非線性偏微分方程

1、非線性偏微分方程及其幾種解法綜述姓名：柏寶紅 學號： BY1004120目錄1、緒論31.2 現(xiàn)狀 7.2、非線性偏微分方程的幾種解法 1.02.1逆算符法 1.0.2.2 齊次平衡法 1.1.2.3 Jacobi橢圓函數(shù)方法1.22.4 輔助方程方法 1.4.2.5 F-展開法15雙曲正切函數(shù)展開法 1.71、緒論以應用為目的， 或以物理、 力學等其他學科問題為背景的微分方 程的研究， 不僅是傳統(tǒng)應用數(shù)學中一個最主要的內(nèi)容， 也是當代數(shù)學 的一個重要組成部分 .它是數(shù)學理論與實際應用之間的一座重要橋 梁，研究工作一直十分活躍，研究領域日益擴大。目前微分方程研究的主體是非線性微分方程， 特別是

2、非線性偏微 分方程 (NLPDE). 很多意義重大的自然科學和工程技術問題都可歸結 為非線性偏微分方程的研究 .現(xiàn)實生活的許多領域內(nèi)數(shù)學模型都可以 用 NLPDE 來描述，很多重要的物理、力學等學科的基本方程本身就 是 NLPDE ，另外，隨著研究的深入，有些原先可用線性微分方程近 似處理的問題，也必須考慮非線性的影響，所以對 NLPDE 的研究， 特別是 NLPDE 求解精確解的研究工作就顯示出了很重要的理論和應 用價值，但是數(shù)學研究的結果， 在目前還未能提供一種普遍有效的求 精確解的方法 .20世紀 50 年代以來，人們對非線性現(xiàn)象的研究中提出 了“孤子”的概念，進而使得對 NLPDE 求

3、解的研究成為非線性科學 中的熱點。下面介紹一下孤立子理論的研究背景、研究現(xiàn)狀。1.1 背景孤立子理論己經(jīng)成為應用數(shù)學和數(shù)學物理的一個重要組成部分， 在流體力學，等離子物理，經(jīng)典場論，量子論等領域有著廣泛的應用。隨著近代物理學和數(shù)學的發(fā)展，早在 1834 年由英國科學家 Russell 發(fā)現(xiàn)的孤立波現(xiàn)象近二十多年來引起了人們的極大關注，對這一現(xiàn)象的興趣與日俱增.這是因為一方面孤立子具有粒子和波的許 多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理論也成功地解釋 了許多物理上長期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象 ；另一方面，隨著孤立 子物理問題的深入研究，孤立子的數(shù)學理論也應運而生，并已初步形 成比較完善的

4、理論體系。孤立子理論自1965年由Zabusky和Kruskal對孤立子（Soliton， 簡稱孤子）命名后得到了迅速地發(fā)展究其原因是孤波現(xiàn)象無所不在， 從天上渦旋星系的密度波，線，超流氦一3，超導JosePhson結，磁學，結構相變，液晶，流體動力學以及基本粒子等，都與孤子有關.其發(fā)展大致可分三個階段：第一階段，主要是在19世紀.最早討論孤立子問題的是ScottRussell。1844年英國工程師Russell發(fā)現(xiàn)船在運河中快速行駛著， 當這條船突然停止時，在船頭附近產(chǎn)生了一個光滑的、像小山包一樣 的水波，然后這個水波離開船頭保持它的形狀和速度保持不變，接著這個水波的高度逐漸減少，最后在運河

5、的一個拐彎處消失掉，他把這 種水波稱為孤立波，認為它就是流體運動的一個穩(wěn)定解.直到1895年, 荷蘭阿姆斯特丹大學的 Korteweg教授和他的學生devries才一成功 導出了著名KdV方程，求出了與Russell描述一致的即具有形狀不變 的脈沖狀的孤立波解，在理論上證實了孤立波的存在， 并對孤立波現(xiàn) 象作了較為完整的分析，解釋了 Russell的淺水波，解決了這個問題。 他們的數(shù)學模型為(1.1)q 6uux uxxx孤立波解為:c2 vcu1 (x,t)sech ( (x-ct)2 2后人稱1J1 (x,t)為1 一孤立子解，如果令二X - Ct，那么q在平面上的圖為圖1.1所示圖1.1

6、光滑孤立子U1在-U平面上的圖形1965年美國數(shù)學家Kruskal和abusky對KdV方程的孤立波解進行數(shù)學模擬，他們發(fā)現(xiàn)兩個孤立波相撞之后，各自的運動方向和大小 形狀都保持不變這種性質與物理中粒子的性質類似，因此他們稱這 種孤立波為孤立子在通常情況下，人們把孤立波和孤立子混為一談， 不把它們區(qū)別開來。與此同時，在1876 一 1882年發(fā)現(xiàn)的Backlund變換，成為后來發(fā)展孤子理論的重要基礎。第二階段大致可劃在 1955一 1975年。1955年，F(xiàn)ermi，PastaUlam(FPU)將64個質點用非線性彈簧連成一條非線性振動弦，用計 算機計算了一維非線性晶格在各個振動模之間的轉換。初

7、始時，這些諧振子的所有能量都集中在一個質點上，其他63個質點的初始能量 為零。按照經(jīng)典的理論，只要非線性效應存在，就會有能量均分，各 態(tài)歷經(jīng)等現(xiàn)象出現(xiàn)， 即任何微弱的非線性相互作用， 可導致系統(tǒng)的非 平衡狀態(tài)向平衡狀態(tài)的過渡。 但實際計算的結果卻與經(jīng)典理論是背道 而馳.實際上，經(jīng)過相當長時間之后，能量似乎又回到了原來的初始 分布，這就是著名的FPU問題。由于FPU問題是在頻域空間考察的， 未能發(fā)現(xiàn)孤波解，因此該問題未能得到正確的解釋。后來，人們發(fā)現(xiàn) 可以把晶體看成具有質量的彈簧拉成的鏈條， 這恰好是 Fermi 研究的 情況。 Toda 研究了這種模式的非線性振動，得到了孤波解，使 FPU 問

8、題得到正確的解答，從而進一步激發(fā)起人們對孤立波的研究興趣。 1965年，zabusky和Kxusal對等離子體中孤立波的相互碰撞過程進行 計算機數(shù)值模擬， 進一步證實了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不 變的論斷，并且把它命名為孤立子(soliton)，它是指一大類非線性偏 微分方程的許多具有特殊性質的解， 以及具有相應的物理現(xiàn)象， 它的 性質具體為： (1)能量比較集中； (2)孤立子相互碰撞時具有彈性散射 現(xiàn)象。從此孤立子理論的研究工作得到了迅速發(fā)展。第三階段 (1973 至今)，把孤子概念及理論廣泛應用于物理學， 生 物學，天文學等各個領域，開展了高維孤子的研究 .1980 年非線性效 應

9、?？?PhysicaD 問世，與此同時，光纖中的孤子已在實驗中產(chǎn)生出 來.此后的發(fā)展更是突飛猛進。綜上所述，孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展是與近代物理密切相關的 . 孤立子理論不但包括了有關的數(shù)學理論， 也包括了物理理論， 數(shù)學的 嚴密性和物理的啟發(fā)性和實用性兩者相互結合， 相互依存，相互滲透，相互促進， 使孤立子理論顯示出強大的生命力， 這也是現(xiàn)代自然科學 發(fā)展的重要特征之一。孤立子一詞雖被廣泛引用， 但無一般性定義數(shù)學中， 將孤立子理 解為非線性偏微分方程的局部行波解， 所謂局部是指微分方程的解在 空間的無窮遠處趨于零或確定常數(shù)的情況。 換言之，孤立子指的是穩(wěn) 定的孤立波，即與同類孤波碰撞后不會消

10、失，而且波形、波速和幅度 不會改變或只有微弱改變的孤立波 .在物理中，孤立子被理解為經(jīng)典 場方程的一個穩(wěn)定的有限能量的不彌散的解， 即能量集中在一個狹小 的區(qū)域內(nèi)且相互作用后不改變波形和波速。 許多非線性發(fā)展方程， 如 KdV 方程、Sine Gordon 方程、Boussinesq 方程、KP 方程，Toda 晶格方程等都具有孤立子解 .孤立子除常見的鐘型和扭型外還有包絡 孤子、哨孤子、拓撲性孤子和非拓撲性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤 子、正孤子和反孤子以及它們疊加而形成的形形色色的孤立子。1.2 現(xiàn)狀求解微分方程是古老而在理論和實際上又很重要的研究課題，顯 示解，特別是行波解可以很好的描述各

11、種物理現(xiàn)象，如振動、傳播波 等.但由于非線性微分方程的復雜性，至今仍有大量的重要方程無法 求出精確解，即使己經(jīng)求出精確解，也各有各的技巧，至今尚無一般 的求解方法。所幸的是孤立子理論中蘊涵著一系列構造精確解的有效 方法，如反散射法 (IST)、 B?cklund 變換法、 Darboux 變換法、 Hirota 雙線性法、Painlev?有限展開法，延拓法及Lie群法等。隨著各種求 解方法的出現(xiàn)，不但過去難以求解的方程得到解決，而且許多新的， 具有重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和利用。1967年，Gardrier等人發(fā)明了求解KdV方程的逆散射方法（也稱 為非線性），這一方法利用量子力學中的Sch

12、rodinger方程特征值問題 （正散射問題 ）及其反問題 （反散射問題 ）之間的關系，經(jīng)過求解 Gel' fand Levitan 一 Marck 一 enko線性積分方程而給出 KdV方程初值 問題的解。它不僅對應用技術提供了嶄新的方法和概念，而且對數(shù) . 學自身的發(fā)展也有深遠影響。隨后， Lax 將該方法加以綜合和推廣， 使之能夠用于求解其他非線性偏微分方程的初值問題， 從而逐步形成 一種系統(tǒng)的求解方法。1972年，Zakharov和Shabat推廣了這一方法， 求出高階KdV方程，立方Sehrodinger方程等的精確解。Ablowitz， Kaup, Newell和Segur

13、則更加一般化反散射方法。李詡神、田疇、屠 規(guī)章教授等也為發(fā)展反散射方法做了很好的工作。1971 年, Hirota 所引進的雙線性變換法 （Hirota 方法）,是構造非 線性偏微分方程 N 一孤立子解及其 Backlund 變換的一種重要而直接 的方法。1975年，Wahlquit和Estabrook提出延拓結構法，以外微分形式 為工具,給出尋找與反散射方法相聯(lián)系的線性特征值問題的系統(tǒng)的方 法。1991 年,李詡神教授基于對稱約束提出一種非線性偏微分方程 的直接的變量分離方法； 隨后,樓森岳教授等提出另一種更有效的直 接變量分離法得到了許多的（2+1）維非線性發(fā)展方程的精確解。精確求解非線性

14、發(fā)展方程的工作具有重復性、固定的套路和規(guī)律、計算量大的特點，計算機代數(shù)的出現(xiàn)使人們擺脫了刻板、大量而 重復的計算，提高了速度保證了準確率.1996年，Parkes和Duffy給 出了求非線性發(fā)展方程孤立波解的雙曲正切函數(shù)法的Mathematiea程序包。王明亮教授等基于非齊次項與高階導數(shù)項平衡的原則， 將非線 性方程齊次化、代數(shù)化，提出了齊次平衡法。近年來提出并發(fā)展起來的齊次平衡方法， 實際上是求非線性偏微 分方程精確解的一種指導原則， 故也稱為齊次平衡原則。 依據(jù)該原則， 可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在， 如 果回答是肯定的， 則可按一定的步驟求出它來， 并同時得到

15、其滿足某 些條件的 Backlund 變換。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟 分明的特點，再者，還適用于計算機的符號計算系統(tǒng)進行計算，且得 到的是精確的結果 .至今，齊次平衡原則在非線性數(shù)學物理中已得到 廣泛的應用， 且其應用范圍正在不斷的擴展， 己成為處理非線性數(shù)學 物理相關問題的有效工具之一。所以，近年來在齊次平衡原則下又發(fā)展了多種求解非線性偏微分 方程精確解的方法：像 Tanh函數(shù)法，Sine Cosine方法，Jacobi 橢圓函數(shù)展開法， Riccati 方程方法及 F 一展開法等。這些方法一般都 借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)(Mathematica或Maple)，求解方便、直接，而 且

16、可以對解進行數(shù)值模擬以便于直觀分析解的性質。2、非線性偏微分方程的幾種解法2.1逆算符法據(jù)逆算符方法的基本思想，把偏微分方程Au二A（u,q,Ux,Uxx,）二0 改寫為：Lu Ru Nu = 0（2.1）其中L和R是線性微分算子，Nu是非線性項。算子L是可逆的，作 用逆算子L，于上式兩邊得到u = f - L1（Ru） L1（Nu）（2.2）其中f滿足（2.1）及初始條件，根據(jù)逆算符方法 u可以分解為一系 列分量之和-bou 八 un（2.3）n =0利用回歸關系可以得到u f（x）,uk-L_1（Ruk） L（Nuk）（2.4）非線性項F（u）= Nu可以表示為無限級數(shù)之和F（u）八 A（

17、2.5）n=0其中A是Adomian多項式，定義為1 dn人nFC 1）亠 n = 0,1,2（2.6）n! di =0利用（2.3）和（2.4）可以依次解出,口小2,.,從而得到方程的解u 二 u。比比.（2.7）業(yè)已證明Adomian分解法是收斂的，而且收斂速度相當快，能夠得 到精確解。2.2齊次平衡法齊次平衡法是一種求解非線性偏微分方程非常重要的方法，它將非線性發(fā)展方程的求解問題轉化為純代數(shù)運算。利用這種方法不僅可以得到方程的Backlund變換，而且能得到非線性偏微分方程的新解. 該方法的大致步驟如下：對于給定一個非線性偏微分方程(2.8)這里P一般是其變元的多項式，其中含有非線性項及

18、線性出現(xiàn)的 最高階偏導數(shù)項。一個函數(shù)w二w（x,t）稱為是方程（2.8）的擬解，如果存在單變元 函數(shù)f = f（w），使得f （w）關于x,t的一些偏導數(shù)的適當?shù)木€性組合，即心滬嘿久畑）（如關于湎的低(2.9)于用+幵階的偏導數(shù)的適當線性組合）精確的滿足（2.8）和（2.9）中的非負整數(shù) m,n，單位元函數(shù)f二f （w）以及函數(shù)w= w（x,t）都是待定的，將（2.9）代入（2.8）中可以通過以下步驟確定它們：首先，使高階偏導數(shù)項中包含的w= w（x,t）的偏導數(shù)的最高幕次和非線性項中包含的關于 W二w(x,t)的偏導數(shù)的最高幕次相等,來決定非負整數(shù)m,n是否存在其次，集合w = w(x,t)

19、的偏導數(shù)的最高幕次的全部項，使其系 數(shù)為零，而得f (w)滿足的ODE，解之可得f二f(w)，般是對 數(shù)函數(shù)。第三，將f(w)的各階導數(shù)的非線性項，用f(w)的較高階的導數(shù)來代替，再將f (w)的各階導數(shù)項分別合并在一起，并令其系 數(shù)為零，而得w = w(x,t)的各次齊次型的PDE組，可適當選擇(2.9) 中線性組合的系數(shù)，使PDE組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結果代入(2.9)，經(jīng)過 一些計算就得(2.8)的精確解。從(2.9)中可以看出，如果v(x,t)是方程(2.8)的一個解，則 通過上述步驟就可以得到方程的 Backlund變換。2.3 Jacobi橢圓函數(shù)方法考慮非線

20、性偏微分方程(2.8)，尋求它的行波解為U = u(),二 k(x- Ct)(2.10)其中k和c分別為波數(shù)和波速將u()展開為下列Jacobi橢圓正弦函數(shù)sn的級數(shù):nU 八 ajSnj(2.11)j =0它的最高階數(shù)為0(u( ) = n (2.12)因為duTn=E jajSnJcdntj =0(2.13)其中cn和dn分別為Jacobi橢圓余弦函數(shù)和第三種 Jacobi橢圓函數(shù)，且cn2 =1-sn2 ,dn2 = 1 - m2sn2(2.14)m（ m 1）為模數(shù)，且dsnddd"cn=-sn dn ,dd_dn二-m2sn cn(2.15)由（2.13）式，可以認為 屯的

21、最高階數(shù)是d -O（乎"n 1（ 2.16）類似地，有O(u汁2n 1,O%“2,O(獸)“3(2.17)在（2.11）式中選擇n,使得非線性偏微分方程（2.8）中的非線性項 和最高階數(shù)項平衡，將（2.11）代入非線性偏微分方程（2.8）中，并利用（2.14）和（2.15），可將方程（2.8）變成關于sn（>0,1,.,N）的多項式.置sH©的各次幕次的系數(shù)為零，得關于 a°,a1,.,aN,k,c的代數(shù)方程 組。解上述方程組，將結果代入（2.11 ）中，得（2.8） Jacobi橢圓函 數(shù)解。應該指出的是，因為 m，1時，sn > tani ，（2。

22、11）式 就退化為nu 八 aj tanhj（ 2.18）jq所以此方法包含了雙曲正切函數(shù)展開法。2.4輔助方程方法考慮非線性偏微分方程（2.8）,尋求它的行波解為U 二 U（ ）二 k（X - Ct）（2.19）其中k和c分別為波數(shù)和波速。將式（2.19）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為uC ）的非線性常 微分方程（NODE）:G（u,u ,u ,.） = 0（2.20）設u（）可表示為z（）的有限幕級數(shù)：Nu（）八 aiZi（ ）（2.21）i =0這里的ai是待定參數(shù)，n為一常數(shù)，由非線性偏微分方程（2.8）中具有 支配地位的非線性項和最高階數(shù)項平衡得到，z（）滿足如下新的輔助常微

23、分方程（乎）2 =Az（ ）2 Bz（ ）4 Cz（ ）6（2.22）d其中A,B,C為待定參數(shù)。將（2.21）代入NODE（ 2.20）中，利用（2.22）可將方程（2.20） 左邊變成z（）的多項式。令z（）的各幕次的系數(shù)為零，可得關于 兔,耳,.8" ,k,c的代數(shù)方程組。解上述方程組，可解得兔，和，a”，k,c，將結果代入（2.21 ）中，得（2.8）的行波解的一般形式利用表2.1,適當選取A, B, C, 的值，可得方程（2.8）的一些特殊解表2.14 Br G d與方程（2.22）»解z（）之間的關系表=±1 5般為任意實數(shù)ACAxaA>QC為任

24、意.實數(shù)為任意實數(shù)sec h(風X j一C為任意實數(shù)A為任意實數(shù)«c h( Xj=聲費-川(7(1 + £ cothW X)1亡為任意實數(shù)A>0（_ u強A<0C為任意實數(shù)A>0(高 0e4Kcos(2A-8AX)C為衽意實數(shù)A<Q(財半tV-A $inh(2Vf)- RQ為枉意實數(shù)A>0（駕=）片皿沁2匸亦）-/?00心為任意實數(shù)sec h( 77)(j:半B + 2eAC Tarth(Vf)A<000A為任童實數(shù)曲壓）（嚴Wa00&為任意實數(shù)csch(V7f)(*一)再B + 2£y/-ACAOO0心為任意實數(shù)沁壓)

25、(j=尸l)%B 十 2eV-AC cot(Vi)aC為任意實數(shù)A-0（亠凱 5曲（¥幻）怡QO（?為任意實數(shù)A=O（-令1北3儀¥幻必JX)C為任意實數(shù)也為任意實融I(e2t -4B)2-64AC2.5 F-展開法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為U 二 u（ ）二 k（x - Ct） （2.23）其中k和c分別為波數(shù)和波速。將式（2.23）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為u）的非線性常微分方程（NODE）:P（u,u ,U ,.）二 0（2.24）設u（）可表示為F）有限幕級數(shù)：N u（）二 a。' ajF'（）何 7）（2.25）i

26、討這里Q是待定常數(shù)，F(xiàn)）滿足下列一階常微分方程：F 2（ pF4 QF2 R （2.26）這里p, Q，R是待定常數(shù)，正整數(shù)N是由具有支配地位的非線性項與最高階偏導數(shù)項平衡確定。將（2.25）代入NODE（ 2.24）中，利用（2.26）可將方程（2.24）左邊變成的多項式，置F）的各次幕次的系數(shù)為零，得關于ag,a1,.,aN ,k,c的代數(shù)方程組。求解上述方程組，可解得a°,a.,aN,k,c，將結果代入（2.25）中，得到（2.8）的行波解的一般形式。利I用表2.2,適當選取p，Q，R的值，可得方程（2.8）的由Jacobi 函數(shù)表示的周期波解。表2.2 P, 0J?與方程= pFQF1 +R的解F©之間的關系表QRF2()= pF* +殲 + RF©d m1鈾占-m22m<lm2CT1$"-12-ffi2mL-嚴© = (1-戸赫-Ddnf1-(1+ m2)嚴 ) = (1-尸nsiHn 打 l1-IFt2 (f) = (1 一 尸)3? _ 1) F J 聊'！ncfcnO1