X(t)是獨(dú)立增量過程Y(t)也是獨(dú)立增量過程(3)0st構(gòu)造增量假設(shè))()()()()()0()()()0()()()()0()(22sDsYEsYEsYtYEYsYEsYYsYEsYtYYsYEX.27獨(dú)立增量過程的協(xié)方差

25、函數(shù)獨(dú)立增量過程的協(xié)方差函數(shù)() ( ) ( )(min,)XXCsE Y s Y tDstt令( )( )( )( )XY tX tE X tX tt( )( )( )( )( )( )Y tY sX tX sE X tX s，則有如下結(jié)論： ( )( )0YE Y tt22( )( ) ( ) ( )(YYXD tE Y tE YDttt(1)(0)0X(0)0Y若則(2)X(t)是獨(dú)立增量過程Y(t)也是獨(dú)立增量過程(3)若X(t)是獨(dú)立增量過程，且X(0)=0, 則X(t)的協(xié)方差函數(shù)為12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.28( (一一) ) 泊松過程泊松過程時(shí)間軸上的隨機(jī)

26、質(zhì)點(diǎn)流時(shí)間軸上的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流隨著時(shí)間推移，遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的事件可以在時(shí)間軸上記事0tt1t2tit表示 時(shí)刻該事件發(fā)生了一次it例如：120電話臺(tái)接到呼叫電話煙花制造廠發(fā)生火災(zāi)相鄰兩次發(fā)生的時(shí)間間隔 是隨機(jī)的。1nntt時(shí)間軸上的許多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流。12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.29計(jì)數(shù)過程的概念計(jì)數(shù)過程的概念考察時(shí)間軸上的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流，以 表示在時(shí)間間隔 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。( ,0)N t t (0, t 是一個(gè)狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時(shí)間連續(xù)的隨機(jī)過程(即離散離散型的、連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程型的、連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程)，稱為計(jì)數(shù)過程計(jì)數(shù)過程。( ),0N t t 計(jì)數(shù)過程的一個(gè)典型的樣本

27、函數(shù)( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.30泊松過程的概念泊松過程的概念泊松過程是滿足一定條件的計(jì)數(shù)過程。泊松過程是滿足一定條件的計(jì)數(shù)過程。000( , )(, 0( )N tN tNttt t記00,() ()0, ,2,1kP tPtttkkN是在 時(shí)間間隔0(,t t內(nèi)出現(xiàn) k 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率。0,()kP t t(1) 在互不重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性(即N(t)是獨(dú)立增量過程)t(2) 對(duì)充分小的 有1()( ,)Ptot ttt 其中其中 稱為稱為過程過程N(yùn)(t)的強(qiáng)度的強(qiáng)度。0t(3) 對(duì)充分小的 有2,)()(jjP t tott(

28、4) N(0)=0則 稱為強(qiáng)度為 的泊松過程。( ),0N t t 質(zhì)點(diǎn)流(即質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)時(shí)刻 )稱為強(qiáng)度為 的泊松流。12, ,t t 若N(t)滿足如下條件：(, t tt在 間隔內(nèi)出現(xiàn)2個(gè)或2個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)的概率與出現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率相比是很小的，可以忽略不計(jì)。( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.31增量增量 的分布律的分布律0,()N t t只與時(shí)間差 有關(guān)，故泊松過程是齊次的獨(dú)立增量過程。0tt利用以上條件(1)(4), 可推導(dǎo)出(見課本):0000( , )(),dP t tPtdtt 初條件000,()1P t t,0010()(),(

29、, ), 1kkkdP t tPtPdttktt 初條件00,()0kP t t，00t 令 ，就得到N(t)的分布律。,.2 , 1 , 0 ),(),(00kkttNPttPk是參數(shù)為 的泊松分布。0()tt0()000()() (),!kt tkP tPtttttkkNe00,1,2,ttk泊松過程增量的分布律泊松過程增量的分布律求解( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.32泊松過程概念的另一種等價(jià)表述泊松過程概念的另一種等價(jià)表述(1) 它是獨(dú)立增量過程若計(jì)數(shù)過程 滿足下列三個(gè)條件( ),0N t t (2) 對(duì)任意 ，增量00tt000()(

30、 )(,)( ()tttN tN tN t (3) N(0)=0則稱 是一強(qiáng)度為 的泊松過程。 ( ),0N t t 參數(shù)為 的泊松分布)(0tt ( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.33泊松過程的數(shù)字特征泊松過程的數(shù)字特征根據(jù)泊松分布的數(shù)字特征可知000( )()Var( )()(E N tN tN ttNtt已知增量增量000()( )(,)( ()tttN tN tN t 取 , 利用N(0)=000t 泊松過程的均值函數(shù)均值函數(shù)( )( )NtE N tt( )Var ( )NDtN tt方差函數(shù)方差函數(shù)( )/E N tt即在時(shí)間軸上，即

31、在時(shí)間軸上，單位時(shí)間間隔單位時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目的平均值數(shù)目的平均值(平均密度平均密度)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)()(min,min , , )NNCsDsttts前述獨(dú)立增量過程的協(xié)方差函數(shù)2( , )( , )( )( )min , NNNNs tCs tsttRsst相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.34非齊次泊松過程非齊次泊松過程強(qiáng)度 是時(shí)間t的函數(shù)：( ) t0000( , )(),dP t tPtdtt 初條件000,()1P t t0010()(),( , ), 1kkkdP t tPtPdttktt 初

32、條件00,()0kP t t，同理可得出微分方程( ) t非齊次泊松過程增量的分布律非齊次泊松過程增量的分布律00( )00()(),!tttkdtkP tP N tdttekk 均值函數(shù)均值函數(shù)0( )( )ttdE N 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)min , max , 00( , )( )( )1s ts tNs tddR ( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.35等待時(shí)間和點(diǎn)間間距的概念等待時(shí)間和點(diǎn)間間距的概念泊松過程 的泊松流： ( ),0N t t 2,n1ttt令初始時(shí)刻00t 記000,iiWWt t11 2,iiiTWiW，：等待時(shí)間iW：點(diǎn)間

33、間距iT從開始到第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的等待時(shí)間。0tt1t2tit泊松流的一個(gè)樣本：( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程.36等待時(shí)間等待時(shí)間 的分布的分布iW( )11( )( )iiWiFtP WtP WtP N tPtiiN 000 ( ) ()(),!|ttkP NkP N ttttkek( ),()0!itikWktFetkt分布函數(shù)分布函數(shù)( )00,iWFtt概率密度概率密度111( )(1()!(1 !)!)iik kkkiWttWk iidFttttedtkkfeit1( ,)iiW11(1,)W1( )tWfte,即 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。1W1/因?yàn)?，根?jù) 分布的概念，可知)!1()(ii( (一一) ) 泊松過程泊松過程12.3 泊松過