實驗1 多元函數微分學(基礎實驗)指導書

1、 附錄 大學數學實驗指導書項目三 多元函數微積分實驗1 多元函數微分學（基礎實驗）實驗目的 掌握利用Mathematica計算多元函數偏導數和全微分的方法, 掌握計算二元函數極值和條件極值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通過作圖和觀察, 理解二元函數的性質、方向導數、梯度和等高線的概念.求多元函數的偏導數與全微分例1.1 (教材 例1.1) 設求輸入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y則輸出所求結果.例1.2 設求和全微分dz.輸入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y則有輸出再輸入Dtz則得到輸出例1.3 (教材 例

2、1.2) 設其中a是常數, 求dz.輸入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants->a/Simplify則輸出結果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants->a+ Dty,Constants->a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants->a就是dx, Dty,Constants->a就是dy. 可以用代換命令“/.”把它們換掉. 輸入wf/.Dtx,Constants->a->dx,Dty,Constants->a->dy輸出為(a+xy)-1+y(dxy2+dy(x

3、y+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 設,求輸入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants->u,v(*第一個方程兩邊對x求導數, 把u,v看成x,y的函數*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants->u,v(*第二個方程兩邊對x求導數, 把u,v看成x,y的函數*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants->u,v,Dv,x,NonConstants->u,v/Simplify(*解求導以后由eq1,eq2組成的方程組*)則輸出 其中Du,x,NonConstants->u

4、,v表示u對x的偏導數, 而Dv,x,NonCosnstants->u,v表示v對x的偏導數. 類似地可求得u,v對y的偏導數.微分學的幾何應用例1.5 求出曲面在點(1,1)處的切平面、法線方程, 并畫出圖形.解(1) 畫出曲面的圖形. 曲面的參數方程為輸入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2則輸出相應圖形(圖1.2).圖1.2 (2) 畫出切平面的圖形. 輸入命令a=Dfx,y,x/.x->1,y-&

5、gt;1;b=Dfx,y,y/.x->1,y->1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;則輸出切平面方程為及相應圖形(圖1.3).圖1.3 (3) 畫出法線的圖形. 輸入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->-2.530,-1.025,2.000;則輸出相應圖形(圖1.4).圖1.4例1.6 (教材 例

6、1.4) 求曲面在點處的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一圖形里.輸入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定義函數k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x->1/4,y->1/2;(*求函數k(x,y)對x的偏導數, 并代入在指定點的值*)ky=Dkx,y,y/.x->1/4,y->1/2;(*求函數k(x,y)對y的偏導數, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定義在指定點的切平面函數*)再輸入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange->0,

7、4,BoxRatios->1,1,1,PlotPoints->30,DisplayFunction->Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出所求曲面與切平面的圖形（圖1.5）.圖1.5多元函數的極值例1.7 (教材 例1.5) 求的極值.輸入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0則分

8、別輸出所求偏導數和駐點:x->-3,y->0,x->-3,y->2,x->1,y->0,x->1,y->2再輸入求二階偏導數和定義判別式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2輸出為判別式函數的形式:(6+6x)(6-6y)再輸入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings->None, "x ", "y ", "fxx ",

9、 "disc ", "f "最后我們得到了四個駐點處的判別式與的值并以表格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易見,當時判別式disc=72, 函數有極大值31;當時判別式disc=72, 函數有極小值-5;當和時, 判別式disc=-72, 函數在這些點沒有極值.最后,把函數的等高線和四個極值點用圖形表示出來,輸入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity

10、;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours->40,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖1.6.圖1.6從上圖可見, 在兩個極值點附近, 函數的等高線為封閉的. 在非極值點附近, 等高線不封閉. 這也是從圖形上判斷極值點的方法.注:在項

11、目一的實驗4中,我們曾用命令FindMinimum來求一元函數的極值, 實際上,也可以用它求多元函數的極值, 不過輸入的初值要在極值點的附近. 對本例,可以輸入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1則輸出-5.,x->1.,y->-2.36603×10-8從中看到在的附近函數有極小值-5, 但y的精度不夠好.例1.8 求函數在條件下的極值.輸入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,D

12、lax,y,r,r=0得到輸出再輸入fx,y/.extpts/Simplify得到兩個可能是條件極值的函數值但是否真的取到條件極值呢? 可利用等高線作圖來判斷.輸入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,A

13、xes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60,Contours->0,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing0.01,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio->

14、;1,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為及圖1.7. 從圖可見，在極值可疑點處, 函數的等高線與曲線(虛線)相切. 函數的等高線是一系列同心圓, 由里向外, 函數值在增大, 在的附近觀察, 可以得出取條件極大的結論. 在 的附近觀察, 可以得出取條件極小的結論.圖1.7梯度場例1.9 畫出函數的梯度向量.解 輸入命令<<GraphicsContourPlot3D<<GraphicsPlotField3D<<CalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx,y,z;f=z2

15、-x2-y2;cp3d=ContourPlot3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,Contours->1.0,Axes->True,AxesLabel->"x","y","z"vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints->3,VectorHeads->True;Showvecplot3d, cp3d;則輸出相應圖形(圖1.8)圖1.8例1.10 在同一坐標面上作出 和 的等高線圖

16、(), 并給出它們之間的關系.解 輸入命令<<CalculusVectorAnalysis<<GraphicsPlotFieldSetCoordinatesCartesianx,y,z;checku_,v_:=Gradu1-Gradv2,Gradv1+Gradu2u=x(1+1/(x2+y2);v=y(1-1/(x2+y2);checku,v/Simplifyugradplot=PlotGradientFieldu,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,Co

17、ntourStyle->GrayLevel0,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->Gray

18、Level0.7,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出相應圖形(圖1.9)，其中(a) 的梯度

19、與等高線圖;(b) 的梯度與等高線圖;(c) 與的等高線圖;(d) 與的梯度圖. (a) (b) (c) (d)圖1.9從上述圖中可以看出它們的等高線為一族正交曲線. 事實上, 有且它們滿足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 設作出的圖形和等高線, 再作出它的梯度向量gradf的圖形. 把上述等高線和梯度向量的圖形疊加在一起, 觀察它們之間的關系.輸入調用作向量場圖形的軟件包命令<<GraphicsPlotField.m再輸入Clearf;fx_,y_=x*Exp-x2-y2;dgx=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->

20、60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame->FalseShowdgx,td輸出為圖1.10. 從圖可以看到平面上過每一點的等高線和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函數值增大的方向.圖1.10例1.12 求出函數的極值, 并畫出函數的等高線、駐點以及的梯度向量的圖形.輸入命令<<GraphicsPlotFieldf=x4-4*x*y

21、+y2;FindMinimumf,x,1,y,1conplot=ContourPlotf,x,-2,2,y,-3,3,ContourShading->False,PlotPoints->100,Contours->-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,ScaleFunction->(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle->PointSize0.03;Showconp

22、lot,fieldplot,critptplot;則得到的最小值以及函數的圖形(圖1.11).圖1.11 實驗2 多元函數積分學（基礎實驗）實驗目的掌握用Mathematica計算二重積分與三重積分的方法; 深入理解曲線積分、曲面積分的概念和計算方法. 提高應用重積分和曲線、曲面積分解決各種問題的能力. 計算重積分 例2.1 (教材 例2.1) 計算 其中為由 所圍成的有界區(qū)域.先作出區(qū)域的草圖, 易直接確定積分限,且應先對積分, 因此, 輸入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty則輸出所求二重積分的計算結果 例2.2 (教材 例2.2) 計算 其中為 如果用直角坐標

23、計算, 輸入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2則輸出為 其中Erf是誤差函數. 顯然積分遇到了困難. 如果改用極坐標來計算, 也可用手工確定積分限. 輸入 Integrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出所求二重積分的計算結果 如果輸入 NIntegrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出積分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3)

24、 計算, 其中由曲面與圍成. 先作出區(qū)域的圖形. 輸入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint->1.3,-2.4,1.0則分別輸出三個圖形（圖2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 圖2.1考察上述圖形, 可用手工確定積分限. 如果用直角坐標計算, 輸入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrate

25、gx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2執(zhí)行后計算時間很長, 且未得到明確結果.現(xiàn)在改用柱面坐標和球面坐標來計算. 如果用柱坐標計算,輸入 Integrate(gx,y,z/.x->r*Coss,y->r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2則輸出 如果用球面坐標計算,輸入Integrate(gx,y,z/.x->r*Sinfi*Cost,y->r*Sinfi*Sint,z->r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,

26、0,Sqrt2則輸出 這與柱面坐標的結果相同.重積分的應用 例2.4 求由曲面與所圍成的空間區(qū)域的體積. 輸入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2Show%,%一共輸出三個圖形, 最后一個圖形是圖2.1.圖2.2首先觀察到的形狀. 為了確定積分限, 要把兩曲面的交線投影到平面上輸入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到輸出 為了取出這兩條曲線方程, 輸入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2輸出為 再輸入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotS

27、tyle->Dashing0.02,DisplayFunction->Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction->Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.2, 由此可見,是下半圓(虛線),是上半圓,因此投影區(qū)域是一個圓.圖2.2設的解為與,則為的積分限. 輸入 xvals=Solvey1=y2,x輸出為 為了取出, 輸入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2輸出為 這時可以作最后的計算了. 輸入

28、Volume=Integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify輸出結果為 例2.5 (教材 例2.4) 求旋轉拋物面在平面上部的面積 先調用軟件包, 輸入 <<GraphicsParametricPlot3D 再輸入 CylindricalPlot3D4-r2,r,0,2,t,0,2 Pi則輸出圖2.3.圖2.3 利用計算曲面面積的公式, 輸入 Clearz,z1; z=4-x2-y2; z=SqrtDz,x2+Dz,y2+1輸出為, 因此,利用極坐標計算. 再輸入z1=Simplifyz/.x->r*Cost,y->r*Sint;

29、Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify則輸出所求曲面的面積 例2.6 在平面內有一個半徑為2的圓, 它與軸在原點相切, 求它繞軸旋轉一周所得旋轉體體積.先作出這個旋轉體的圖形. 因為圓的方程是它繞軸旋轉所得的圓環(huán)面的方程為, 所以圓環(huán)面的球坐標方程是 輸入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints->30,ViewPoint->4.0,0.54,2.0輸出為圖2.4. 圖2.4這是一個環(huán)面, 它的體積可以用三重積分計算(用球坐標). 輸入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t

30、,0,Pi,r,0,4 Sint得到這個旋轉體的體積為計算曲線積分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中積分路徑為: 注意到,弧長微元, 將曲線積分化為定積分,輸入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t則輸出對的導數 再輸入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x->t, y->t2,z->3t2)*ds,t,0,2則輸出所求曲線積分的結果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 輸入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integ

31、rate(vecf.Dvecr,t)/.x->2Cost,y->Sint, t,0,2 Pi則輸出所求積分的結果12 例2.9 求錐面與柱面的交線的長度. 先畫出錐面和柱面的交線的圖形. 輸入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction->Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,ViewPoint->1

32、,-1,2,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.5.圖2.5輸入直接作曲線的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint->1,-1,2,Ticks->False輸出為圖2.6.圖2.6為了用線積分計算曲線的弧長, 必須把曲線用參數方程表示出來. 因為空間曲線的投影曲線的方程為, 它可以化成,再代入錐面方程, 得 因為空間曲線的弧長的計算公式是, 因此輸入Clearx,y,z;x=Cost2;y=Cost*Sint;z=Cost;qx=x,y,z;Inte

33、grateSqrtDqx,t. Dqx,t/Simplify,t,-Pi/2,Pi/2輸出為 2Elliptice-1這是橢圓積分函數. 換算成近似值. 輸入 %/N輸出為 3.8202 計算曲面積分例2.10 (教材 例2.7) 計算曲面積分, 其中為錐面被柱面所截得的有限部分.注意到,面積微元, 投影曲線的極坐標方程為將曲面積分化作二重積分,并采用極坐標計算重積分.輸入Clearf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=Sqrtx2+y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.

34、x->r*Cost,y->r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost則輸出所求曲面積分的計算結果 例2.11 計算曲面積分 其中為球面的外側. 可以利用兩類曲面積分的關系, 化作對曲面面積的曲面積分. 這里. 因為球坐標的體積元素注意到在球面上, 取后得到面積元素的表示式: 把對面積的曲面即直接化作對的二重積分. 輸入ClearA,fa,ds;A=x3,y3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*Sinu;Integrate(A.fa/.x->a*Sinu*Cosv,y->a*Sinu*Sinv, z->a*Cosu)*ds/Simpli

35、fy,u,0,Pi,v,0,2Pi輸出為 如果用高斯公式計算, 則化為三重積分, 其中為. 采用球坐標計算, 輸入 <<CalculusVectorAnalysis執(zhí)行后再輸入SetCoordinatesCartesianx,y,z; (*設定坐標系*)diva=DivA; (*求向量場的散度*)Integrate(diva/.x->r*Sinu*Cosv,y->r*Sinu*Sinv,z->r*Cosu)*r2Sinu,v,0,2Pi,u,0,Pi,r,0,a輸出結果相同.實驗3 最小二乘擬合（基礎實驗）實驗目的 了解曲線擬合問題與最小二乘擬合原理. 學會觀察給

36、定數表的散點圖, 選擇恰當的曲線擬合該數表.最小二乘擬合原理給定平面上的一組點尋求一條曲線使它較好的近似這組數據, 這就是曲線擬合. 最小二乘法是進行曲線擬合的常用方法.最小二乘擬合的原理是, 求使達到最小. 擬合時, 選取適當的擬合函數形式其中稱為擬合函數的基底函數.為使取到極小值, 將的表達式代入, 對變量求函數的偏導數, 令其等于零, 就得到由個方程組成的方程組, 從中可解出曲線擬合例3.1 (教材 例3.1) 為研究某一化學反應過程中溫度對產品得率的影響, 測得數據如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589試求其擬合曲

37、線.輸入點的坐標, 作散點圖, 即輸入b2=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2則輸出題設數據的散點圖.通過觀察發(fā)現(xiàn)散點基本位于一條直線附近, 可用直線擬合. 輸入Fitb2,1,x,x (*用Fit作擬合, 這里是線性擬合*)則輸出擬合直線-2.73939+0.48303x作圖觀察擬合效果. 輸入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity; (*作擬合曲線的

38、圖形*)Showfp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction (*顯示數據點與擬合曲線*)則輸出平面上的點與擬合拋物線的圖形（圖3.1）. 圖3.1例3.2 (教材 例3.2) 給定平面上點的坐標如下表:試求其擬合曲線.輸入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;則輸出題設數據的散點圖.觀察發(fā)現(xiàn)這些點位于一條拋物線附近. 用拋物線擬合, 即取基底函數 輸

39、入f=Fitdata,1,x,x2,x則輸出5.30661-1.83196x+8.17149x2再輸入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction->Identity;Showpd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出平面上的點與擬合拋物線的圖形（圖3.2）. 圖3.2下面的例子說明Fit的第二個參數中可以使用復雜的函數, 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函數的組合進行擬合的例子.先計算一個數表. 輸入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10則輸出2.43306,2.02683,1.73576,1.

40、52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用基函數來做曲線擬合. 輸入Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x則輸出擬合函數其中有些基函數的系數非常小, 可將它們刪除. 輸入Chop%則輸出實際上,我們正是用這個函數做的數表. 注:命令Chop的基本格式為Chopexpr,其含義是去掉表達式expr的系數中絕對值小于的項,的默認值為.實驗4 水箱的流量問題（綜合實驗）實驗目的 掌握應用最小二乘擬合原理分析和解決實際問題的思想和方法,能通過觀察測試數據的散點圖,建立恰當的數學模型,并用所學知識分析和解決所給問題.

41、問題 (1991年美國大學生數學建模競賽的A題. 問題中使用的長度單位為E(英尺, 1 E=30.24cm), 容積單位是G(加侖, 1 G=3.785L).某些州的用水管理機構需估計公眾的用水速度(單位:G/h)和每天的總用水量. 許多供水單位由于沒有測量流入或流出量的設備, 而只能測量水箱中的水位(誤差不超過5%). 當水箱水位低于水位L時, 水泵開始工作將水灌入水箱, 直至水位達到最高水位H為止. 但是依然無法測量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作時無法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來. 水泵一天灌水12次, 每次約2h. 試估計在任一時刻(包括水泵灌水期間) t流出水箱的流量并估計一天

42、的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實用水數據. 水箱是直徑為57E, 高為40E的正圓柱體. 當水位落到27E以下, 水泵自動啟動把水灌入水箱; 當水位回升至35.5E時, 水泵停止工作.表1 時間/s水位E時間/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水35503445466364995353936572546057464554685357185475021792548264985968899539327033

43、5032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假設(1) 影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)公眾對水的普通需求. 所給數據反映該鎮(zhèn)在通常情況下一天的用水量, 不包括任何非常情況, 如水泵故障、水管破裂、自然災害等. 并且認為水位高度、大氣情況、溫度變化等物理因素對水的流速均無直接影響;(2) 水泵的灌水速度為常數;(3) 從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 為了滿足公眾的用水需求不讓水箱中的水用盡, 這是顯然的要求;(4) 因為公眾對水的消耗量是以全天的活動(諸如洗澡、做飯、洗衣服等)為基礎的, 所以,可以認為每天的用水量分布都是相

44、似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲線來近似.問題分析與模型建立為方便起見,記V表示水的容積;表示時刻 (單位:h)水的容積;表示流出水箱的水的流速(單位;G/h),它是時間的函數;p表示水泵的灌水速度(G/h).先將表1中數據作變換, 時間單位用小時(h), 水位高轉換成水的體積(單位: ). 輸入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649

45、,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N則輸出下表.表2 時間/h水量/G時間/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9

46、811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.36764

47、8.477637.593由于要求的是水箱流量與時間的關系, 因此須由表2的數據計算出相鄰時間區(qū)間的中點及在時間區(qū)間內水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(區(qū)間左端點的水量-區(qū)間右端點的水量)/時間區(qū)間長度輸入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27則輸出下表表3 時間區(qū)間的中點值/h平均水流量/G/h時間區(qū)間的中點值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911

48、.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解為了作出時間tt1

49、與平均水流量vv1之間的散點圖, 先輸入調用統(tǒng)計軟件包的命令 <<StatisticsDataManipulation.m執(zhí)行以后再輸入ClearL;L=TransposeDropNonNumericColumntt1,vv1*103(*命令中vv1*103,使平均水流量vv1的單位變?yōu)镚/h*)g1=ListPlotL則輸出圖4.1圖4.1圖中空白區(qū)域為泵水時間. 從中可以看出數據分布不均勻. 我們采用8階多項式進行擬合. 輸入 ft=FitL,Tableti,i,0,8,t則輸出這就是流出水箱的水的流速關于時間t的函數. 為作出其擬合曲線圖, 輸入fg=Plotft,t,0,2

50、6,DisplayFunction->Identity;Showg1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖4.2.圖4.2求解結果將h和h代入到水的流速擬合函數我們得到這兩時刻的流速分別近似為13532.5G/h和13196.1G/h,相差僅2.48587%, 從而可以認為能近似表達一天的用水流量.于是, 一天里的用水總量近似地等于函數在24小時周期內的積分. 輸入Integrateft,t,0.46,24.46則輸出336013.G若按常規(guī)每1000人的用水量為105000G/d, 因此估計出這個地區(qū)大約有3200人.模型評價該模型數學概念簡單, 并且容易實現(xiàn), 任意時刻從水箱中流出水的速度都可通過該模型