數(shù)學(xué)分析第一型曲線積分

1、1 第一型曲線積分 本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類(lèi)積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量.二、第一型曲線積分的計(jì)算 一、第一型曲線積分的定義 一 第一型曲線積分的定義 上的連續(xù)函上的連續(xù)函 是定義在是定義在 ()f P 設(shè)某物體的密度函數(shù)設(shè)某物體的密度函數(shù) 數(shù)當(dāng)數(shù)當(dāng) 是直線段時(shí)是直線段時(shí), 應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體應(yīng)用定積分就能計(jì)算得該物體 的質(zhì)量的質(zhì)量.現(xiàn)在研究當(dāng)現(xiàn)在研究當(dāng) 是平面或空間中某一可求長(zhǎng)度的曲線是平面或空間中某一可求長(zhǎng)度的曲線段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題. (1, 2,).ini .iP(2) 近似求和：在每一個(gè)近似求和

2、：在每一個(gè) 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 由于由于 n(1) 分割：把分割：把 分成分成 個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段 i ( )f P 為為i 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 故當(dāng)故當(dāng) 的弧長(zhǎng)都很小時(shí)的弧長(zhǎng)都很小時(shí), i (),iif P 每一小段每一小段 的質(zhì)量可近似地等于的質(zhì)量可近似地等于 其中其中 i i 為小曲線段為小曲線段 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. 于是在整個(gè)于是在整個(gè) 上的質(zhì)量就近似地等于和式上的質(zhì)量就近似地等于和式 1().niiif P 1max0ii nd (3) 當(dāng)對(duì)當(dāng)對(duì)的分割越來(lái)越細(xì)密的分割越來(lái)越細(xì)密(即即 ) 時(shí)時(shí), 上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量上述和式的極限就應(yīng)是該物體的

3、質(zhì)量.由上面看到由上面看到, 求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量, 與求直線段的質(zhì)與求直線段的質(zhì) 量一樣量一樣, 也是通過(guò)也是通過(guò)“分割、近似求和、取極限分割、近似求和、取極限”來(lái)得來(lái)得到的到的. 下面給出這類(lèi)積分的定義下面給出這類(lèi)積分的定義. (1, 2, ),iiL inL個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)n,它把它把 LLTL定義在定義在 上的函數(shù)上的函數(shù). 對(duì)曲線對(duì)曲線 做分割做分割 分成分成,isT1| max,ii nTs iL記為記為 分割分割 的細(xì)度為的細(xì)度為 在在 上任取上任取 一點(diǎn)一點(diǎn)(,)(1, 2, ).iiin 若有極限若有極限 | |01lim

4、(,),niiiTifsJ 為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段, L( ,)f x y定義定義1 設(shè)設(shè) 為為J(,)iiT 與與點(diǎn)點(diǎn)且且 的值與分割的值與分割 的取法無(wú)關(guān)的取法無(wú)關(guān), 則稱此則稱此 極極限為限為( ,)f x yL在在上的上的第一型曲線積分第一型曲線積分, 記作記作( ,)d .Lf x ys為空間可求長(zhǎng)曲線段為空間可求長(zhǎng)曲線段 , L( , )f x y zL若若 為定義在為定義在 上上 ( , )f x y zL的函數(shù)的函數(shù), 則可類(lèi)似地定義則可類(lèi)似地定義 在空間曲線在空間曲線 上上 的第一型曲線積分的第一型曲線積分, 并且記作并且記作 ( , )d .Lf

5、x y zs于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段于是前面講到的質(zhì)量分布在曲線段 L上的物體的質(zhì)上的物體的質(zhì) 量可由第一型曲線積分量可由第一型曲線積分 (1) 或或 (2) 求得求得. ( ,)d (1,2, )iLfx ys ik(1, 2, )ic ik1. 若若在在 為為 常數(shù)常數(shù), , 則則1( ,)dkiiLic f x ys也存在也存在, 且且11( ,)d( ,)d .kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2. 若曲線段若曲線段 由曲線由曲線 首尾相接而成首尾相接而成, ( ,)d (1,2, )iLf x ys ik( ,)dLf x ys都存在都存在,

6、則則 也存在也存在, 且且1( ,)d( ,)d .ikLLif x ysf x ys3( ,)d( ,)dLLf x ysg x ys若若與與 都存在都存在, 且在且在 L上上則則( ,)( ,),f x yg x y( ,)d( ,)d .LLf x ysg x ys4( ,)d( , ) dLLf x ysf x ys若若存存在在, ,則則| | |也存在也存在, |( ,)d |( ,)|d .LLf x ysf x ys且且 ( ,)dLf x ys若若L, s5存在存在, 的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為則存在常數(shù)則存在常數(shù) ( ,)d,Lf x yscs, c使得使得inf( ,)sup( ,)

7、.LLf x ycf x y這里這里6. 第一型曲線積分的幾何意義第一型曲線積分的幾何意義 為為L(zhǎng)LOxy( , )f x y若若 為坐標(biāo)平面為坐標(biāo)平面 上的分段光滑曲線上的分段光滑曲線, 上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù)上定義的連續(xù)非負(fù)函數(shù). 由第一型曲線的定義由第一型曲線的定義, 易見(jiàn)易見(jiàn) Lz以以 為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線, 母線平行于母線平行于 軸的柱面上截取軸的柱面上截取 0( , )zf x y ( ,)d .Lf x ys的部分的面積就是的部分的面積就是 yxzOL( , )zf x y 201 圖圖二 第一型曲線積分的計(jì)算定理定理20.1 設(shè)有光滑曲線設(shè)有光滑曲線 ( ),: ,( ),xtLtyt

8、( ,)f x yL 為定義在為定義在 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則則 22( , )d( ( ),( )( )( )d . (3)Lf x ysfttttt L1iitttt到到證證 由弧長(zhǎng)公式知道由弧長(zhǎng)公式知道, 上由上由 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) 122( )( )d .iititsttt 22( )( )tt 由由的連續(xù)性與積分中值定理的連續(xù)性與積分中值定理, 有有 221()()().iiiiiiisttt 1(,)niiiifs 221( (),()()(),niiiiiift 22221( (),()()()()(),niiiiiiiift 所以所以 1,.iiiitt 設(shè)設(shè)這里這里 則有

9、則有 1(,)niiiifs 221( (),()()(). (4)niiiiiift 令令12max,0,nttttT則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 必必有有 t0 0. . 0lim0.t 現(xiàn)在證明現(xiàn)在證明 因?yàn)閺?fù)合函數(shù)因?yàn)閺?fù)合函數(shù) ( ( ),( )fttt關(guān)于關(guān)于連續(xù)連續(xù), 所以在閉區(qū)所以在閉區(qū) , ,M ,t 間間 上有界上有界, 即存在常數(shù)即存在常數(shù) 使對(duì)一切使對(duì)一切 都有都有 |( ( ),( )|.fttM22( )( ) ,tt 在在再由再由 上連續(xù)上連續(xù), 所以它在所以它在 , 0, 0, 必存在必存在上一致連續(xù)上一致連續(xù), 即對(duì)任給的即對(duì)任給的 使當(dāng)使當(dāng) 時(shí)時(shí), t 2222()()()(

10、),iiii 從而從而 1|(),niiMtM ba所以所以 0lim0.t 2201lim( (),()()()niiiiitift 22( ( ), ( )( )( )d .bafttttt 因此當(dāng)在因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后式兩邊取極限后, 即得所要證的即得所要證的(3)式式. , a b 上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為式成為 2( , )d( ,( ) 1( )d ;bLaf x ysf xxxx 再由定積分定義再由定積分定義 ( ), , yxxa b L 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 ( )x ,c d上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí)上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),

11、 (3)式成為式成為 2( , )d( ( ), ) 1( )d .dLcf x ysfyyyy 例例1 設(shè)設(shè) L 是半圓周是半圓周 cos ,:0,sin ,xatLtyat試計(jì)算第一型曲線積分試計(jì)算第一型曲線積分 22()d .Lxys解解 22222230()d(cossin)d.Lxysaattta( ), , xyyc d 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 ( )y 例例2 24(0,0)(1,2)LyxOA設(shè)設(shè)是是從從到到一段一段(圖圖20-2), 試計(jì)算第一型曲線積分試計(jì)算第一型曲線積分 d .Ly s解解 220d1d4Lyy syy2322022(1)34y

12、4(2 21).3 由參由參 仿照定理仿照定理20.1, 對(duì)于空間曲線積分對(duì)于空間曲線積分(2), 當(dāng)曲線當(dāng)曲線 L量方程量方程 ( ),( ),( ), ,xtytztt 表示時(shí)表示時(shí), Oyx124yx 202 圖圖A( , , )dLf x y zs222( ( ),( ),( )( )( )( )d . (7)fttttttt 其計(jì)算公式為其計(jì)算公式為: 2d ,LxsL2222xyza例例3 計(jì)算計(jì)算 其中其中 為球面為球面 被平面被平面 所截得的圓周所截得的圓周. 0 xyz解解 由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知 222ddd ,LLLxsyszs所以所以 22222312d()dd.333L

13、LLaxsxyzssa4433(+)d ,LxyxysL*例例4 計(jì)算計(jì)算 其中其中 為內(nèi)擺線為內(nèi)擺線 434433.xya解解 由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知 dd0,LLx sy s1444333dd4d ,LLLxsysxs其中其中 1( , ), ,0 .Lx yL x y 33cos,sin,0,.2xat yat t 444333(+)d8dLLxyxysxs47433208cos3 sin cos dt4.atatta 222xya 222yza *例例5 求圓柱面求圓柱面 被圓柱面被圓柱面 所所 而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為 因此因此 包圍部分的面積包圍部分的面積 A. 解解

14、 圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分, 0.8AA Oxy它的面積為它的面積為 把把 平面上的平面上的 222xya L位于第一象限的四分之一圓周記為位于第一象限的四分之一圓周記為, 則被圍柱面則被圍柱面在第一卦限部分正是以曲線在第一卦限部分正是以曲線 L 為準(zhǔn)線母線平行于為準(zhǔn)線母線平行于 z 積分的幾何意義可知它的面積為積分的幾何意義可知它的面積為 220ds.LAax 220zax 的那部分柱面的那部分柱面. 由第一型曲面由第一型曲面 軸的軸的 L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為:cos ,sin ,0.2xat yatt 222200ds=1-co

15、sdtLAaxata 2220sin dt.ata 因此因此, 2088.AAa 定義定義, 線密度為線密度為 ( , )x y 的的 曲線狀物體對(duì)于曲線狀物體對(duì)于 x , y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 注注 由第一型曲線積分的由第一型曲線積分的 yxzO222xya0A203 圖圖例例6 求線密度為求線密度為2( , )1yx yx 的曲線段的曲線段 :ln ,12L yxx 對(duì)于對(duì)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 22d1yLx yIsx 22212ln11d1xxxxx 解解 213ln dln4.4xx x 2( ,)dxLIyx ys 2( ,)dyLIxx ys 和和

16、復(fù)習(xí)思考題 ( , )f x yL1.若若 在光滑曲線在光滑曲線上連續(xù)上連續(xù), , 是否一定存在是否一定存在 00(,),xyL 使得使得00( , )d(,) ,Lf x ysf xys其中其中 s 是曲線是曲線 L 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).( , )(, ).x yLx yL ( , )f x y2. 設(shè)設(shè)在光滑曲線在光滑曲線 L 上連續(xù)上連續(xù), , L滿足條件滿足條件:( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若滿足條件滿足條件: 是否有是否有 ( , )d0?Lf x ys ( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若滿足條件滿足條件: 是否有是否有 ( ,