第二章MATLAB的數(shù)值運(yùn)算

1、第二章 MATLAB的數(shù)值運(yùn)算v2.1 變量與數(shù)據(jù)操作 v2.2 MATLAB矩陣和數(shù)組v2.3 MATLAB的運(yùn)算 v2.4 矩陣分析v2.5 字符串2.1 變量與數(shù)據(jù)操作v標(biāo)量：是指11的矩陣，即為只含一個(gè)數(shù)的矩陣。v向量：是指1n或n1的矩陣，即只有一行或者一列的矩陣。v矩陣：是一個(gè)矩形的數(shù)組，即二維數(shù)組，其中向量和標(biāo)量都是矩陣的特例，00矩陣為空矩陣( )。v數(shù)組：是指n維的數(shù)組，為矩陣的延伸，其中矩陣和向量都是數(shù)組的特例。v2.1.1變量與賦值1、變量的命名規(guī)則 A變量名必須是不含空格的單個(gè)單詞； B變量名區(qū)分大小寫； C. 變量名最多不超過63個(gè)字符； D變量名必須以字母打頭，之后

2、可以是任意字母、數(shù)字或下劃線，變量名中不允許使用標(biāo)點(diǎn)符號(hào)。 2 特殊變量特殊變量特殊變量取值取值ans運(yùn)算結(jié)果的默認(rèn)變量名pi圓周率eps計(jì)算機(jī)的最小數(shù)flops浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)inf無窮大，如1/0NaN或nan非數(shù)，如0/0、/、0i或 ji=j=nargin函數(shù)的輸入變量數(shù)目nargout函數(shù)的輸出變量數(shù)目realmin最小的可用正實(shí)數(shù)realmax最大的可用正實(shí)數(shù)3賦值語句(1) 變量=表達(dá)式(2) 表達(dá)式其中表達(dá)式是用運(yùn)算符將有關(guān)運(yùn)算量連接起來的式子，其結(jié)果是一個(gè)矩陣。例 建立變量和賦值v x=1+2i;v y=3-sqrt(17); 其中其中pi和和i都是都是MATLAB預(yù)先定義的變量，

3、分預(yù)先定義的變量，分別代表代表圓周率別代表代表圓周率和虛數(shù)單位。和虛數(shù)單位。v2.1.2 內(nèi)存變量的管理MATLAB工作空間窗口專門用于內(nèi)存變量的管工作空間窗口專門用于內(nèi)存變量的管理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變量的屬性。當(dāng)選中某些變量后，再單擊量的屬性。當(dāng)選中某些變量后，再單擊Delete按鈕，就能刪除這些變量。當(dāng)選中某按鈕，就能刪除這些變量。當(dāng)選中某些變量后，再單擊些變量后，再單擊Open按鈕，將進(jìn)入變量編按鈕，將進(jìn)入變量編輯器。通過變量編輯器可以直接觀察變量中輯器。通過變量編輯器可以直接觀察變量中的具體元素，也可修改變量中的具體元素。的具體元素

4、，也可修改變量中的具體元素。clear命令用于刪除MATLAB工作空間中的變量。who和whos這兩個(gè)命令用于顯示在MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。who命令只顯示出駐留變量的名稱，whos在給出變量名的同時(shí)，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。 v2.1.3 MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)v函數(shù)使用說明：v(1) 三角函數(shù)以弧度為單位計(jì)算。v(2) abs函數(shù)可以求實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、字符串的ASCII碼值。v(3) 用于取整的函數(shù)有fix、floor、ceil、 round，要注意它們的區(qū)別。舉例。2.2 MATLAB矩陣和數(shù)組v2.2.1矩陣的創(chuàng)建與保存矩陣的創(chuàng)建可以

5、通過以下幾種形式創(chuàng)建v以直接形式列出元素形式輸入v通過語句和函數(shù)產(chǎn)生v從外部文件導(dǎo)入v建立在M文件中1直接輸入法直接輸入法 最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號(hào)括起來，按矩陣行的順序輸入各素用方括號(hào)括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔例 簡(jiǎn)單矩陣 的輸入方法例 創(chuàng)建如下矩陣987654321A2/2113/ ) 32(54380eA2. 由函數(shù)創(chuàng)建

6、和修改矩陣vzeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。vones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。veye：產(chǎn)生單位矩陣。vrand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。vrandn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。例例 分別建立分別建立33、32和與矩陣和與矩陣A同樣大小的同樣大小的零矩陣。零矩陣。例例 建立隨機(jī)矩陣：建立隨機(jī)矩陣：(1) 在區(qū)間在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。階隨機(jī)矩陣。(2) 均值為均值為0.6、方差為、方差為0.1的的5階正態(tài)分布隨機(jī)階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣矩陣 v3. 從外部數(shù)據(jù)文件調(diào)入矩陣 在MATLAB中，還可以從外部文件讀入數(shù)據(jù)生成矩陣。這些文件可以是

7、存儲(chǔ)MATLAB已經(jīng)生成的二進(jìn)制文件，還可以是包含數(shù)值數(shù)據(jù)的文本文件。在文本文件中，數(shù)據(jù)必須排成一個(gè)矩形表，數(shù)據(jù)之間用空格分隔。文件的每行僅包含矩陣的每一行，并且每行的元素個(gè)數(shù)必須相等。舉例。4.利用M文件中的函數(shù)生成矩陣 對(duì)于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個(gè)M文件。M文件是一種包含MATLAB代碼的文本文件，這種文件的擴(kuò)展名是“.m”。它包含的內(nèi)容就是在MATLAB命令行鍵入矩陣生成的命令。舉例。v2.2.2 數(shù)組、向量的建立與保存v1、一維、二維數(shù)組的建立 在MATLAB中數(shù)組可以看成是行向量，即只有一列的矩陣。前面介紹的所有矩陣的建立方法對(duì)于一、二維數(shù)組同樣適用，這里不再過多

8、介紹 v2、向量的建立（1）利用冒號(hào)生成向量（2）利用MATLAB指令建立向量 A、linspace用來生成線性等分向量， B、logspace用來生成對(duì)數(shù)等分向量說明logspace (a,b,n)生成生成10a到到10b之間分布的之間分布的n個(gè)個(gè)向量，向量，n的默認(rèn)值為的默認(rèn)值為50linspace (a,b,n)則是生成則是生成a和和b之間分布的之間分布的n個(gè)個(gè)向量，向量，n的默認(rèn)值為的默認(rèn)值為1002.2.3 矩陣的基本操作矩陣的基本操作1矩陣元素矩陣元素提取與修改A、使用全下標(biāo)索引T（i，j）i和j分別表示索引或提取元素在矩陣中的行數(shù)和列數(shù)B、采用矩陣元素的序號(hào) 矩陣元素的序號(hào)就是相

9、應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類推。 2.矩陣拆分 A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩陣第ii+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第kk+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第ii+m行內(nèi)，并在第kk+m列中的所有元素 。2.3 MATLAB運(yùn)算v2.3.1算術(shù)運(yùn)算1矩陣運(yùn)算在MATLAB的系統(tǒng)中提供了一些矩陣運(yùn)算符。(加)、(減)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方) v注意

10、：A、矩陣的加法和減法運(yùn)算中，參與運(yùn)算的矩陣維數(shù)必須相同B、矩陣乘法運(yùn)算中乘號(hào)左邊的矩陣列數(shù)必須和乘號(hào)右邊的矩陣行數(shù)必須相同C、矩陣除法中，一定要注意區(qū)分矩陣的左除()和右除(/)的區(qū)別。如果A矩陣是非奇異方陣，則AB和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn) 。AB等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。 對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般ABB/A。D、對(duì)于矩陣的乘方運(yùn)算Ax，要求A為方陣，x為標(biāo)量。 2數(shù)組運(yùn)算數(shù)組的運(yùn)算符為(加)、(減)、.*(乘)、./(右除)、.(左除)、.(乘方) (1) 數(shù)組對(duì)標(biāo)量的加、減、乘、除運(yùn)算就是對(duì)數(shù)組的每個(gè)元素分別施加運(yùn)算

11、。(2)數(shù)組對(duì)數(shù)組的運(yùn)算在MATLAB中，當(dāng)兩個(gè)數(shù)組具有相同的維數(shù)時(shí)，加減乘除運(yùn)算是元素對(duì)元素的方式進(jìn)行的。 v注意A、數(shù)組的加法、減法和矩陣的運(yùn)算符是相同的都是“+”和“”。 B、數(shù)組的乘除運(yùn)算和矩陣是完全不同的，運(yùn)算符為(.*)和點(diǎn)除(./)。運(yùn)算符的點(diǎn)號(hào)不能少，否則將不按數(shù)組的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行。 C、注意區(qū)分?jǐn)?shù)組的左除和右除。它們的關(guān)系如下：a./b=b.a D、數(shù)組的冪運(yùn)算符號(hào)為“.”，用來表示數(shù)組元素對(duì)元素的冪運(yùn)算 v矩陣運(yùn)算和數(shù)組運(yùn)算的對(duì)比3向量運(yùn)算(1) 向量的點(diǎn)積運(yùn)算v在MATLAB中，向量的點(diǎn)積由函數(shù)“dot”來實(shí)現(xiàn)，“dot”函數(shù)的調(diào)用格式如下：vCdot（A，B）表示返回向量

12、A和向量B的點(diǎn)積，結(jié)果放在向量C中。需要說明的是，向量A與B必須長(zhǎng)度相同。另外，當(dāng)A與B都是列向量時(shí)，dot（A，B）等同于A*B (2) 向量的叉積運(yùn)算在MATLAB中，向量的叉積由函數(shù)“cross”實(shí)現(xiàn)。cross的調(diào)用格式如下：Ccross(A，B)表示返回向量A與B的叉積，即CAB。需要說明的是，向量A與B向量必須是3個(gè)元素的向量。 2.3.2 關(guān)系運(yùn)算MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：(小于Lt)、(大于Gt)、=(大于或等于Ge)、=(等于eq)、=(不等于Ne)。 關(guān)系運(yùn)算的運(yùn)算法則(1) 當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。(2)

13、 當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。(3) 當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。v例：產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為10,90區(qū)間的隨機(jī)整數(shù)，然后判斷A的元素能否被3整除。2.3.3 邏輯運(yùn)算MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與and)、|(或or)和(非not)。 邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則

14、為：(1) 在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。(2) 設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，a&b a,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。a|b a,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。a 當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。(3) 若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。(4) 若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。(5

15、) 邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。 例 建立矩陣建立矩陣A，找出其中大于，找出其中大于4的元素的位置。的元素的位置。 v幾種運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)比較在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。(矩陣轉(zhuǎn)置)、(矩陣冪)和.(數(shù)組轉(zhuǎn)置)、.(數(shù)組冪) (邏輯非) *(乘)、/(左除)、(右除)和.*(點(diǎn)乘)、./(點(diǎn)左除)、.(點(diǎn)右除) +、-(加減): (冒號(hào)) 、=、= &(邏輯與) |(邏輯或) 2.4 矩陣分析2.4.1 對(duì)角陣與三角陣1對(duì)角陣(1) 提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n

16、)個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。(2) 構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)mm對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。2三角陣 (1) 上三角矩陣求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2) 下三角矩陣在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和tr

17、iu(A,k)完全相同。2.4.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 1矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)()。2矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。3矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。 2.4.3 矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：AB=BA=I (I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易

18、出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。 2.4.4 方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。2.4.5 矩陣的秩與跡1矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。2.4.6 矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1) E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。2.5 字符串在MATLAB中，字符串是用單撇號(hào)括起來的字符序列。字符串是以ASCII碼形式存儲(chǔ)的。abs和double函數(shù)都可以用來獲取字符串矩陣所對(duì)應(yīng)的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)可以把ASCII碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。 1、字符串函數(shù)length：用來計(jì)算字符串的長(zhǎng)度(即組成字符的個(gè)數(shù))。