應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)二

1、應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（二）本文主要是對(duì)材料成形相關(guān)專業(yè)學(xué)習(xí)過程中對(duì)一些問題的思考，也許并不深刻，但卻是自己從初學(xué)時(shí)的迷惑到后來逐漸認(rèn)識(shí)的過程。相關(guān)還有：Levy-Mises理論的思考應(yīng)力張量的基礎(chǔ)知識(shí)參見應(yīng)力張量的認(rèn)識(shí)（一）這一部分主要是對(duì)應(yīng)力張量本質(zhì)的理解。相似矩陣通過基礎(chǔ)知識(shí)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，應(yīng)力張量代表點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它不依賴于坐標(biāo)系的選取，并且對(duì)應(yīng)著同一主應(yīng)力狀態(tài)。用矩陣的觀點(diǎn)理解為：同一點(diǎn)的應(yīng)力張量矩陣是相似矩陣，并且可以對(duì)角化。然而問題是為什么會(huì)這樣？我們可以這么理解，同一點(diǎn)不同截面下的應(yīng)力張量描述的都是相同的應(yīng)力狀態(tài)，因此他們有著內(nèi)在的聯(lián)系（例如滿足靜力平衡方程）。由切應(yīng)力互等定律可知應(yīng)力

2、張量矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣，由矩陣論可知實(shí)對(duì)稱矩陣必定可以對(duì)角化，即不同截面應(yīng)力張量對(duì)相似于一個(gè)主應(yīng)力張量；而同一點(diǎn)的主應(yīng)力狀態(tài)是確定的。于是由相似矩陣的傳遞性可知，不同截面下的應(yīng)力張量矩陣是相似的。線性變換從應(yīng)力張量是相似矩陣再進(jìn)一步一一相似矩陣的本質(zhì)是同一線性變換在不同基下表示的矩陣，我們就可以從更根本的角度看待應(yīng)力張量了：應(yīng)力張量代表一個(gè)線性變換！那么對(duì)于任意法向?yàn)閚=（n1,n2,n3）截面，可以得到面上作用的應(yīng)力分量Pt=%勺將上式改寫成矩陣表達(dá)式其中，巧2%、A=%】b”,H=打/二7y=pj=P11%b翌；根據(jù)線性變換與矩陣的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知應(yīng)力張量代表一個(gè)線性變換（確切的說是線性

3、映射）應(yīng)力張量將截面位置映射到截面應(yīng)力數(shù)學(xué)表述為：IIU是截面方向余弦組成的線性空間，V是截面應(yīng)力作成的線性空間。舉例說明下面說明這個(gè)線性映射是如何與力學(xué)描述相一致的。前面多次提到，用三個(gè)互相垂直的截面截取P點(diǎn)，并以其法向建立笛卡爾坐標(biāo)系。這樣的截面有無數(shù)多對(duì)，這樣的坐標(biāo)系也有無數(shù)多個(gè)。為了區(qū)分他們，可以先確定一個(gè)全局坐標(biāo)系S:Oxyz,這樣就可以描述其他任意的坐標(biāo)系S':O'x'y了z'也就是局部坐標(biāo)系。如何確定呢？采用局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向在全局坐標(biāo)系下的方向余弦列向量來描述。例如，局部系x軸方向在全局坐標(biāo)系下的方向余弦向量為這就是局部系在全局坐標(biāo)系空間下的

4、基。在局部坐標(biāo)系內(nèi)，任意截面同樣用方向余弦列向量來描述，例如=（外;巧二（CDS（方,工）,COS（用這就是任意截面在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。對(duì)于截面上的應(yīng)力分布，也是一樣的情況。他的坐標(biāo)系方向是一致的，坐標(biāo)的描述也是類似的，只是屬于不同的空間而已。這樣力學(xué)描述和數(shù)學(xué)描述是相互統(tǒng)一的：力學(xué)描述用任意相互垂直的三個(gè)平面截取P點(diǎn)，以截面法向?yàn)檎较蚪⒌芽栕鴺?biāo)系，得到三個(gè)截面上的應(yīng)力分布的組合一一應(yīng)力張量。以此為基礎(chǔ)，可以求得這個(gè)坐標(biāo)系下任意其他截面上的應(yīng)力分布。數(shù)學(xué)描述任意給定一組基后，可以用坐標(biāo)描述截面位置（方向余弦列向量）及截面應(yīng)力（應(yīng)力分量列向量）。在這組基下，存在一個(gè)線性變換，將截面位置映射到截面應(yīng)力。上面兩段話中，相同的顏色顯