循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用概要

1、目錄一.相關(guān)概念-2-定義1.1-.2-定義1.2-.2-定義1.3-.3-定義1.4-.3-2 .循環(huán)矩陣的性質(zhì)-3-循環(huán)矩陣基本性質(zhì)-.3-關(guān)于循環(huán)矩陣的判定相關(guān)性質(zhì)-.5-循環(huán)矩陣可逆的判定及互素推論-.6-循環(huán)矩陣的一個(gè)定理及其得出的推論-.6-循環(huán)矩陣對(duì)角化相關(guān)性質(zhì).-.7-等比數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣相關(guān)性質(zhì)-.9-循環(huán)矩陣行列式與特征值相關(guān)性質(zhì).-.10-循環(huán)矩陣的奇異性-.12-循環(huán)矩陣與向量空間相關(guān)性質(zhì)-.12-3 .廣義循環(huán)矩陣-13-定義3.11.13-定義3.21.13-推論3.11.14-推論3.2-.14-推論3.31.14-推論3.4-.14-定義3.2-.14-定義3

2、.3-.15-定義3.4-.15-定義3.5-.15-參考文獻(xiàn).-15-循環(huán)矩陣的性質(zhì)研究相關(guān)概念定義1.1具有以下形式的n階方陣A稱為關(guān)于a0,a1,a2，an的循環(huán)矩顯然，A由首行元素惟一確定，因此可簡(jiǎn)記為A=circ（%,ai，an）.1a0a1a2an1ana0a1,'an/A=an/ana°-'ana1a2a3aO特別地，n階循環(huán)矩陣：010000100000D=：:0000110000_稱為n階基本循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為：D=circ(0,1,0,，0)顯然，D,D2,D3,Dn=I(n階單位矩陣)都是循環(huán)矩陣，由此得A=a°I+a1D+a2D2+an

3、,Dn，設(shè)f(x);a0a1xa2x2an4xn4,則A=f(D),這時(shí)a。=a°I.記Cn>n為復(fù)數(shù)域C上的全體n階方陣，R.為實(shí)數(shù)域上的全體n階方陣，它們分別構(gòu)成復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的n2維向量空間，記tr(A)為矩陣A的跡，AH為A的轉(zhuǎn)置共腕陣.定義1.2設(shè)ACn珀(Rn冷)，如果矩陣A的最小多項(xiàng)式等于特征多項(xiàng)式，則稱A為循環(huán)矩陣.定義1.3設(shè)A是n維向量空間'使得口，Act,，An%線性無(wú)關(guān).則稱口定義1.4已知n階基本循環(huán)矩靜D=1并令I(lǐng)i稱l,llJ2Jn為循環(huán)矩陣基本列(其二.循環(huán)矩陣的性質(zhì)2.1循環(huán)矩陣基本性質(zhì)性質(zhì)2.1.13循環(huán)矩陣基本列I,性質(zhì)2.1.2

4、3任意的n階循環(huán)矩口/上的一個(gè)線性變換，若存在向量“EY,為A的一個(gè)循環(huán)向量.010000100000333m,0000110000-=Di(i=1,2,n),中|=Dn=ln為單位矩陣).l12n是線性無(wú)關(guān)的.午A都可以用循環(huán)矩陣基本列線性表出，即A=a01+a性質(zhì)2.1.3同價(jià)循環(huán)矩陣的和矩區(qū)1a。aa2ana°a1證明設(shè)人=anqana0JiAAA,aa2a3a0a1a2an.a°a1A+B=anqanaO-aa2a3an一b°bb2anqbnb0b1bnan二，B=bnqbnb0bn.,則W-.-W-,一a0-.b1b2b3b0_an一bOb1b2bn1a

5、n1bn二b0b1bnIan+bnqbn.1b0bnT=,-,a0.b1b2b3b0l1anlnlanJbnJan_2bn_2an_3bn_3a。b。a0b0a1bia?b?an+bnA%+b°ai+bian/+bn/an+bn/a。+bOa1+4a2+b2a3+b3顯然A+B為循環(huán)矩陣.定理2.1.1設(shè)A、B為n階循環(huán)矩陣，則有:(1)乘積AB仍是循環(huán)矩陣，且滿足乘法交換律，即AB=BA;(2)若A可逆，則A的逆矩陣也是循環(huán)矩陣；證明(1)設(shè)A=a0I+aD+azD2+anDn=f(D),B=b0I+biD+bzD2+-bnDn=g(D),因?yàn)镈n=Dndk(其中K為非負(fù)整數(shù),D0

6、=I),所以AB=f(D)g(D)=g(D)f(D)=h(D)=BA,此處h(P)為不高于n-1次的多項(xiàng)式，因此AB為n階循環(huán)矩陣，且AB=BA.設(shè)A為n階可逆循環(huán)矩陣,-b0欲求b1b0bn4A的逆矩陣，需求得矩陣b2bib0bnjbn/bn二bib2b3b0一滿足條件AB=I即可.設(shè)A=a0I+a1D+a2D2+anDnB=b0I+lbD+b2D2+bn,Dn，有AB=(a°IaDazD2anDn,)(b°IIDbzD2nDn)(a0b°a“a1bn)I(a1b0a0b1a2bn)D(anb°an/b1a0bn)Dn要使AB=I,則以下方程組必須成立

7、：'a0b0+an4bl+a1bn口=1aha0b1azbn7二0JanMani6a0bn口=0解以上方程組可轉(zhuǎn)化為求解：AT(b0,b1,b2,bn)T=(1。0)T,因?yàn)锳可逆，所以A=網(wǎng)第0,因此方程有唯一的解與由心,bn，可得到唯一的矩陣B,B為A的逆矩陣，且B為循環(huán)矩陣.性質(zhì)2.1.4n階循環(huán)矩陣A的伴隨矩陣A*也是循環(huán)矩陣.證明伴隨矩陣A*=AA,，由定理2.1.1可知A，=b°IbDb2D2bnDn為循環(huán)矩陣，因此A*=網(wǎng)也1HDb?D2bnDn)=|AboI”出“D2中口2也是循環(huán)矩陣.關(guān)于循環(huán)矩陣的判定相關(guān)性質(zhì)由定義1.2,有如下性質(zhì)：引理2.2.12設(shè)Aw

8、Cn>n(Rn沏)，則rank(AHA)=rank(AAH)=rank(A).定理2.2.12設(shè)AWCnM(Rn>n),則A為循環(huán)矩陣的充要條件是矩陣tr(IHI)tr(IhA)tr(IHAn,)HHHn1tr(AI)tr(AA)tr(AA)aaa:tr(An)HI】trAn/)HA】tr(/)“An是滿秩的.由定義1.3,有如下性質(zhì)：引理2.2.22設(shè)A是n維向量空間V上的一個(gè)線性變換，A有一個(gè)循環(huán)向量的充要條件是A的最小多項(xiàng)式等于特征多項(xiàng)式.由此可知A為循環(huán)矩陣的充要條件是A有一個(gè)循環(huán)向量.定理2.2.2設(shè)AwCn，Rn珀)，rank(An)<rank(An-1),則A為

9、循環(huán)矩陣.證明由于rank(An)<rank(An-1),故n-akAn-1)<n-rak(An),即An"的核空間的維數(shù)小于An的核空間的維數(shù).所以必存在向量口eCn(Rn),使得An%#0,而A%=0.卜面證明儀就是A的一個(gè)循環(huán)向量，即a,A。,，An為線性無(wú)關(guān).設(shè)x1,x2，xnWC(R),且滿足x1a+x2Aoe+xnAna=0,貝UAn_l(x1o(+x2Aa+xnAn,o()=x1AnJa+x2A%+xnA2n%=x1Ana=0.所以x1=0,x2Aa+xnAn,a=0,從而An'(x2Aa十+xnAn/a)=0,即x2An%=0,所以x2=0,x3A

10、2o(+-L+xnAn_la=0.。n依次類推下去，可得xi=x2=A=0,因此口，Act,，An,線性無(wú)關(guān)，即a為A的一個(gè)循環(huán)向量，所以A是循環(huán)矩陣.循環(huán)矩陣可逆的判定及互素推論推論2.3.15循環(huán)矩陣A可逆的充要條件是方程a0+a1x+a2x2+anxn=0無(wú)單位根.推論2.3.2設(shè)A是以ae2,，an為元素的n階循環(huán)矩陣，則A可逆的充要條件是f(x)=a1+a2x+a3x2+anxn與xn-1互素，即(f(x),xn-1)=1.證明由|A|=f3)f32)fn),a可逆的充要條件是|A#0,即f(x)=a1+a2x+a3x2十a(chǎn)nxn與xn-1沒(méi)有公共根,從而(f(x),xn-1)=1.

11、推論2.3.3若f(x)=a1+a2x+a3x2+anxn，與xn-1互素，則f(x)=an+a1x+a2x2+anxnf?(x)=an/+anx+x2+anxnJfn(x)=a2+a3x+a4x2+ax”，都與xn-1互素.證明因?yàn)榉謩e以f1(x),f2(x)，fn(x)的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以f(x)的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個(gè)符號(hào)，由推論2.3.2便可推出此推論.循環(huán)矩陣的一個(gè)定理及其得出的推論定理2.4.15設(shè)循環(huán)矩陣A=-101'0n產(chǎn)0n其中='aj'ij,i=0,1,2,n;jj=0a0a1a2anjL1an_ta0a1.an/anNana

12、°-an-.-»a1a2a3-a°_000-11九1008061220，-20切0&1-9-a-»00，-n1n¥0n®1ie不，i2=一1,j=0,1,2,則n，00co即0,'1，.'n為所有n+1次單位根.我們不難由定理2.4.1得到如下推論,這里證明略.在下面推論中,表示的意義均和定理2.4.1相同.推論2.4.15循環(huán)矩陣A的秩為%,%,，九n中非零數(shù)的個(gè)數(shù).循環(huán)矩陣對(duì)角化相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)2.5.1任何一個(gè)循環(huán)矩陣A在復(fù)數(shù)域上都與一個(gè)對(duì)角矩陣相似證明n階循環(huán)矩陣D的特征值為2k二2k二2,k=cosisi

13、n(k=0,1,2,n-1)(i-1)nn由于%豐%(kgj),又因D相似于對(duì)角矩陣A=diag'0,'1,，'n即存在可逆矩陣P,P,DP=A.A相似設(shè)A=a°I+aD+azD2+anDn=f(D)是任意一個(gè)循環(huán)矩陣,于對(duì)角矩陣diagif。)。)f(J事實(shí)上,DPAP4A=f(D)=f(P上P,)=a0Ia1PAP4-anP-n4PPdiagif（，o）,f（，。f（，n）P，定理2.5.1任何一個(gè)對(duì)角矩陣都相似于一個(gè)循環(huán)矩陣.證明設(shè)A是n階對(duì)角矩陣上=diagi1,2,'n其中垢,，九n為復(fù)數(shù).2n1a。a1，0,az；：:。an'。=1

14、i2n1構(gòu)造線性方程組a0-ai，i'a?.an.2na。-ai，nia2-nan其中劍聲1,n是n階循環(huán)矩陣D的特征值2k二.2k二k=cosisin(k=0,1,2,n-1)nn則以a0,a，4工為未知數(shù)的上述方程組有且僅有唯一解，因?yàn)樗南禂?shù)行列式是范德蒙行列式，且00,以，®n互不相等，從而系數(shù)行列式不為零.構(gòu)造n階循環(huán)矩陣A=a0IaDa2D2anDn則A的特征值為4,%,，.由性質(zhì)2.5.1,A相似于對(duì)角矩陣=diag'1,'2,'n推論2.5.1n階方陣A相似于對(duì)角矩陣的充要條件是A相似于某個(gè)循環(huán)矩陣.證明充分性：若A相似于循環(huán)矩陣B,由

15、性質(zhì)2.5.1,B與某對(duì)角矩陣A相似.根據(jù)相似關(guān)系的可傳遞性知，A相似于對(duì)角矩陣A.必要性：若A相似于對(duì)角矩陣A,由定理2.5.1知，對(duì)角矩陣A相似于某個(gè)循環(huán)矩陣B.根據(jù)相似關(guān)系的可傳遞性知，A相似于循環(huán)矩陣.性質(zhì)2.5.2復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)n階矩陣都可以對(duì)角化，更一般地，可由同一個(gè)復(fù)n階可逆矩陣，使復(fù)數(shù)域上任意n階循環(huán)矩陣同時(shí)對(duì)角化.證明由性質(zhì)2.5.1易知，任意一個(gè)n階矩陣A都可以對(duì)角化，由于A是任意的，所有的結(jié)論全部得證.等比數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣相關(guān)性質(zhì)設(shè)序列匕匕是公比為q的等比數(shù)列，把由該序列構(gòu)成的循環(huán)矩陣記為一a1a2a3anana1a2anan_1ana1an/-.-一嗎-:<2

16、a3a4a1fci也構(gòu)成，記為一4b2b3bnbnb1b2bnbnabnab1bn_2-b2b3b4b11AA=矩陣A可逆時(shí)，其逆矩陣由序列(1)定理2.6.1若等比數(shù)列QT4滿足q#i,若n為偶數(shù)時(shí)，q#1,則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣（1）的逆矩陣（2）存在，且bi=，ba1(1一q)qa1(1-q),b3=b4=bn.A一100-q1a1(1-qn)(3)一一q-q1證明只須確定=1,2，n）,由AA=E，即A'（A/）'=E知，A'乘（A）'"1的第一列等于E的第一列可得。滿足的方程組.A'(b1,b2,bn)'=(1,0，0)&#

17、39;(4)注意到ai=ajq（i=2,3,，n）,an=aqn,對(duì)（4）的增廣矩陣進(jìn)行初等變換.一a.ananjLa3a21a2a.an-a4a30a3a2a.-asa409-.aaanan/an-a.an0ananan/a2a.0_Aaananla3a210a1(1-qn)000-q00aaa1”qn)0aa0a09000a1(1-qn)000000a1(1-q0)0當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，q#-1,知af-qn)¥0,可得db4=bn=0又a#0,q#1,b2=-a1(1-q)1bi=一(1-anb2)a.1-aqai|lnd.q1ai(1-qn)ai(1-qn)定理及（3）式成立，證畢

18、.由上述定理及（3）式易得推論2.6.18若等比數(shù)列Q匕滿足公比q#1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，q#-1,則由該數(shù)列構(gòu)成的循環(huán)矩陣A及其逆矩陣A的行列式分別為:Hnnn4=百(1q),A，1nn、n.a1(1-q)循環(huán)矩陣行列式與特征值相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)2.7.1若A為復(fù)數(shù)域上的n階循環(huán)矩陣a。a.a2an二agaanqana°-一,-a.a2a3A=an二anqana0那么A的行列式detA=f（即）f（冉）f（即9,這里外=cos""+isin""（k=0,1,2,，n一1）是全部n次單位根,nn2f（x）=a0a1xa2xnJanx證明作n階矩陣118n

19、22n,n1；1這里&k=cos-2+isin2kz（k=0,1,2,，n-1）是全部n次單位根，令nn2f（x）=a0a1xa2xn1-anx由于n次單位根滿足玩=1，域=1,k=0,1,2,，n-1,且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)i,端+=即水=0,1，n-1,考察A與4的乘積-a0a1a2ana。a1,A*=anJ2ana0-:a1a2a3,an-一11H1_anJ2161&n122anJ3&15*nn,na0_1*&n_1_一。）80f（80）%f（%）9了片（。）1111鳥%21街8n4工ii彳n-1.ji.n-11馬露fg）fgn）1陰（樂(lè)）Kfgn）2-.、2-

20、.、名1f（名1）名nf（%）二99%nf（81）葭）（4）_-f（%）f）+Jf（"一diag（f（；。），f（；）,f（g）.由于矩陣小的行列式是一個(gè)范德蒙行列式,且當(dāng)i#j時(shí)，n次單位根3%,所以det®#0,從而detAdet=det(A)=det(diag(f(；0),f(；1),f(；n)二det4f(80)f(81Lf(8n_1).aaa2anana。a1an-2定理2.7.19設(shè)A是形如an_2ana0an>>>>>>>的循環(huán)矩陣，且設(shè)_aa2a3a°n1f(x)=EaiXi,&0,a,，是1的全部

21、n次單位根.i02k二.2k二八,、；k=cosIsin(k=0,1,2,n-1)nn這里i是虛數(shù)單位(i2=-1),則A的n個(gè)特征值是：f(；0),f(；1),f(；n)，n1注意detA=nf(k).k0循環(huán)矩陣的奇異性定理2.8.19在定理2.7.1的條件下，循環(huán)矩陣A奇異的充要條件是存在某個(gè)j(0<j<n-1),使f(j)=0.由于對(duì)任意的自然數(shù)n,%=1是1的n次單位根，故有n1推論2.8.19若£ai=0,則A奇異.i=0n4推論2.8.29設(shè)n為偶數(shù)，若£(1)5=0,則A奇異.i=0循環(huán)矩陣與向量空間相關(guān)性質(zhì)定理2.9.1數(shù)域P上的所有n父n階循

22、環(huán)矩陣按照矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)向量空間，其基為循環(huán)矩陣基本列IJ，Ini,零向量為n階零方陣，負(fù)向量為-A.證明對(duì)于數(shù)域P上的所有nxn階循環(huán)矩陣，很容易證明任意兩個(gè)循環(huán)矩陣相加還是循環(huán)矩陣，循環(huán)矩陣的任意常數(shù)倍還是循環(huán)矩陣，那么就得到了這個(gè)定理.三.廣義循環(huán)矩陣定義3.1若把a(bǔ)0,ai,a2,an推廣為m階方陣A0,A1,An時(shí)，我們稱矩A0A1AnAAn1AnA0An_2An_1-A2AA0A-A1A2AnA。一為廣義循環(huán)矩陣。定義3.2設(shè)E是m階單位矩陣，A0,A1,An是m階方陣，且A0,A1,An兩兩可換，我們稱矩陣A=-EEEE1A0A1Anj.An.2.2.2A2A0A1An

23、An:A；A；nAnAn一為廣義范德蒙矩陣，其行列式為廣義范德蒙行列式.引理設(shè)人=-EA0A02EAiA2AndetAEAn二An4A；4EAnA"A：是廣義范德蒙矩陣，則A的行列式為det（A一Aj）0j<i<n定理1設(shè)E是m階單位陣，且A0,A1,An均是m階方陣且兩兩可換，矩A0AnAiAoAnAAn_2An1An_1D=-一.A2A3A0AA1A2AnA0是廣義循環(huán)矩陣，則,百D=p2E。1G；+ECn*EGnc：A。000A10+呼*000000C0E口1C2+«*EQn口2EGn。21r可onjLo00An陵0建1ncnon一M000n0000其中矩陣Ai=zj=0AjQ，,Ci=00*0孫0為m階數(shù)量:方陣,i=0,1,.,n0000叫一i2j=en1,i-1,j=0,1,.,n類似地由定理2可以得到下面的推論，推論中D,和帆所表示的意義均和定理2相同。n推論3.1對(duì)于廣義循環(huán)矩陣D,我彳門有detD=口detQk).i=0推論3.2廣義循環(huán)矩陣D可逆的充要條件是矩陣A均可逆，