向量公式匯總

1、向量公式匯總平面向量1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC。a+b=(x+x'， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律： a+b=b+a；結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的減法如果 a、 b 是互為相反的向量，那么a=-b ，b=-a ， a+b=0. 0 的反向量為0AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”a=(x,y) b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量，記作a，且 a = ? a。當(dāng) 0 時(shí)，a 與

2、 a 同方向；當(dāng) 0 時(shí)，a 與 a 反方向；當(dāng) =0 時(shí)， a=0，方向任意。當(dāng) a=0 時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有 a=0。注：按定義知，如果a=0，那么 =0 或 a=0。實(shí)數(shù) 叫做向量 a 的系數(shù)，乘數(shù)向量 a的幾何意義就是將表示向量a 的有向線段伸長或壓縮。當(dāng) 1 時(shí)，表示向量 a 的有向線段在原方向（0）或反方向（ 0）上伸長為原來的倍；當(dāng) 1 時(shí)，表示向量 a 的有向線段在原方向（0）或反方向（ 0）上縮短為原來的倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律： ( a)?b=(a?b)=(a? b) 。向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：( +)a= a+a.數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律

3、）：(a+b)= a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù) 0且 a=b，那么 a=b。 如果 a0且 a=a，那么 =。4、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b 。作 OA=a,OB=b,則角 AOB稱作向量 a 和向量 b 的夾角，記作 a,b 并規(guī)定 0 a,b 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若 a、b 不共線，則a?b=|a|?|b|?cos a，b；若 a、 b 共線，則 a?b=+- a b。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y' 。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a?b=b?a（交換律）；( a)?b=(a?b)( 關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合

4、律) ；（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a| 的平方。a b =a?b=0。|a?b| |a|?|b|。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c a?(b?c) ；例如： (a?b)2 a2?b2。2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c (a 0) ，推不出 b=c 。3 、|a?b| |a|?|b|4 、由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b 。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量 a 和 b 的向量積（外積、 叉積）是一個(gè)向量， 記作 a×b。若 a、b 不共線，則 a×b的

5、模是： a×b=|a|?|b|?sin a，b； a×b的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b和 a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若 a、 b 共線，則 a×b=0。向量的向量積性質(zhì)：a×b是以 a 和 b 為邊的平行四邊形面積。a×a=0。ab =a×b=0。向量的向量積運(yùn)算律a×b=- b×a；（ a）× b=（ a×b）=a×（ b）；（a+b）× c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量 CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式

6、1 、 a - b a+b a + b； 當(dāng)且僅當(dāng) a、 b 反向時(shí)，左邊取等號(hào)； 當(dāng)且僅當(dāng) a、 b 同向時(shí)，右邊取等號(hào)。2 、 a - b a-b a + b。 當(dāng)且僅當(dāng) a、 b 同向時(shí)，左邊取等號(hào)； 當(dāng)且僅當(dāng) a、 b 反向時(shí)，右邊取等號(hào)。6. 定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量P1P=?向量 PP2）設(shè) P1、 P2 是直線上的兩點(diǎn)，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 向量 P1P=?向量 PP2， 叫做點(diǎn) P 分有向線段 P1P2所成的比。若 P1（ x1,y1) ， P2(x2,y2) ， P(x,y) ，則有OP=(OP1+OP2)(1+) ；（定比分點(diǎn)向

7、量公式）x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ ) 。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若 OC=OA +OB , 且 +=1 , 則 A、B、C 三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在 ABC中，若 GA +GB +GC=O,則 G 為 ABC的重心 編輯本段 向量共線的重要條件若 b0，則 a/b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使 a=b。a/b的重要條件是xy'-x'y=0。零向量 0 平行于任何向量。 編輯本段 向量垂直的充要條件a b 的充要條件是a?b=0。a b 的充要條件是xx'+yy'=0。

8、零向量 0 垂直于任何向量 .空間向量令 a =(a 1,a2,a 3), b(b1 ,b2 , b3 ) ，則共線向量 ：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.a b a1b1 ,a 2 b 2 ,a 3b3 (a1a 2a 3R)b2b 3b1如果三個(gè)向量a, b, c 不共面 ：那么對(duì)空間任一向量P ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、 z，使 px a yb zc .推論：設(shè)O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z 使OP xOAyOBzOC (這里隱含 x+y+z 1).向量垂直aba1b1 a 2

9、 b 2a 3 b30 。空間兩個(gè)向量的夾角公式（ a (a1, a2 , a3 ) ，b (b1, b2 ,b3 ) ）?？臻g兩點(diǎn)的距離公式：d( x2 x1 ) 2(y2y1 ) 2( z2 z1 )2 .利用法向量求點(diǎn)到面的距離：如圖， 設(shè) n 是平面的法向量， AB 是平面，則點(diǎn) B 到平面| ABn |的一條射線， 其中 A的距離為.| n |.異面直線間的距離uuuruurrd|CDn |l1, l2 是兩異面直線，其公垂向量為r(n ， C、D 分別是 l1 ,l 2 上任一點(diǎn)， d 為 l1 , l2 間的距離 ).| n |B 到平面的距離uuuruurrd| AB n |的法向量， AB 是經(jīng)過面的一條斜線，A） .r（ n 為平面| n |直線